第十一章氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第十一章氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

§11.1

聲速與馬赫數(shù)

§11.2

氣體一維恒定流動(dòng)的基本方程

§11.3

氣體一維恒定流動(dòng)的參考狀態(tài)

§11.4

氣流參數(shù)與通道截面積的關(guān)系

§11.5

噴管

§11.6

等截面有摩擦的絕熱管流§11.1聲速與馬赫數(shù)11.1.1聲速

聲速：微弱擾動(dòng)波在介質(zhì)中的傳播速度。如圖，等直徑的長(zhǎng)直圓管中充滿著靜止的可壓縮流體，當(dāng)活塞突然以微小速度dv向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，由活塞運(yùn)動(dòng)引起的微弱擾動(dòng)將一層一層的向右傳播，在圓管內(nèi)形成兩個(gè)區(qū)域：未受擾動(dòng)區(qū)和受擾動(dòng)區(qū)，兩區(qū)之間的分界面稱為擾動(dòng)的波面，波面向右傳播的速度c即為聲速。

將參考坐標(biāo)系固定在擾動(dòng)波面上，取包圍擾動(dòng)波面的虛線為控制面。波前的流體始終以速度c流向控制體，其壓強(qiáng)、密度和溫度分別為p、ρ、T，波后的流體始終以速度（c-dv）流出控制體，其壓強(qiáng)、密度和溫度分別為p+dp、ρ+dρ、T+dT。由連續(xù)性方程可得忽略二階微量，經(jīng)整理得由動(dòng)量方程得整理后可得故

微弱擾動(dòng)波的傳播過(guò)程可視為絕熱可逆的等熵過(guò)程。等熵過(guò)程方程為將完全氣體狀態(tài)方程，代入上式得

或

11.1.2馬赫數(shù)氣體流速v與當(dāng)?shù)芈曀賑之比，稱為馬赫數(shù)Ma，即根據(jù)馬赫數(shù)的大小，可將氣體的流動(dòng)分為：

1、Ma＜1，即v＜c，亞聲速流動(dòng)；

2、Ma＝1，即v＝c，聲速流動(dòng)；

3、Ma＞1，即v＞c，超聲速流動(dòng)。設(shè)流場(chǎng)中o點(diǎn)處有一固定的擾動(dòng)源，每隔1s發(fā)出一次微弱擾動(dòng)，現(xiàn)在分析前4s產(chǎn)生的微弱擾動(dòng)波在各流場(chǎng)中的傳播情況。

（1）靜止流場(chǎng)（v＝0）由于氣流速度v＝0，微弱擾動(dòng)波不受氣流的影響，以聲速c向四周傳播，形成以o點(diǎn)為中心的同心球面波。

（2）亞聲速流場(chǎng)（v＜c）由于氣體以速度v運(yùn)動(dòng)，微弱擾動(dòng)波在以聲速c向四周傳播的同時(shí)，隨氣流一同以速度v向右運(yùn)動(dòng)，因此，微弱擾動(dòng)波向下游傳播的速度為c+v，向上游傳播的速度為c-v，因v＜c，所以微弱擾動(dòng)波仍能逆流向上游傳播。

（3）聲速流場(chǎng)（v＝c）由于微弱擾動(dòng)波向四周傳播的速度c恰好等于氣流速度v，擾動(dòng)波面是與擾動(dòng)源相切的一系列球面，所以，無(wú)論時(shí)間怎么延續(xù)，擾動(dòng)波都不可能逆流向上游傳播。

（4）超聲速流場(chǎng)（v＞c）由于v＞c，所以擾動(dòng)波不僅不能逆流向上游傳播，反而被氣流帶向擾動(dòng)源的下游，所有擾動(dòng)波面是自o點(diǎn)出發(fā)的圓錐面內(nèi)的一系列內(nèi)切球面，這個(gè)圓錐面稱為馬赫錐。

馬赫錐的半頂角，稱為馬赫角，用α表示。則

例11-1

飛機(jī)在溫度為20℃的靜止空氣中飛行，測(cè)得飛機(jī)飛行的馬赫角為40.34o，空氣的氣體常數(shù)R=287J/（kg·K），等熵指數(shù)k=1.4，試求飛機(jī)的飛行速度。解：§11.2氣體一維恒定流動(dòng)的基本方程

1.連續(xù)性方程由質(zhì)量守恒定律

寫(xiě)成微分形式，得或

2.運(yùn)動(dòng)微分方程引用第三章式（3-24）：

由于氣體的密度很小，可忽略質(zhì)量力的影響，取力勢(shì)函數(shù)W＝0。同時(shí)，由氣流平均流速v代替點(diǎn)流速u，則上式可簡(jiǎn)化為或

