2024屆一輪復(fù)習(xí)人教B版 第三章第01講 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 學(xué)案

第01講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（2）通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主．知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1、概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【解題方法總結(jié)】1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．題型一：導(dǎo)數(shù)的定義【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，即.故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s，則當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【解析】由，求導(dǎo)得：.當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）.故當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)樗怨蔬x：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由導(dǎo)數(shù)定義可得，所以．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若在處可導(dǎo)，則可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由導(dǎo)數(shù)定義，對(duì)于A，，A滿足；對(duì)于B，，，B不滿足；對(duì)于C，，，C不滿足；對(duì)于D，，，D不滿足.故選：A.【解題方法總結(jié)】對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出．題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以【?duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2），所以.（3）.（4）.（5）.（6），故.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，于是．故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意滿足，且，求__________.【答案】【解析】由題意可知，令，則，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，則，故，故．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則__________.【答案】-2【解析】由函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，解得，因此，，所以.故答案為：-2【解題方法總結(jié)】對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題．題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義方向1、在點(diǎn)P處切線【例3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).若的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______【答案】【解析】，令，，則，令，，解得x＝2k＋1，，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝1，所以直線x＝1為的一條對(duì)稱軸，故的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則有，解得b＝－1，則，，，，故切線方程為.故答案為；.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以，則，故，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：方向2、過(guò)點(diǎn)P的切線【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．【答案】【解析】由題意可得，設(shè)該切線方程，且與相切于點(diǎn)，，整理得，∴，可得，∴.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以，過(guò)的切線方程為，綜上，，即，所以有三個(gè)不同值使方程成立，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.【答案】或（寫出一條即可）【解析】由可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點(diǎn)坐標(biāo)為或，故切線方程為或，故答案為：或【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為_________．【答案】，，，只需寫出一個(gè)答案即可【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為．因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，由題意關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，則，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個(gè)答案即可【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】或【解析】由可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率，又因?yàn)椋瑒t切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為__________.【答案】【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線的斜率為，所以切線的方程為，將代入得，即，設(shè)，則，由，得或，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，又0，所以恒成立，所以的圖象大致如圖所示，由圖可知，方程最多個(gè)解，即過(guò)點(diǎn)的切線最多有條，即的最大值為3，此時(shí).故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，∴，得，∴，，∴切點(diǎn)為，，∴曲線在點(diǎn)M處的切線方程為①，又∵該切線過(guò)點(diǎn)，∴，解得或．將代入①得切線方程為；將代入①得切線方程為，即．∴曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為或．故答案為：或方向3、公切線【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以且，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┤糁本€與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.【答案】1【解析】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而曲線也關(guān)于直線對(duì)稱，因此點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，從而，，所以．故答案為：1.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．【答案】【解析】曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由于直線與圓相切，得（*）因?yàn)榍€與圓有三條公切線，故（*）式有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則曲線與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn).顯然，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，只需，即，解得.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意得，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，，即，由于兩切線為同一直線，所以，得．令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．即有處取得極小值，也為最小值，且為．又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，結(jié)合當(dāng)時(shí)，趨近于0，趨于負(fù)無(wú)窮小，故趨近于正無(wú)窮大，當(dāng)時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，且增加幅度遠(yuǎn)大于的增加幅度，故趨近于正無(wú)窮大，由此結(jié)合圖像可得a的范圍是，故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．【答案】【解析】設(shè)曲線在處的切線與曲線相切于處，，故曲線在處的切線方程為，整理得.，故曲線在處的切線方程為，整理得.故由(1)再結(jié)合知，將(1)代入(2)，得，解得且，將代入(1)，解得且，即且，令，則，.令，，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個(gè)根，由圖和知.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線和曲線有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線l，則l的方程為________．【答案】【解析】設(shè)曲線和曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則，由題意知，即，解得，故切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程為，即，故答案為：方向4、已知切線求參數(shù)問(wèn)題【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線有兩條過(guò)的切線，則a的范圍是______.【答案】【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：.因過(guò)，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，.據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過(guò)的切線.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，故切線的斜率為：，，則.又由于切點(diǎn)在切線與曲線上，所以，所以.令，則，設(shè)，，令得：，所以當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).所以.所以的最大值為：1.