采樣點數(shù)對zrnke多項式擬合精度的影響

采樣點數(shù)對zrnke多項式擬合精度的影響

光學元件曲面擬合在光學系統(tǒng)的研究中，有必要調(diào)整檢測到的光學元件的結(jié)構(gòu)。Zernike多項式由于在單位圓上加權(quán)正交、系數(shù)相互獨立、且其系數(shù)易與Seidel像差函數(shù)建立聯(lián)系的性質(zhì)常被作為基底函數(shù)系來擬合光學元件曲面。在進行曲面擬合時,采樣點數(shù)目選取較少,擬合精度很差;采樣點數(shù)目選取較多,會使得測量工作量大增,耗費較多的人力物力。因此,有必要對Zernike多項式擬合曲面中采樣點數(shù)目進行一定的研究。1矛盾方程的解析法要擬合的曲面用n項Zernike多項式表示為W(x,y)=a1Z1(x,y)+…+anZn(x,y)=ATZ(1)式中:A=(a1,a2,…,an)T為Zernike多項式系數(shù);Z=[Z1(x,y),Z2(x,y),…,Zn(x,y)]為n項Zernike多項式?，F(xiàn)有m個離散數(shù)據(jù)點Wi(xi,yi),令qij=zj(xi,yi),i=1,2,…,n。代入(1)式得到矛盾方程組(m>n)q11a1+q12a2+?+q1nan=W1q21a1+q22a2+?+q2nan=W2?qm1a1+qm2a2+?+qmnan=W1???????????(2)q11a1+q12a2+?+q1nan=W1q21a1+q22a2+?+q2nan=W2?qm1a1+qm2a2+?+qmnan=W1}(2)該矛盾方程一般不存在通常意義下的解,得到的解是最小二乘解。在實際應用中,為改善方程組的條件矩陣,發(fā)展了兩種算法,一是從基底函數(shù)入手,通過變換函數(shù)族的基底來改善法方程組狀態(tài);二是直接從矛盾方程入手,應用Householder變換把系數(shù)正交三角化,直接求解擬合系數(shù)。2zern東南角項數(shù)的擬合規(guī)律由上節(jié)可以看出,擬合曲面時首先需要對曲面進行采樣。采樣點的數(shù)目過少時,擬合得到的Zernike多項式所表示的曲面與實際的曲面形狀之間的誤差過大;采樣點的數(shù)目過多,則會使得計算量增大,計算時間過長,而且采樣的工作量大增,耗費較多的人力物力。本節(jié)將針對這一問題加以分析研究。整個研究方法是基于不完全歸納法進行的。分析過程分以下幾個步驟:1)建立一個測試函數(shù)來表示曲面形狀。2)擬合得到的Zernike多項式所表示的曲面與實際的曲面形狀之間的誤差用均方根值(RMS)來表示,計算得到RMS與采樣點數(shù)目的關(guān)系圖以及RMS與采樣點數(shù)目、Zernike多項式的項數(shù)的關(guān)系圖,并總結(jié)與擬合精度相關(guān)的規(guī)律。3)換一個新的測試函數(shù)來表示曲面形狀,重復步驟1)和2),總結(jié)得到相同的規(guī)律。首先,建立第1個測試函數(shù)z(x,y)=x2+3y3+5y,0≤x,y≤1(3)并在x和y方向均勻采樣,得到的采樣點數(shù)目與RMS值的關(guān)系圖見圖1,曲線1～16分別代表Zernike項數(shù)為:4,6,8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288時的情況。由圖1可以得到以下的規(guī)律:1)RMS值隨著采樣點數(shù)目成反變化。而且,在關(guān)系圖中的曲線一般存在一個明顯的曲線曲率變化點,當采樣點數(shù)目大于該點時,RMS值隨著采樣點數(shù)目變化的速度變得非常緩慢。2)Zernike多項式的項數(shù)太少時,RMS值非常大。這表明此時的擬合效果很差,采樣點數(shù)目的增大不能使得RMS值降低至一個令人滿意的數(shù)值。3)當Zernike多項式的項數(shù)大于一定值后,在相同的采樣點數(shù)目情況下,Zernike多項式的項數(shù)越多,RMS值越大。或者說,在相同的RMS值要求下,Zernike多項式的項數(shù)越多,需要的采樣點的數(shù)目也越多。隨著采樣點數(shù)目增大,不同項數(shù)Zernike多項式擬合曲線趨于相同的數(shù)值。由規(guī)律2)和3)可以看出,對于一個需要擬合的曲面來說,存在一個最為合適的Zernike多項式的項數(shù)。當擬合所用的Zernike多項式的項數(shù)小于這個合適值時,RMS值比較大,擬合精度較差。當擬合所用的Zernike多項式的項數(shù)大于這個合適值時,擬合所用的Zernike多項式的項數(shù)則越多,得到的RMS值也越大。因此要盡可能選用較少項數(shù)的Zernike多項式來進行曲面擬合。由規(guī)律3)可知,RMS值與Zernike多項式的項數(shù)具有一定的關(guān)系。當以采樣點數(shù)目與Zernike多項式項數(shù)的比值作為自變量RMS為因變量時,得到的樣項比(采樣點數(shù)目與Zernike多項式項數(shù)的比值)與RMS值的關(guān)系圖見圖2。