2018年八年級數(shù)學下冊17.1勾股定理練習（新版）新人教版

PAGEPAGE1217．1勾股定理第1課時勾股定理01基礎題知識點1勾股定理的證明1．利用圖1或圖2兩個圖形中的有關面積的等量關系都能證明數(shù)學中一個十分著名的定理，這個定理稱為勾股定理，該定理結論的數(shù)學表達式是a2＋b2＝c2.2．4個全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請試一試．解：圖形的總面積可以表示為c2＋2×eq\f(1,2)ab＝c2＋ab，也可以表示為a2＋b2＋2×eq\f(1,2)ab＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.∴a2＋b2＝c2.知識點2利用勾股定理進行計算3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對應邊分別是a，b，c，若∠B＝90°，則下列等式中成立的是(C)A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b24．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，則AB的長為(C)A．4 B.eq\r(5)C.eq\r(13) D．55．已知直角三角形中30°角所對的直角的邊長是2eq\r(3)cm，則另一條直角邊的長是(C)A．4cm B．4eq\r(3)cmC．6cm D．6eq\r(3)cm6．(2016·阿壩)直角三角形斜邊的長是5，一直角邊的長是3，則此直角三角形的面積為6．7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)a＝7，b＝24，求c；(2)a＝4，c＝7，求b.解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴72＋242＝c2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝eq\r(33).8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)若AC＝2，求AD的長．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根據(jù)勾股定理，得AD＝eq\r(2).02中檔題9．(2016·荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(C)A．5 B．6 C．8 D．10第9題圖第10題圖10．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(C)A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陜西)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(A)A．3eq\r(3) B．6 C．3eq\r(2) D.eq\r(21)第11題圖第14題圖12．(2016·東營)在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(C)A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為13或eq\r(119)．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．15．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長(圖乙中的實線)是76.16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15.(1)求AB的長；(2)求CD的長．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(202＋152)＝25.(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.∴20×15＝25CD.∴CD＝12.17．(2016·益陽)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．作AD⊥BC于點D，設BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD.→根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出x.→eq\x(\a\al(利用勾股定理求,出AD的長，再計,算三角形面積.))解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設BD＝x，則CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2.∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.03綜合題18．如圖，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，則第2017個等腰直角三角形的斜邊長是(eq\r(2))2017．

第2課時勾股定理的應用01基礎題知識點1勾股定理在平面圖形中的應用1．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是(A．5m B．12m C．13m 第1題圖第2題圖2．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行10米3．八(2)班小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得如圖風箏的高度CE，他們進行了如下操作：①測得BD的長度為15米；(注：BD⊥CE)②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.6米．求風箏的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝eq\r(CB2－BD2)＝eq\r(252－152)＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：風箏的高度CE為21.6米．4．如圖，甲船以16海里/時的速度離開碼頭向東北方向航行，乙船同時由碼頭向西北方向航行，已知兩船離開碼頭1.5h后相距30海里，問乙船每小時航行多少海里？解：設碼頭所在的位置為C，1.5h后甲船所在位置為A，乙船所在位置為B，則AC與正北方向的夾角為45°，BC與正北方向的夾角為45°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵AC＝16×eq\f(3,2)＝24(海里)，AB＝30海里．由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324.解得BC＝18.∴18÷eq\f(3,2)＝12(海里/小時)．答：乙船每小時航行12海里．知識點2勾股定理與方程的應用5．印度數(shù)學家什迦邏(1141～1225年)曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”請用學過的數(shù)學知識回答這個問題．解：如圖，由題意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.設OA＝x，則OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如圖，在一棵樹(AD)的10m高處(B)有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20m(C)的池塘，而另一只則爬到樹頂(D)后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的路程解：B為猴子的初始位置，則AB＝10m，C為池塘，則AC＝20m.設BD＝xm，則樹高AD＝(10＋x)m.由題意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故這棵樹有15m知識點3兩次勾股定理的應用7．(2017·紹興)如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為(C)A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米第7題圖第8題圖8．如圖，滑竿在機械槽內運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂點A在AC上滑動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，滑竿頂端A下滑0.502中檔題9．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”．他們僅僅少走了__________步路(假設2步為1m)，卻踩傷了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9題圖第10題圖10．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少為(D)A．4米 B．8米 C．9米 D．7米11．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到點D，則橡皮筋被拉長了第11題圖第12題圖12．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是7≤h13．如圖是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位：cm)．其中長方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm.在無風的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的長度就是長方形DCEF的對角線DE的長度，連接DE，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DE＝eq\r(DF2＋EF2)＝eq\r(1202＋902)＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為70cm.14．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200mAO＝eq\r(AP2－OP2)＝eq\r(2002－1002)＝100eq\r(3)(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m∴AB＝AO－BO＝100eq\r(3)－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h∴此車超過每小時80千米的限制速度．03綜合題15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，(1)求BC邊的長；(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4cm(2)由題意，知BP＝tcm，①當∠APB為直角時，如圖1，點P與點C重合，BP＝BC＝4cm∴t＝4；②當∠BAP為直角時，如圖2，BP＝tcm，CP＝(t－4)cm，AC＝3cm在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t＝eq\f(25,4).∴當△ABP為直角三角形時，t＝4或t＝eq\f(25,4).

第3課時利用勾股定理作圖01基礎題知識點1在數(shù)軸上表示無理數(shù)1．在數(shù)軸上作出表示eq\r(5)的點(保留作圖痕跡，不寫作法)．解：略．知識點2網(wǎng)格中的無理數(shù)2．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(A)A．5B．6C．7D．25知識點3等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求等腰三角形的邊上的高與面積.解：過點A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝13cm，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(132－52)＝12(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×10×12＝60(cm2)．02中檔題4．(2017·南充)如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標為(D)A．(1，1，)B．(eq\r(3)，1)C．(eq\r(3)，eq\r(3))D．(1，eq\r(3))5．(2017·成都)如圖，數(shù)軸上點A所表示的實數(shù)是eq\r(5)－1．第5題圖第6題圖6．(2017·樂山)點A，B，C在格點圖中的位置如圖所示，格點小正方形的邊長為1，則點C到線段AB所在直線的距離eq\f(3,5)eq\r(5)．7．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，求BD的長．解：∵△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，∴CB＝CD，∠CDE＝∠DCE＝60°.∴∠BDC＝∠DBC＝eq\f(1,2)∠DCE＝30°.∴∠BDE＝90°.在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，DB＝eq\r(BE2－DE2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).03綜合