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由且x不為0，得設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以，可得.故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即；由題意可得：，所以.故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是曲線上的任一點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)榍€在其上任意一點(diǎn)點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，所以，對(duì)任意的恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，解得.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】對(duì)求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D．方向5、切線的條數(shù)問(wèn)題【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知點(diǎn)在函數(shù)圖象上方時(shí)，過(guò)此點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，所以，故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即.令，則與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時(shí)，，于是符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D方向6、切線平行、垂直、重合問(wèn)題【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)圖象上切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，得，所以，所以切線方程為，即，設(shè)函數(shù)的圖象上的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3【答案】B【解析】設(shè)，由得，由題意，因?yàn)?，則有．把代入得，由題意都是此方程的解，即①，，化簡(jiǎn)為②，把①代入②并化簡(jiǎn)得，即，，當(dāng)時(shí)，①②兩式相同，說(shuō)明，舍去．所以．故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·江西撫州·高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）已知曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點(diǎn)，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍芯€互相垂直，所以，所以，所以，直線的方程為，令，得，故，直線的方程為，令，得，故，所以，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以，即，故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因?yàn)閍一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的圖像上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，顯然是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；在時(shí)，，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點(diǎn)的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于B，是正弦函數(shù)，顯然在頂點(diǎn)處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于C，考察兩點(diǎn)處的切線方程，，兩點(diǎn)處的切線斜率都等于1，在A點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得：，在B點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，顯然重合，C是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于D，，令，則，是增函數(shù)，不存在時(shí)，，所以D不是“切線重合函數(shù)”；故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)A、B處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，當(dāng)或時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程為兩直線重合的充要條件是①，②，由①②得：，，令，則，令，則，由，得，即時(shí)有最大值，在上單調(diào)遞減，則.a的取值范圍是.故選：B.方向7、最值問(wèn)題【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，．，，解得．．得到切點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離．最小值為．故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練42】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖像關(guān)于直線對(duì)稱；故可先求點(diǎn)P到直線的最近距離d，又，當(dāng)曲線上切線的斜率時(shí)，得，，則切點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練43】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，令得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以與無(wú)交點(diǎn)，則與也無(wú)交點(diǎn)，下面求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，，，，解得，，得到切點(diǎn)，到直線的距離，的最小值為，故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練44】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【解析】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練45】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由得，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點(diǎn)為，曲線上點(diǎn)到直線的距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，由，解得．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練46】（2023·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，表示點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離；點(diǎn)的軌跡為，表示直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離；令，則，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，的最小值為.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47】（2023·四川成都·川大附中?？级＃┤酎c(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小.設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時(shí)點(diǎn)到直線距離.故選：C方向8、牛頓迭代法【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練48】（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)做曲線的切線：，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過(guò)零點(diǎn)大小，則函數(shù)的零點(diǎn)一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【答案】C【解析】易知在定義域上單調(diào)遞增，，即函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，且在區(qū)間上.不妨取作為初始近似值，，由題意知.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練49】（多選題）（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，過(guò)點(diǎn)（）作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.對(duì)于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．切線：C． D．【答案】ABD【解析】由，可得，即，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，可得，所以A正確；又由，設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為，令，可得，所以D正確；當(dāng)時(shí)，可得，則，所以的方程為，即，所以B正確；由，可得，，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；故選：ABD【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練50】（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作：用替代重復(fù)上面的過(guò)程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點(diǎn)的近似值，即為的近似值，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意，B．若，且，則對(duì)任意，C．當(dāng)時(shí)，需要作2條切線即可確定的值D．無(wú)論在上取任何有理數(shù)都有【答案】BCD【解析】A，因?yàn)?，則，設(shè)，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，故A錯(cuò)誤；B，處的切線方程為，所以與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故B正確；C，因?yàn)椋?，所以兩條切線可以確定的值，故C正確；D，由選項(xiàng)C可知，，所以無(wú)論在上取任何有理數(shù)都有，故D正確.故選：B