湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知命題：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，命題：函數(shù)是冪函數(shù)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)①向左平移個(gè)單位，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍；②向左平移個(gè)單位，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍；③各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位:④各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位其中命題正確的為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④4．已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A. B.C. D.5．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.6．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫----秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，則此三角形面積的最大值為（）A.6 B.9C.12 D.187．下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù).若關(guān)于x的方程在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是A. B.C. D.10．設(shè)，，則的結(jié)果為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)f(x)=π6x,x12．已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足．若，則_______________13．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________14．已知，，則_____；_____15．設(shè)是以2為周期的奇函數(shù)，且，若，則的值等于___16．已知集合，，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線(xiàn)x＋2y－4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程18．已知是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)的解析式為.（1）寫(xiě)出在上的解析式；（2）求在上的最值.19．已知函數(shù)，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式：（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義給予證明：（3）若的定義域?yàn)闀r(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集.20．已知函數(shù)f（x）=（1）若f（2）=a，求a的值；（2）當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意互不相等實(shí)數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由21．已知函數(shù)（I）若是第一象限角，且．求的值；（II）求使成立的x的取值集合

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，從充分性與必要性?xún)蓚€(gè)方面分析判斷.【題目詳解】若函數(shù)是冪函數(shù)，則過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)時(shí)，則不一定是冪函數(shù)，例如一次函數(shù)，所以是的必要不充分條件.故選：B.2、D【解題分析】若,則需使得平面內(nèi)有直線(xiàn)平行于直線(xiàn)；若,則需使得,由此為依據(jù)進(jìn)行判斷即可【題目詳解】當(dāng)時(shí),可確定平面,當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以；當(dāng)平面交平面于直線(xiàn)時(shí),因?yàn)?所以,則,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,故A錯(cuò)誤,D正確；當(dāng)時(shí),需使得,選項(xiàng)B、C中均缺少判斷條件,故B、C錯(cuò)誤；故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的判定,考查空間想象能力3、B【解題分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)椋?，為了得到函?shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，或?qū)⒑瘮?shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位.故①④滿(mǎn)足條件，故選：B.4、C【解題分析】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C平移法是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線(xiàn)，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條，作出異面直線(xiàn)所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線(xiàn)所成的角．求異面直線(xiàn)所成的角要特別注意異面直線(xiàn)之間所成角的范圍5、A【解題分析】由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A考點(diǎn)：圓的一般方程6、C【解題分析】根據(jù)題意可得，代入面積公式，配方即可求出最大值.【題目詳解】由，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).故選：C7、B【解題分析】利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)所滿(mǎn)足條件可得出合適的選項(xiàng).【題目詳解】觀(guān)察圖象與軸的交點(diǎn)，若交點(diǎn)附近的函數(shù)圖象連續(xù)，且在交點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相異，則可用二分法求零點(diǎn)，故B不能用二分法求零點(diǎn)故選：B.8、C【解題分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由在上有解，可知，所以只要求出在上即可【題目詳解】，由，得，所以，所以，即，由在上有解，可知，所以，得，氫實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：C9、B【解題分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)的,再代入對(duì)應(yīng)解析式得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以,選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查偶函數(shù)應(yīng)用，考查基本轉(zhuǎn)化求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)?，，所以故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、12##【解題分析】利用分段函數(shù)的解析式，代入求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=所以f(f(13))=f故答案為：112、3【解題分析】根據(jù)得到周期為2，可得結(jié)合可求得答案.【題目詳解】解：∵，所以周期為2的函數(shù)，又∵，∴故答案為：313、【解題分析】對(duì)于方程，由于，解得集合，由，根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列式求得的范圍【題目詳解】解：對(duì)于，由于，，，；∴∵，集合，∴解得，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：14、①.②.【解題分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，則，故.故答案為：；215、【解題分析】先利用求得的值，再依據(jù)題給條件用來(lái)表示，即可求得的值【題目詳解】∵，∴，又∵是以2為周期的奇函數(shù)，∴故答案為：16、【解題分析】因?yàn)榧?，，所以，故答案?三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）m<5；（2）；（3）【解題分析】詳解】（1）由，得：，，；（2）由題意，把代入，得，，，∵得出：，∴，∴；（3）圓心為，，半徑，圓的方程.考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.18、（1）（2）最大值為0，最小值為【解題分析】（1）先求得參數(shù)，再依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得在上的解析式；（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域即可解決.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，由，得，由，解得，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為設(shè)，則，，即當(dāng)時(shí)，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為0，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.19、（1）；（2）單調(diào)遞增.證明見(jiàn)解析；（3）【解題分析】（1）列方程組解得參數(shù)a、b，即可求得的解析式；（2）以函數(shù)單調(diào)性定義去證明即可；（3）依據(jù)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，即，解之得，則，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增.設(shè)任意，且，則由，且，可得則，即故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】不等式可化為等價(jià)于，解之得故不等式的解集為20、（1）；（2）；（3）個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解題分析】（1）分類(lèi)討論求出f（2），代入f（2）＝a，解方程可得；（2）a＝2時(shí)，求出分段函數(shù)的增區(qū)間；“對(duì)任意互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”?f（x）在（m，m+4）上是增函數(shù)，根據(jù)子集關(guān)系列式可得m的范圍；（3）按照x≥a和x＜a這2種情況分別討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)【題目詳解】解：（1）因?yàn)閒（2）=a，當(dāng)a≤2時(shí)，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；當(dāng)a＜2時(shí)，-4+2（a+1）-a=a，此式無(wú)解；綜上可得：a=1（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，）和（2，+∞），又由已知可得f（x）在（m，m+4）上單調(diào)遞增，所以m+4≤，或m≥2，解得m≤-或m≥2，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-]∪[2，+∞）；（3）由題意得g（x）=①當(dāng)x≥a時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x=，因?yàn)?，所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a＞0，∵-a=＞a，∴f（）=-=-＜0，由二次函數(shù)可知，g（x）在區(qū)間（a，）和區(qū)間（，+∞）各有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)x＜a時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x=＞a，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞增且f（）=0，所以函數(shù)在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)綜上函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（-＜a＜0）在R上有3個(gè)零點(diǎn)【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，屬于難題21、（I）（II）【解