曲線1～16分別代表Zernike項數(shù)為:4,6,8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288時的情況。由圖2可以看出,當Zernike多項式的項數(shù)小于30時,樣項比大于10以后,RMS值的變化已經(jīng)很小,因此一般可以采用樣項比等于10來確定擬合所需要的采樣點的數(shù)目;當Zernike多項式的項數(shù)為30～100時,樣項比大于6以后,RMS值的變化已經(jīng)很小,擬合精度已經(jīng)很好,因此一般可以采用樣項比等于6～10來確定擬合所需要的采樣點的數(shù)目,Zernike多項式的項數(shù)越趨近于100,所選取的樣項比越趨近于6。當Zernike多項式的項數(shù)為100～300時,樣項比大于4以后,RMS值的變化已經(jīng)很小,因此一般可以采用樣項比等于4～6來確定擬合所需要的采樣點的數(shù)目,Zernike多項式的項數(shù)越趨近于300,所選取的樣項比越趨近于4。為了使得結(jié)論更加具有一般性,再建立兩個不同的測試函數(shù)加以對比驗證。建立第2個測試函數(shù)z(x,y)=sin(2x3+3x2+2y4+y3+5y)(4)在x和y方向均勻采樣,得到的采樣點數(shù)目與RMS值的關(guān)系圖見圖3。曲線1～14分別代表Zernike項數(shù)為8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288的情況。得到的樣項比(采樣點數(shù)目與Zernike多項式項數(shù)的比值)與RMS值的關(guān)系圖參見圖4。建立第3個測試函數(shù)z(x,y)=actan(x2+2x+2y3+y)+e0.1x+0.03y2+2x1.9+7y3.8(5)并在x和y方向均勻采樣,得到的采樣點數(shù)目與RMS值的關(guān)系圖見圖5。曲線1～14分別代表Zernike項數(shù)為4,8,12,18,24,40,50,72,90,98,144,200,242,288的情況。得到的樣項比(采樣點數(shù)目與Zernike多項式項數(shù)的比值)與RMS值的關(guān)系圖參見圖6。由圖3～圖6知,雖然測試函數(shù)不同,但與第1個測試函數(shù)所得到的采樣點數(shù)目與RMS及樣項比的變化規(guī)律相一致。另外,通過對更多的測試函數(shù)加以對比驗證,可以得到相同的變化規(guī)律,受篇幅所限,這里不再一一列出。3采樣點數(shù)目對擬合精度的影響在實際的曲面擬合中,元件的曲面形狀一般表示為一個簡單的基本曲面和一個由Zernike多項式所組成的形變曲面的和。以某個元件的曲面擬合為例,通過優(yōu)化設計得到的形變面的等高線圖見圖7(a)。其中x和y值為歸一化的值,因此為無量綱值。采用162個Zernike項數(shù)所組成的Zernike多項式對形變面進行曲面擬合。按照Zernike多項式的項數(shù)為100～300時,樣項比取5確定的擬合所需要的采樣點的數(shù)目為810。均勻采樣870個點擬合所得到的形變面等高線圖見圖7(b),此時計算得到的RMS值為0.00238;均勻采樣1297個點擬合所得到的形變面等高線圖見圖7(c),此時計算得到的RMS值為0.00212;均勻采樣1959個點擬合所得到的形變面等高線圖見圖7(d),此時計算得到的RMS值為0.00204;對比圖7(a)和圖7(b)可知在采樣點為870個時擬合得到的形變面等高線圖與初始的形變面等高線圖相差不大,大部分區(qū)域的形狀都比較一致。圖7(c)、圖7(d)與圖7(a)相比,雖然采樣點數(shù)分別增大了1.49和2.25倍,但等高線圖變化很小,RMS值也僅僅分別減小了11%和14%,而且可以看出,隨著采樣點數(shù)目的進一步增多,RMS值減小的趨勢也越來越緩慢,這些都和上面所得到的擬合精度與采樣點數(shù)目關(guān)系的規(guī)律是相符的。采樣點數(shù)目對于Zernike多項式擬合曲面具有重要的實際意義。本文中采用不完全歸納法建立不同的測試函數(shù),研究采樣點數(shù)目與RMS及樣項比的變化關(guān)系。發(fā)現(xiàn)雖然測試函數(shù)不同,但它們遵循相同的變化規(guī)律,并由該規(guī)律總結(jié)得到采用Zernike多項式擬合曲面時擬合精度較好時的采樣點數(shù)目的經(jīng)驗公式:當Zernike多項式的項數(shù)小于30時,采樣點的數(shù)目可以取為10倍Zernike多項式的項數(shù);當Zernike多項式的項數(shù)為30～100時,采樣點的數(shù)目可以取為6～10倍Zernike多項式的項數(shù),所取采樣點數(shù)目與Zernike多項式項數(shù)為反變化關(guān)系;當Zernike多項式的項數(shù)為100～300時,采樣點的數(shù)目可以取為4～6倍Ze