高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專(zhuān)題65 直線的方程與性質(zhì) (含解析)

PAGE微專(zhuān)題65直線的方程與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）直線的要素與方程：1、傾斜角：若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交，則以SKIPIF1<0軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與SKIPIF1<0重合所成的角稱(chēng)為直線SKIPIF1<0的傾斜角，通常用SKIPIF1<0表示（1）若直線與SKIPIF1<0軸平行（或重合），則傾斜角為SKIPIF1<0（2）傾斜角的取值范圍SKIPIF1<02、斜率：設(shè)直線的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的正切值稱(chēng)為直線的斜率，記為SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）SKIPIF1<0越大，直線越陡峭（5）斜率SKIPIF1<0的求法：已知直線上任意兩點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)。3、截距：若直線SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸分別交于SKIPIF1<0，則稱(chēng)SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點(diǎn)與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關(guān)（1）一點(diǎn)一方向：①點(diǎn)斜式：已知直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直線上一點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：設(shè)直線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)斜率計(jì)算公式可得：SKIPIF1<0，所以直線上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿足：SKIPIF1<0，即為直線方程②斜截式：已知直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，縱截距SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：由縱截距為SKIPIF1<0可得直線與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)為SKIPIF1<0，從而利用點(diǎn)斜式得：SKIPIF1<0化簡(jiǎn)可得：SKIPIF1<0（2）兩點(diǎn)確定一條直線：③兩點(diǎn)式：已知直線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0④截距式：若直線SKIPIF1<0的橫縱截距分別為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：從已知截距可得：直線上兩點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤一般式：由前幾類(lèi)直線方程可知：直線方程通常由SKIPIF1<0的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，所以可將直線的通式寫(xiě)為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不同時(shí)為0），此形式稱(chēng)為直線的一般式一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果可用于判定直線的平行垂直關(guān)系點(diǎn)到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線：（1）點(diǎn)斜式，斜截式：與斜率相關(guān)，所以無(wú)法表示斜率不存在的直線（即豎直線）（2）截距式：①截距不全的直線：水平線，豎直線②截距為0的直線：過(guò)原點(diǎn)的直線6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類(lèi)型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）（二）直線位置關(guān)系：1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是SKIPIF1<0，則要考慮重合的情況。2、直線平行的條件（1）斜截式方程：設(shè)直線SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②若直線SKIPIF1<0的斜率存在，則SKIPIF1<0（2）一般式方程：設(shè)SKIPIF1<0，則①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中至少一個(gè)成立，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0（此條件適用于所有直線）3、直線垂直的條件：（1）斜截式方程：設(shè)直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）一般式方程：設(shè)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<04、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律：可選擇與一般式方程SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的向量：SKIPIF1<0，即有：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的關(guān)系即可代表SKIPIF1<0的關(guān)系，例如：SKIPIF1<0（注意驗(yàn)證是否會(huì)出現(xiàn)重合的情況）SKIPIF1<0（三）距離問(wèn)題：1、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02、點(diǎn)到直線距離公式：設(shè)SKIPIF1<0則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<03、平行線間的距離：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0（四）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1、中心對(duì)稱(chēng)：（1）幾何特點(diǎn)：若SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)（2）解析特征：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0點(diǎn)關(guān)于SKIPIF1<0點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<02、軸對(duì)稱(chēng)（1）幾何特點(diǎn)：若若SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中垂線，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中點(diǎn)在SKIPIF1<0上（2）解析特征：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0點(diǎn)關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可（3）求軸對(duì)稱(chēng)的直線：設(shè)對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)直線為SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到對(duì)稱(chēng)軸的距離與SKIPIF1<0到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等②若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，則取SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0，求出關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為對(duì)稱(chēng)直線SKIPIF1<0（五）直線系方程：滿足某種特征的一類(lèi)直線組成的集合稱(chēng)為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線）1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系——參數(shù)不會(huì)影響斜率的取值（1）與直線SKIPIF1<0平行的直線系方程為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)，且SKIPIF1<0）（2）與直線SKIPIF1<0垂直的直線系方程為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)）2、過(guò)定點(diǎn)的直線：（1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合），則過(guò)SKIPIF1<0交點(diǎn)的直線系方程為：SKIPIF1<0（該直線無(wú)法表示SKIPIF1<0）3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時(shí)可充分利用平行，垂直或過(guò)定點(diǎn)的條件，將直線設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程二、典型例題：例1：直線SKIPIF1<0的傾斜角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：要求傾斜角（設(shè)為SKIPIF1<0），可將直線轉(zhuǎn)化為斜截式得：SKIPIF1<0，所以，即SKIPIF1<0，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得：SKIPIF1<0答案：B小煉有話說(shuō)：一是要注意由正切值求角時(shí)，通過(guò)圖像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫(xiě)區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，傾斜角為SKIPIF1<0（而不是SKIPIF1<0）例2：經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與連接SKIPIF1<0的線段總有公共點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍為．