3.能量方程對(duì)上式積分，即得理想氣體恒定流動(dòng)的能量方程通常氣體的密度是壓強(qiáng)和溫度的函數(shù)，為積分上式，需要補(bǔ)充熱力過(guò)程方程和氣體狀態(tài)方程。

（1）定容過(guò)程（比容v＝C）（2）等溫過(guò)程（溫度T＝C）氣體狀態(tài)方程得，故等溫過(guò)程能量方程或

（3）等熵過(guò)程

絕熱過(guò)程：與外界沒(méi)有熱交換的熱力過(guò)程。

等熵過(guò)程：可逆的絕熱過(guò)程或理想氣體的絕熱過(guò)程。

等熵過(guò)程方程：，將代入積分式得將上式代入能量方程式，得等熵過(guò)程能量方程或或或

例11-2

空氣在管道內(nèi)作恒定等熵流動(dòng)，已知進(jìn)口狀態(tài)參數(shù)：t1=62℃，p1=650kPa，A1=0.001m2；出口狀態(tài)參數(shù)：p2=452kPa，A2=5.12×10-4m2。試求空氣的質(zhì)量流量Qm。解：由氣體狀態(tài)方程，得

由等熵過(guò)程方程，得由連續(xù)性方程，得

由等熵過(guò)程能量方程，得解得質(zhì)量流量

§11.3

氣體一維恒定流動(dòng)的參考狀態(tài)

1.滯止?fàn)顟B(tài)若氣流速度按等熵過(guò)程滯止為零，則Ma＝0，此時(shí)的狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)，相應(yīng)的參數(shù)稱為滯止參數(shù)，用下標(biāo)0標(biāo)識(shí)。按滯止參數(shù)的定義，由絕熱過(guò)程能量方程式可得任意斷面的參數(shù)與滯止參數(shù)之間的關(guān)系。

為便于分析計(jì)算，常將式（11-20）改寫(xiě)為由上式，有根據(jù)等熵過(guò)程方程、狀態(tài)方程和式（11-22），不難導(dǎo)出

2.臨界狀態(tài)根據(jù)能量方程式（11-21），得上式表明，在氣體的絕熱流動(dòng)過(guò)程中，隨著氣流速度的增大，當(dāng)?shù)芈曀贉p小，當(dāng)氣流被加速到極限速度vmax時(shí)，當(dāng)?shù)芈曀傧陆档搅?；而?dāng)氣流速度被制止到零時(shí)，當(dāng)?shù)芈曀賱t上升到滯止聲速c0。因此，在氣流速度由小變大和當(dāng)?shù)芈曀儆纱笞冃〉倪^(guò)程中，必定

會(huì)出現(xiàn)氣流速度v恰好等于當(dāng)?shù)芈曀賑，即Ma＝1的狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，相應(yīng)的參數(shù)稱為臨界參數(shù)，用下標(biāo)*標(biāo)識(shí)。將Ma＝1代入式（11-22）～式（11-25），可得

3.極限狀態(tài)若氣體熱力學(xué)溫度降為零，其能量全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，則氣流的速度將達(dá)到最大值vmax，此時(shí)的狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。

由能量方程式（11-21），得

§11.4

氣流參數(shù)與通道截面積的關(guān)系由運(yùn)動(dòng)微分方程式（11-10）和聲速公式（11-3），可得將上式代入等熵過(guò)程方程的微分式，得將完全氣體狀態(tài)方程寫(xiě)成微分式，得

再將式（11-31）、式（11-32）代入上式，整理得式（11-31）～式（11-33）表明：v沿程增大，ρ、p、T必沿程減小，v沿程減小，ρ、p、T必沿程增大。為分析流動(dòng)參數(shù)隨通道截面積A的變化關(guān)系，將式（11-31）代入連續(xù)性方程的微分式（11-9），整理得

由式（11-34）可得出以下結(jié)論：（1）亞聲速氣流（Ma＜1）此時(shí)（1-Ma2）＞0，dA與dv異號(hào)，即通道截面積沿程減小，速度將沿程增大；通道截面積沿程增大，速度將沿程減小。由此，亞聲速氣流的速度隨通道截面積變化的趨勢(shì)與不可壓縮流動(dòng)是一致的，但在量的關(guān)系上卻不相同。

（2）超聲速氣流（Ma＞1）此時(shí)（1-Ma2）＜0，dA與dv同號(hào)，即通道截面積沿程減小，速度將沿程減小；通道截面積沿程增大，速度將沿程增大。分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因！下圖是亞聲速和超聲速氣流參數(shù)隨通道截面積變化的關(guān)系。

