(完整版)必修一函數(shù)的周期性

必修一函數(shù)的周期性必修一函數(shù)的周期性#/5【高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練之___】函數(shù)的周期性與對(duì)稱性一、基礎(chǔ)知識(shí)1、對(duì)稱性：函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)函數(shù)關(guān)于y對(duì)稱即偶函數(shù)：f(-x)=f(x)函數(shù)關(guān)于直線x二a對(duì)稱：f(x+a)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(x+2a)=f(-x)偶函數(shù)是軸對(duì)稱的特例關(guān)于x=a=0對(duì)稱。函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱:f(x+a)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b或f(x+2a)+f(-x)=2b奇函數(shù)是中心對(duì)稱的特例關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱2、周期性：定義：對(duì)任意的xeR，都有f(x+T)=f(x)成立，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是f(x)的周期性質(zhì)：若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，所有周期中最小的叫最小正周期，簡(jiǎn)稱周期。常見(jiàn)函數(shù)的周期:①y=sinx,最小正周期T=2n；②y=cosx,最小正周期T=2n；③y=tanx,最小正周期T=n；④周期函數(shù)f(x)最小正周期為T,則f(x)=A(ex+申)+b的最小正周期為二關(guān)于周期的幾個(gè)常用結(jié)論：1＞若對(duì)任意對(duì)任意的xeR，都有：f(x+m)=-f(x)+b成立，則T=2m證明：由已知得：f(x+m+m)=-f(x+m)+b=-(-f(x)+b)+b=f(x)，故，T=2mb2＞若對(duì)任意對(duì)任意的xeR，都有：f(x+m)=成立(b豐0)，則T=2mf(x)bb證明：由已知得：f(x+m+m)===f(x)，故T=2mf(x+m)bf(x)3〉f(x+m)=1-f(x)，則f(x)是以T=2m為周期的周期函數(shù).1+f(x)4〉f(x+m)=-1-f(x)，則f(x)是以T二4m為周期的周期函數(shù).1+f(x)5〉f(x+m)=1+f(x)，則f(x)是以T二4m為周期的周期函數(shù).1-f(x)6＞若f(x)是R上的奇函數(shù)，且關(guān)于直線x二m對(duì)稱，則T=4m(仿正弦函數(shù)抽象而得)證明：：該函數(shù)關(guān)于直線x二m對(duì)稱:.f(x+2m)=f(-x):該函數(shù)是奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)，則:?f(x+2m)=f(-x)=-f(x)由1＞得，T=4m7＞若f(x)是R上的偶函數(shù)，且關(guān)于直線x二m對(duì)稱，則T=2m(仿余弦函數(shù)抽象而得)證明：；該函數(shù)關(guān)于直線x二m對(duì)稱：.f(x+2m)=f(-x):該函數(shù)是偶函數(shù)：f(-x)=f(x)，則:?f(x+2m)=f(-x)=f(x)故：T=2m8＞若f(x)定義在R上,且關(guān)于直線x二m和x二n對(duì)稱(m主n)，則T=2(m-n)(仿正余弦而得)證明：：該函數(shù)關(guān)于直線x二m對(duì)稱，?：f(2m-x)=f(x)-■該函數(shù)關(guān)于直線x二n對(duì)稱，：?f(2n-x)=f(x)貝y,f(2(m-n)+x)=f(2m-(2n-x))=f(2n-x)=f(x)故，T=2(m-n)9＞若f(x)定義在R上,且既關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，又關(guān)于直線x=m對(duì)稱，則T=4(m-a)(仿正余弦)證明：；該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，：?f(x)+f(2a-x)=2b(1)；該函數(shù)關(guān)于直線x=m對(duì)稱，：?f(x)=f(2m-x)，代入(1)式得：f(2m-x)+f(2a-x)=2b，(2)記2a-x=t，貝yx=2a-1代入(2)得：f(2m-2a+1)+f(t)=2b，即：f(2m-2a+1)=-f(t)+2b由結(jié)論1＞得：T=2(2m-2a)=4(m-a)10＞若f(x)定義在R上,且既關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(k,n)，則T=2(k-m)(仿正余弦而得)證明：；該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱，：?f(x)+f(2m-x)=2n(1)■■該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(k,n)對(duì)稱，：?f(x)+f(2k-x)=2n(2)由(1)－(2)得，f(2m-x)-f(2k-x)=0

記2m—x二t，則x二2m—t代入上式得：f(t)—f(2k—2m+1)=0,即:f(t)=f(2k—2m+1)故：T=2(k—m)二、習(xí)題精練TOC\o"1-5"\h\z1、f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則在區(qū)間(0,6)內(nèi)f(x)=0的解的個(gè)數(shù)的最小值是()A．2；B．3C．4D．52、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=—f(x),則f(6)的值為()A．—1B．0C．1D．223、設(shè)f(x)定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x+3)=—恒成立，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且該f(x)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則下面正確的結(jié)論是()A、f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)；B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)；Cf(6.5)<f(3.5)<f(1.5)；D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)4、設(shè)函數(shù)f(x)(xeR)是以3為周期的奇函數(shù)，且f(1)>1,f(2)=a，貝y()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減函數(shù)6A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減函數(shù)6、已知函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(0,1)時(shí)，D.先減后增函數(shù)f(x)=2x—1，則f(log210)的值為A.B.8D.5A.a>2B.a<—2C.a>1D.a<—15、定義域在R的函數(shù)f(x)既是的偶函數(shù)，又關(guān)于x=1對(duì)稱，若f(x)在［-1,0］上是減函數(shù)，那么f(x)在b，3〕上是()7、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(1—x)+f(1+x)=2,，f(x)=f(4—x)則在［0,10〕內(nèi)，方程f(x)=1的解至少有幾個(gè)()A.2；B.4C.5D.68、f(x)定義域?yàn)镽,且對(duì)任意xeR都有f(x+1)=理=成立，若f(2)=1-2則f(2009)=1—f(x)9、f(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，且其圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，求值f(1)+f⑵+f(3)+f⑷+f⑸10、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，對(duì)任意x,x?w[0怎],都有厶2f(x+x)二f(x)-f(x)且f(1)=a>01212(I)求f(2),f(4)；(II)證明f(x)是周期函數(shù)；11、(05廣東)設(shè)函數(shù)f(x)在(-?+生)上滿足f(2—x)二f(2+x),f(7-x)二f(7+x)，且在閉區(qū)間【0,7〕上，只有f(1)=f(3)二0.試判斷函數(shù)y二f(x)的奇偶性；試求方程f(x)二0在閉區(qū)間［-2005,2005］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論11、已知函數(shù)于(x)11、已知函數(shù)于(x)的定義域?yàn)閧xl