思路：直線SKIPIF1<0可視為繞SKIPIF1<0進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在坐標(biāo)系中作出線段SKIPIF1<0，即可由圖判斷出若直線SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0有公共點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一條直線與最后一條直線分別為直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖像可得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：本題如果沒(méi)有圖像輔助，極易將結(jié)果寫(xiě)成SKIPIF1<0，通過(guò)觀察可得旋轉(zhuǎn)的過(guò)程當(dāng)中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應(yīng)為正負(fù)值之外，而非正負(fù)值之間。所以處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)：一定作圖，作圖，作圖！！例3：若SKIPIF1<0的圖象是兩條平行直線，則SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值不存在思路：由平行線可得：SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，檢驗(yàn)是否存在重合情況，將SKIPIF1<0代入直線可得：SKIPIF1<0，符合題意，將SKIPIF1<0代入直線可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：SKIPIF1<0答案：B小煉有話說(shuō)：在已知平行關(guān)系求參數(shù)取值時(shí)，盡管在求解時(shí)可僅用SKIPIF1<0系數(shù)關(guān)系，但解出參數(shù)后要進(jìn)行驗(yàn)證，看是否會(huì)導(dǎo)致直線重合。例4：已知直線SKIPIF1<0互相垂直，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0思路：由兩直線相互垂直可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0答案：A例5：已知直線通過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，被直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則反射光線所在直線的方程是．思路：本題與物理知識(shí)相結(jié)合，可知反射光線過(guò)已知點(diǎn)在鏡面中的虛像（即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），所以考慮求出SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0確定反射光線即可。解：設(shè)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同時(shí)為0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)____思路：直線過(guò)定點(diǎn)，則意味著定點(diǎn)坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”——即無(wú)論參數(shù)取何值，不會(huì)影響表達(dá)式的值，能夠達(dá)到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進(jìn)行變形，將含SKIPIF1<0的項(xiàng)與含SKIPIF1<0的項(xiàng)分別歸為一組，可得：SKIPIF1<0，若要讓SKIPIF1<0“失去作用”，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即定點(diǎn)為SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：含參數(shù)的直線方程要么是一組平行線（斜率為常數(shù)），要么考慮過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)的求解可參照例6的求法。尋找定點(diǎn)是一種意識(shí)，即遇到含參數(shù)的直線時(shí)，便可考慮能否找到定點(diǎn)，從而抓住此類(lèi)直線的特征（繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），有助于解題。例7：已知直線SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0滿足與兩點(diǎn)SKIPIF1<0連線的斜率SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是_________思路：設(shè)直線上的點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是符合直線方程，二是保證斜率乘積為3.對(duì)于條件一，即SKIPIF1<0，對(duì)于條件二，按照斜率計(jì)算公式可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0。所以存在滿足條件的SKIPIF1<0，等價(jià)于方程組SKIPIF1<0有解，所以判別式SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例8：若不全為零的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0成等差數(shù)列，點(diǎn)SKIPIF1<0在動(dòng)直線SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則線段SKIPIF1<0長(zhǎng)度的最小值是__________思路：從SKIPIF1<0成等差數(shù)列可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程含參進(jìn)而考慮尋找定點(diǎn)。SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得定點(diǎn)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線，對(duì)于任意點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，而SKIPIF1<0的所有位置中，只有SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0最短，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：（1）本題的突破口在于對(duì)含參直線SKIPIF1<0的分析，首先對(duì)于含參直線要分析出屬于平行線系（斜率為定值），還是過(guò)定點(diǎn)系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對(duì)于多參數(shù)方程也能夠找到定點(diǎn)。（2）本題的SKIPIF1<0均為動(dòng)點(diǎn)，雙動(dòng)點(diǎn)求最值時(shí)，通常固定一個(gè)點(diǎn)，分析此點(diǎn)固定時(shí)，達(dá)到最值時(shí)另一個(gè)點(diǎn)位置的特征（例如本題中固定SKIPIF1<0，分析出SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0最?。?，然后再讓該點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)的過(guò)程中找到“最值”中的最值。例9：已知SKIPIF1<0的兩條高所在直線方程為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程思路：本題并沒(méi)有說(shuō)明高線是否過(guò)SKIPIF1<0，但可以將SKIPIF1<0帶入方程進(jìn)行驗(yàn)證，可得兩條高線均不過(guò)SKIPIF1<0，從而尋找確定SKIPIF1<0直線的要素，可連接SKIPIF1<0，由三角形“三條高線交于一點(diǎn)”的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點(diǎn)可由兩條高線解得，從而得到SKIPIF1<0，只需再求得一點(diǎn)即可，觀察到SKIPIF1<0為三條直線SKIPIF1<0的公共點(diǎn)，SKIPIF1<0已知，而SKIPIF1<0可求。進(jìn)而解得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后通過(guò)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的方程解：設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由“三條高線交于一點(diǎn)”可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0