（3）聲速氣流（Ma＝1）此時(shí)（1-Ma2）=0，dA=0，說(shuō)明聲速只能出現(xiàn)在管道的最大或最小斷面處。經(jīng)分析，聲速流動(dòng)只可能出現(xiàn)在最小斷面處。前面定性地討論了通道截面積對(duì)氣流參數(shù)的影響，下面進(jìn)一步考慮其定量關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性方程，有

因代入前式，經(jīng)整理后得對(duì)于空氣，k=1.4，代入上式，得§11.5噴管

噴管：通過(guò)改變斷面幾何尺寸來(lái)加速氣流的管道。噴管有兩種：收縮噴管和縮放噴管。

11.5.1收縮噴管

對(duì)大容器內(nèi)的0-0斷面和噴管出口1-1斷面列能量方程，得則

根據(jù)狀態(tài)方程利用等熵條件因此式（11-40）還可寫(xiě)成

則質(zhì)量流量由上式可知，對(duì)于給定的氣體，當(dāng)滯止參數(shù)和Ae不變時(shí)，噴管的質(zhì)量流量Qm只隨壓強(qiáng)比變化。

而實(shí)際上，Qm的變化取決于，其關(guān)系曲線為圖中的實(shí)線abc。

下面分幾種情況討論質(zhì)量流量Qm隨壓強(qiáng)的變化規(guī)律：

（1）p0＝pb：由于噴管兩端無(wú)壓差，氣體不流動(dòng)，Qm＝0。出口壓強(qiáng)pe＝pb。

（2）p0＞pb＞p*：氣體經(jīng)收縮噴管，壓強(qiáng)沿程減小，出口壓強(qiáng)pe＝pb＞p*。流速沿程增大，但在管出口處未能達(dá)到聲速，ve＜c。噴管出口的流速和流量可按式（11-41）和式（11-42）計(jì)算。

（3）p0＞pb＝p*：氣體經(jīng)收縮噴管加速后，在出口達(dá)到聲速，ve＝c*，Ma＝1。此時(shí)，出口流速達(dá)最大值ve·max，流量達(dá)最大值Qm·max。出口壓強(qiáng)pe＝pb＝p*。

由式（11-28），得將上式代入式（11-41）和式（11-42）中，可得收縮噴管出口斷面的最大流速ve·max和噴管內(nèi)的最大質(zhì)量流量Qm·max，即

（4）p0＞p*＞pb：由于亞聲速氣流經(jīng)收縮噴管不可能達(dá)到超聲速，故氣流在噴管出口處的速度仍為聲速，ve·max=c*，出口處的壓強(qiáng)仍為臨界壓強(qiáng)，pe＝p*＞pb。此時(shí)，氣流從出口處的壓強(qiáng)p*降至背壓pb的過(guò)程只能在噴管外完成。綜上所述，當(dāng)容器中的p0一定時(shí)，隨著背壓的降低，噴管內(nèi)的質(zhì)量流量將增大，當(dāng)背壓下降到臨界壓強(qiáng)時(shí)，質(zhì)量流量達(dá)最大值，若再降低背壓，流量也不會(huì)增加。這種背壓小于臨界壓強(qiáng)時(shí)，管內(nèi)質(zhì)量流量不再增大的狀態(tài)稱為噴管的壅塞狀態(tài)。

例11-3

已知大容積空氣罐內(nèi)的壓強(qiáng)p0＝200kPa，溫度T0＝300K，空氣經(jīng)一個(gè)收縮噴管出流，噴管出口面積Ae＝50cm2，試求：環(huán)境背壓pb分別為100kPa和150kPa時(shí)，噴管的質(zhì)量流量Qm。解：（1）環(huán)境背壓為100kPa時(shí)收縮噴管出口處達(dá)到聲速，即臨界狀態(tài)，ve＝c*。

（2）環(huán)境背壓為150kPa時(shí)收縮噴管出口處不可能達(dá)到聲速，ve＜c，pe＝pb。由等熵過(guò)程方程，得由等熵過(guò)程能量方程

11.5.2縮放噴管要想得到超聲速氣流，必須使亞聲速氣流先經(jīng)過(guò)收縮噴管加速，使其在最小斷面處達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀伲俳?jīng)擴(kuò)張管道繼續(xù)加速，才能得到超聲速氣流。這種先收縮后擴(kuò)張的噴管稱為縮放噴管（拉伐爾噴管），噴管的最小斷面稱為喉部，如圖。

