2022年廣東省梅州市梅縣高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年廣東省梅州市梅縣高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，則A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}參考答案：C考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專(zhuān)題：集合．分析：直接利用交集運(yùn)算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2.設(shè)A，B是有限集合，定義：，其中card（A）表示有限集合A中的元素個(gè)數(shù)，則下列不一定正確的是（）A．d（A，B）≥card（A∩B）B．C．d(A，B)≤D．d(A，B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)﹣card(B)|]參考答案：C【考點(diǎn)】集合中元素個(gè)數(shù)的最值．【分析】根據(jù)定義：，逐一分析四個(gè)答案的真假，可得結(jié)論．【解答】解：∵card（A∪B）≥card（A∩B），d（A，B）=≥=card（A∩B）故A一定正確；∵card（A∪B）+card（A∩B）=card（A）+card（B）∴=故B，D一定正確；由基本不等式可得：=≥，故C不一定正確；故選：C3.已知某四面體的六條棱長(zhǎng)分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不對(duì)參考答案：B【分析】當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當(dāng)它們是四面體相鄰的棱時(shí)，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．【詳解】①當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，如圖，取CD中點(diǎn)E，則∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線∴CD⊥平面ABE，結(jié)合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此時(shí)兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為cos90°＝0，檢驗(yàn)：此時(shí)△ABE中，AE＝BE，不滿足AE+BE＞AB，故此種情況舍去；②當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相鄰的棱時(shí)，如圖設(shè)所成的角為θ，根據(jù)余弦定理得cosθ綜上所述，得所求余弦值為故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了在四面體中求兩條棱所在直線所成角的余弦值，著重考查了余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b+c的取值范圍為(

) A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3）參考答案：D考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專(zhuān)題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：題中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)K，有2個(gè)不同的K，再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開(kāi)區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．解答： 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：由圖象可得當(dāng)f（x）∈（0，1]時(shí)，有四個(gè)不同的x與f（x）對(duì)應(yīng)．再結(jié)合題中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解”，可以分解為形如關(guān)于k的方程k2﹣bk+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根K1、K2，且K1和K2均為大于0且小于等于1的實(shí)數(shù)．列式如下：，化簡(jiǎn)得，此不等式組表示的區(qū)域如圖：令z=b+c，則z=b+c在（2，1）處z=3，在（0，0）處z=0，所以b+c的取值范圍為（0，3），故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，同時(shí)考查線性規(guī)劃等知識(shí)，較為綜合；采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．5.過(guò)點(diǎn)（0，1）且與曲線在點(diǎn)（3，2）處的切線垂直的直線的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A6.一個(gè)等比數(shù)列前三項(xiàng)的積為2，最后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列有（）A．13項(xiàng) B．12項(xiàng) C．11項(xiàng) D．10項(xiàng)參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a1qn﹣1，則前三項(xiàng)之積：a13q3=2，后三項(xiàng)之積：a13q3n﹣6=4兩式相乘得即a12qn﹣1=2，又根據(jù)所有項(xiàng)的積為64，進(jìn)而求出n．【解答】解析：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a1qn﹣1則前三項(xiàng)分別為a1，a1q，a1q2，后三項(xiàng)分別為a1qn﹣3，a1qn﹣2，a1qn﹣1．∴前三項(xiàng)之積：a13q3=2，后三項(xiàng)之積：a13q3n﹣6=4兩式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12qn﹣1=2又a1?a1q?a1q2…a1qn﹣1=64，∴=64，即（a12qn﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．7.如果對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(3+t)=f(3-t)，那么（

）A．f(3)<f(1)<f(6)

B．f(1)<f(3)<f(6)

C．f(3)<f(6)<f(1)

D．f(6)<f(3)<f(1)參考答案：A8.在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是

（

）

A．α、β都垂直于平面r.

B．α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等.

C．l，m是α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β.

D．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.參考答案：答案：D9.設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，則ab的最大值為（）A．1 B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作差可行域，由可行域得到使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到關(guān)于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：由約束條件作差可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3）．由圖可知，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by在點(diǎn)（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=1，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．10.若（+2x）6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．120 B．160 C．200 D．240參考答案：B【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解（+2x）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C6r2rx2r﹣6．令2r﹣6=0，解得r=3，∴（+2x）6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C6323=160，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）采用系統(tǒng)抽樣方法從600人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為001，002，…，600，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽得的號(hào)碼為003，抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[001，300]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[301，495]的人做問(wèn)卷B，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[496，600]的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為

．參考答案：8【考點(diǎn)】：系統(tǒng)抽樣方法．概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：從600人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，=12．即每12人中抽取1人做問(wèn)卷調(diào)查，可知：按3+12k（k∈N*）抽?。傻茫涸趨^(qū)間[496，600]抽取的第一人號(hào)碼為507，依次為507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．解：∵從600人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，=12．即每12人中抽取1人做問(wèn)卷調(diào)查，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽得的號(hào)碼為003，則以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在區(qū)間[496，600]抽取的第一人號(hào)碼為507，依次為507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此編號(hào)落入?yún)^(qū)間[496，600]的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了系統(tǒng)抽樣的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.在中，，是的中點(diǎn)，若，在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)___________.參考答案：13.設(shè)表示離最近的整數(shù)，即若，則=.下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題中正確的是

。①函數(shù)的定義域是R，值域是；②函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是1；④函數(shù)是偶函數(shù)。參考答案：①②③14.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_(kāi)_________.參考答案：略15.

如右圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長(zhǎng)為，高為，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記，梯形面積為．則關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域?yàn)?/p>

．參考答案：，16.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是

．參考答案：17.設(shè)實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值為

；

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的方程為．（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若P為曲線C上一點(diǎn)，Q為l上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）直線l的方程轉(zhuǎn)化為+=﹣4，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．（2）點(diǎn)P（8tan2θ，8tanθ）到直線l的距離d==4（tan）2+3，由此能求出當(dāng)tanθ=﹣時(shí)，|PQ|取得最小值．【解答】解：（1）∵直線l的方程為．即+=﹣4，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為，即x+y+8=0．（2）∵曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，）．P為曲線C上一點(diǎn)，Q為l上一點(diǎn)，∴點(diǎn)P（8tan2θ，8tanθ）到直線l的距離：d==4|（tanθ+）2+|=4（tan）2+3，∴當(dāng)tanθ=﹣時(shí)，|PQ|取得最小值3．19.（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．參考答案：可利用橢圓參數(shù)方程或三角表示揭示為定值.試題分析：（1）,（2）,（3）.試題解析：（1）由已知，得

解得

…2分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

…3分20.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．【專(zhuān)題】壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．求出當(dāng)m=2時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在（﹣1，0）上有唯一零點(diǎn)x0，則當(dāng)x=x0時(shí)函數(shù)取得最小值，借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x0）＞0，從而結(jié)論得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得m=1．所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域?yàn)椋ī?，+∞）．∵．設(shè)g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)，又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（﹣m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）．當(dāng)x∈（﹣2，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵，是難題．21.(13分)某同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)3門(mén)課程的考試.假設(shè)該同學(xué)語(yǔ)文課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為,數(shù)學(xué)、英語(yǔ)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為m,n(m>n),且該同學(xué)3門(mén)課程都獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率為,該同學(xué)3門(mén)課程都未