2022年上海市民辦黃河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年上海市民辦黃河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i，i為虛數(shù)單位，則z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】復(fù)數(shù)方程同除i，右側(cè)復(fù)數(shù)的分子、分母同乘復(fù)數(shù)i，化簡(jiǎn)為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由z?i=2﹣i得，，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2.（5分）一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面xoy被反射，到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（） A． B． C． D． 參考答案：D考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式．專題： 計(jì)算題．分析： 求出P關(guān)于平面xoy的對(duì)稱點(diǎn)的M坐標(biāo)，然后求出MQ的距離即可．解答： 解：點(diǎn)P（1，1，1）平面xoy的對(duì)稱點(diǎn)的M坐標(biāo)（1，1，﹣1），一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面xoy被反射，到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=．故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的求法，兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.設(shè)全集U=R，A={x︱1≤x≤10,x∈N}，B={︱x2+x－6=0,x∈R}，則下圖中陰影表示的集合為

（

）(A){2}

(B){3}

(C){－3，2}

(D){－2，3}

參考答案：答案：D4.設(shè)全集，且，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8參考答案：D5.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（）A．

Ｂ．

Ｃ．1 Ｄ．3參考答案：D6.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為（）A．2 B．6 C． D．9參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長(zhǎng)a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長(zhǎng)的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，∴由a=3，結(jié)合正弦定理得：==2，∴b=2sinB，c=2sinC，則a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（﹣B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周長(zhǎng)的最大值為9．故選：D．7.下列命題中，真命題的是(

)A.，＜0B.，C.“”的充要條件是“”D.“”是“”的充分條件參考答案：D8.在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c?sinA＜sinB＜sinC?sin2A＜sin2B＜sin2C?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C?“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要條件．故選：C．9.如圖，點(diǎn)M為?ABCD的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l垂直于AB，且直線l與?ABCD的另一邊交于點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)M從A→B勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△AMN的面積為S，能大致反映S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.參考答案：C分析：本題需要分兩種情況來進(jìn)行計(jì)算得出函數(shù)解析式，即當(dāng)點(diǎn)N和點(diǎn)D重合之前以及點(diǎn)M和點(diǎn)B重合之前，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式．詳解：假設(shè)當(dāng)∠A=45°時(shí)，AD=2，AB=4，則MN=t，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AM=MN=t，則S=，為二次函數(shù)；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，S=t，為一次函數(shù)，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查的就是函數(shù)圖像的實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中等難度題型．解答這個(gè)問題的關(guān)鍵就是得出函數(shù)關(guān)系式．10.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3參考答案：A考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是三棱柱與三棱錐的組合體，結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，求出它的體積．解答：解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是下部為直三棱柱，上部為直三棱錐的組合體；如圖所示：∴該幾何體的體積是V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=×2×1×1+××2×1×1=．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a>0，且a≠1，,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：12.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩成60°，且PA=1，PB=PC=2，則該三棱錐外接球的表面積為

．參考答案：13.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義若，，則的最小值為．參考答案：因?yàn)?，所以時(shí)，解得或。當(dāng)時(shí)，，即，所以，做出圖象，由圖象可知函數(shù)的最小值在A處，所以最小值為。14.設(shè)函數(shù)的定義域分別為，且，若對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)為在上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)，為在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)．給出以下命題：

①當(dāng)時(shí)，

②函數(shù)g(x)有5個(gè)零點(diǎn)；

③的解集為；

④函數(shù)的極大值為1，極小值為-1;

⑤，都有.

其中正確的命題是________．（填上所有正確的命題序號(hào)）參考答案：①③⑤15.5000輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)測(cè)速區(qū)，其速度頻率分布直方圖如右圖所示，則時(shí)速超過70km/h的汽車數(shù)量為

參考答案：50016.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在x=2處的切線方程為

。參考答案：因?yàn)?，又在處的切線方程為，斜率為，所以，解得．17.若一條回歸直線的斜率的估計(jì)值是2.5，且樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則該回歸直線的方程是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，直線截圓所得弦長(zhǎng)是 .參考答案：2略19.某種產(chǎn)品按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)編號(hào)x依次為1,2,3,4,5，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)編號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得頻率分布表如下：(1)若所抽取的20件產(chǎn)品中，等級(jí)編號(hào)為4的恰有3件，等級(jí)編號(hào)為5的恰有2件，求a,b,c的值；(2)在(1)的條件下，將等級(jí)編號(hào)為4的3件產(chǎn)品記為，等級(jí)編號(hào)為5的2件產(chǎn)品記為，現(xiàn)從,這5件產(chǎn)品中任取兩件(假定每件產(chǎn)品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件產(chǎn)品的等級(jí)編號(hào)恰好相同的概率.

參考答案：(1)，，(2)解析：（1）由頻率分布表得，即．因?yàn)槌槿〉?0件產(chǎn)品中，等級(jí)編號(hào)為4的恰有3件，所以．等級(jí)編號(hào)為5的恰有2件，所以．從而．所以，，．（2）從這5件產(chǎn)品中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：．設(shè)事件A表示“從這5件產(chǎn)品中任取兩件，其等級(jí)編號(hào)相同”，則包含的基本事件為：共4個(gè)．又基本事件的總數(shù)為10，故所求的概率．

略20.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．(1)若，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求的面積；

(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．參考答案：(1)設(shè)，，焦點(diǎn)，則由題意，即……2分所求的軌跡方程為，即…………4分(2)，，直線，……5分由得，，……………7分，

……………8分

……………9分(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線AB：，代入拋物線得，……11分所以，……………12分又，，因而，因而………14分而，故．…………………16分21.著名魔術(shù)師劉謙表演過一個(gè)“日歷預(yù)言”的魔術(shù)，本質(zhì)是根據(jù)日歷上日期排列的特點(diǎn)玩的一個(gè)數(shù)字游戲.如圖是2019年6月的日歷的一部分（Ⅰ）在陰影部分任選三個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)之和為42的概率；（Ⅱ）在陰影部分每一行中各選一個(gè)數(shù)，記三個(gè)數(shù)之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）任選三個(gè)數(shù)，共有種情況.再分別找出三個(gè)數(shù)之和為42的情況。（Ⅱ）在每一行中各取一個(gè)數(shù)字，則共有種情況，再分別算出而的取值有39，40，41，42，43，44，45共7種可能的概率?！驹斀狻浚á瘢┤芜x三個(gè)數(shù)，共有種情況.若在第一行選三個(gè)數(shù)，則和為，不符合條件；若在第一行選兩個(gè)數(shù)，則和最大為，不符合條件；若第一行選一個(gè)數(shù)字，由下圖可知，滿足條件的有7種選取方法；若第一行不選，則只有選13，14，15共1種方法.所以三數(shù)之和為42的共有種選取方法，故所求概率為.（Ⅱ）在每一行中各取一個(gè)數(shù)字，則共有種情況.而的取值有39，40，41，42，43，44，45共7種可能.，有一種，所以；，有一種，所以；，有、、三種，所以；，有、、三種，所以；，有、、、、、六種，所以；，有、、、、、六種，所以；，由（Ⅰ）可知共7種，所以.故的分布列為39404142434445

故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型、隨機(jī)變量的分布列與期望。屬性常規(guī)題型。在解題時(shí)應(yīng)注意條件和可能情