下面討論大容器內(nèi)氣流總壓p0不變，改變背壓pb時(shí)縮放噴管內(nèi)的流動(dòng)情況。

（1）p0＝pb：噴管內(nèi)無(wú)流動(dòng)，噴管中各斷面的壓強(qiáng)均等于總壓p0，如圖中直線OA。此時(shí)的質(zhì)量流量Qm＝0。

（2）p0＞pb＞pF：噴管中全部是亞聲速氣流，用于產(chǎn)生超聲速氣流的縮放噴管變成了普通的文丘里管，如圖中曲線ODE所示。此時(shí)的質(zhì)量流量完全取決于背壓pb，可利用式（11-42）計(jì)算。

（3）pF＞pb＞pK：此時(shí)，在喉部下游的某一斷面將

出現(xiàn)正激波，氣流經(jīng)過(guò)正激波，超聲速流動(dòng)變?yōu)閬喡曀倭鲃?dòng)，壓強(qiáng)發(fā)生突躍變化，如圖中曲線OCS1和S2H所示。

（4）pK＞pb＞pG：噴管擴(kuò)張段中全部為超聲速流動(dòng)，壓強(qiáng)分布曲線如圖中的OCG所示。但在出口，pb＞pG，氣流將受到高背壓壓縮，在管外形成斜激波，超聲速氣流經(jīng)過(guò)激波后壓強(qiáng)增大，與環(huán)境壓強(qiáng)相平衡。

（5）pb＝pG：噴管擴(kuò)張段內(nèi)超聲速氣流連續(xù)地等熵膨脹，出口斷面壓強(qiáng)與背壓相等，壓強(qiáng)分布曲線如圖中的OCG所示。這正是用來(lái)產(chǎn)生超聲速氣流的理

想情況，稱為設(shè)計(jì)工況。

（6）pG＞pb＞0：氣流壓強(qiáng)在縮放噴管中沿噴管軸向的變化規(guī)律，如圖中曲線OCG所示。但由于pG＞pb，噴管出口的超聲速氣流在出口外還需進(jìn)一步降壓膨脹。

例11-4

滯止溫度T0＝773K的過(guò)熱蒸汽（k＝1.3，R＝462J/kg·K）流經(jīng)一個(gè)縮放噴管，噴管出口斷面的設(shè)計(jì)參數(shù)為：壓強(qiáng)pe＝9.8×105Pa，馬赫數(shù)Mae＝1.39，設(shè)計(jì)質(zhì)量流量Qm＝8.5kg/s，試求：出口斷面的溫度Te、速度ve、面積Ae以及喉部面積A*。解：蒸汽出口斷面溫度蒸汽出口斷面速度蒸汽出口斷面密度蒸汽出口斷面面積蒸汽的臨界溫度蒸汽的臨界流速蒸汽的臨界密度喉部面積§11.6等截面有摩擦的絕熱管流

11.6.1摩擦對(duì)流速變化的影響取長(zhǎng)度為dx的微元管段作為控制體，如圖。對(duì)控制體內(nèi)的氣流沿運(yùn)動(dòng)方向列動(dòng)量方程，有即若用λ表示dx管段上的沿程阻力系數(shù)，則

將上式代入式（11-45），化簡(jiǎn)得上式即為等截面摩擦管流的運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)氣體狀態(tài)方程取微分，得根據(jù)連續(xù)性方程式（11-9），并注意到等截面管dA=0，得則

在有摩擦的絕熱流動(dòng)中，仍可應(yīng)用能量方程，對(duì)式（11-16）取微分得聯(lián)解式（11-46a）、（11-46b），化簡(jiǎn)得將上式代入式（11-46），整理得上式中λ、k、Ma2和dx/D均為正值，故等式右端恒為負(fù)值。若Ma＜1，則dv＞0；若Ma＞1，則dv＜0；

若Ma＝1，則dv＝0，dx＝0。由此可以得出結(jié)論：在等截面管道的絕熱流動(dòng)中，管壁的摩擦作用將使亞聲速氣流加速，超聲速氣流減速。但由于臨界狀態(tài)只可能在管道出口處達(dá)到，故亞聲速氣流不可能連續(xù)地加速至超聲速，超聲速氣流不可能連續(xù)地減速至亞聲速。11.6.2等截面摩擦管流的計(jì)算對(duì)取對(duì)數(shù)后微分，得將能量方程的微分式（11-46b）除以，得聯(lián)解兩式，整理得將上式代入式（11-47），整理得

設(shè)截面1、2上的馬赫數(shù)分別為Ma1、Ma2，兩截面