新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習專題突破精練第8講距離問題教師版

第8講距離問題一．選擇題（共15小題）1．（2021?浙江模擬）記，則的最大值為A．4 B． C．3 D．【解答】解：設，，，當，時，，，，當時，的最大值為，當，時，，，當時，的最大值為，綜上所述的最大值為，故選：．2．（2021?西湖區(qū)校級模擬）若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：令，①時，，，在，遞增，故（1），②時，，，故在遞減，（1），③時，，，在遞增，，④時，，，在，遞減，，綜上，的最小值是2，若不等式有解，即，故，故選：．3．（2015春?定興縣校級期中）若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：不等式在上有解，的最大值大于．由絕對值三角不等式可得，故的最大值為3，，故選：．4．（2021秋?西湖區(qū)校級期末）函數(shù)，的最大值是A． B． C．2 D．【解答】解：函數(shù)，的幾何意義為點到直線的距離，由直線即為，由且，可得，，則直線恒過定點，，由題意可得原點到定點的距離即為所求最大值，可得．故選：．5．（2021春?渝中區(qū)校級期中）函數(shù)的最小值是A． B． C． D．【解答】解：因為當時令的含義是點與單位圓上的點的連線的斜率所以所以所以即當，綜合得，，故最小值為：．故選：．6．（2021?新疆模擬）若，則的最小值是A． B． C． D．2【解答】解：由已知可得，，則的最小值即為曲線的點到直線的距離最小值的平方，設，則，令，解得，（1），曲線與平行的切線相切于，則所求距離的最小值為點到直線的距離的平方，即．故選：．7．（2021?成都模擬）已知，，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：的最小值可轉化為函數(shù)圖象上的點與直線上的點的距離的最小值，由，可得，與直線平行的直線的斜率為，令，得，所以切點的坐標為，切點到直線的距離．故選：．8．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，當，時，的最大值為，若的最小值為4，則實數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．【解答】解：當絕對值內兩式同號時，，當絕對值內兩式異號時，．令，，易知，，，，．當?shù)淖钚≈禐?時，的最大值的最小值為4，幾何意義是圖象上的點到直線的距離最大值的最小值為4，此時恰好有；的最大值不超過4，即圖象上的點到直線的距離不超過4，故，解得．故選：．9．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，若存在兩相異實數(shù)，使，且，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：由題意，當，有，，，是方程的兩個不等實數(shù)根，，，而，，即，，令，則，則當時，的最小值為．故選：．10．（2021春?北海期末）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為A．2 B． C．4 D．8【解答】解：由，可得，，故的幾何意義為曲線上一點與直線上一點間距離的平方，對于函數(shù)，令，解得，即在點處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線與直線之間的距離，故的最小值為．故選：．11．（2021?山東模擬）若，，，求的最小值為A． B． C． D．【解答】解：問題可以轉化為：是函數(shù)圖象上的點，是函數(shù)上的點，且．當直線的平行直線與的圖象相切時，切點到直線的距離為的最小值．設斜率為2的直線與的圖象相切，切點為，，，令，則，，，（1），即．到直線的距離即為的最小值為，．故選：．12．（2016秋?福建月考）在平面直角坐標系中，已知，，則的最小值為A．9 B． C． D．【解答】解：，，，并且，的最小值轉化為：函數(shù)圖象上的點與圖象上的點的距離的平方的最小值，由，得，與直線平行的直線的斜率為1，所以，解得，或（舍，可得切點坐標，切點到直線之間的距離的平方即為的最小值，的最小值為：．故選：．13．（2021?西湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，且存在相異實數(shù)，滿足．若，則的最小值是A． B． C． D．【解答】解：由題意得：方程有2個不相等的實數(shù)根，，由得，由韋達定理得，，，，故選：．14．（2021春?瑤海區(qū)月考）已知函數(shù)，若存在，，，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：依題意得，，，，而，由，時有成立，則需在上單調遞增，在，上單調遞減，（e），，，當（e）時，只需，此時，解得；當（e）時，只需（e），此時，解得，的取值范圍為：，，故選：．15．（2021?三模擬）已知函數(shù)，若存在，，，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：，令，解得，易知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，又，，，當（4）（2）時，則需（3）（4），即，解得；當（4）（2）時，則需（3）（2），即，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為．故選：．二．填空題（共18小題）16．（2012秋?上城區(qū)校級期中）函數(shù)的最小值為．【解答】解：令，則函數(shù)，它表示與連線的斜率，如下圖所示：由圖可得：當與半圓相切時，函數(shù)取最小值此時，故答案為：17．（2021秋?運城期中）若直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是，．【解答】解：根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為1的下半圓，如圖所示，當直線與圓相切時，有，解得：或（不合題意，舍去）；把代入，得，的取值范圍是，．故答案為：，．18．（2016?安徽開學）求函數(shù)的最小值為5．【解答】解：函數(shù)表示軸上動點到和的距離和，當為與軸的交點時，函數(shù)取最小值，故答案為：519．對任意的，，的最小值為3；若正實數(shù)，，滿足，則的最大值是．【解答】解：①對任意，，，當且僅當，，，成立，的最小值為3；②正實數(shù)，，滿足，，當且僅當時，等號成立，，的最大值為．故答案為：3；．20．（2021?紹興一模）已知，，設函數(shù)的最大值為，則的最小值為．【解答】解：設，，則，，，，當時，令，，，則此時，故，由，可知，等號能成立；當時，令，，，則此時，故，由，可知，等號能成立；綜上，的最小值為．故答案為：．21．（2021?南京一模）若實數(shù)，滿足，則的取值范圍是，．【解答】解：方法一：【幾何法】當時，解得，符合題意，當時，解答如下：令，，原方程可化為：，記函數(shù)，，，，這兩個函數(shù)都是關于的函數(shù)，其中為參數(shù)，的圖象為直線，且斜率為定值，的圖象為四分之一圓，半徑為，問題等價為，在第一象限，兩圖象有公共點，①當直線與圓相切時，由解得，②當直線過的點在圓上的點處時，即，解得，因此，要使直線與圓有公共點，，，綜合以上分析得，，．方法二：【代數(shù)法】令，，原方程可化為：，因為，所以，兩邊平方并整理得，，這是一個關于的一元二次方程，則方程有兩個非負數(shù)跟，，解得，，．故答案為：，．22．（2021秋?溧水區(qū)校級月考）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，解得，，，即，，當時，有最大值，即，當或時，有最小值，即，，故答案為：．23．若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是．【解答】解：關于的方程有解等價于有解，等價于與的圖象有公共點，等價于，等價于，其圖象為為圓心2為比較的圓的上半部分，作圖可得當平行直線介于兩直線之間時滿足題意，易得直線的截距為0，設直線的截距為，由直線與圓相切可得直線到點的距離為2，可得，解得，或（舍去），，解得，故答案為：24．（2015?泰州一模）已知實數(shù)，，滿足，，則的取值范圍為．【解答】解：實數(shù)，，滿足，，，令，，，．，表示點與圓上的點連線的直線的斜率．設直線，則，化為，解得．的取值范圍為．故答案為：．25．（2021?啟東市校級模擬）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為4．【解答】解：，則解得：的最大值為4故答案為：426．（2021秋?浙江月考）設函數(shù)，當，時，記的最大值為，則的最小值為．【解答】解：由去絕對值可得在，的最大值為，（2），，中之一，由題意可得，，（2），，，，，上面四個式子相加可得，，即有，可得的最小值為．故答案為：．27．（2021?桐鄉(xiāng)市校級模擬）設函數(shù)，，當，時，記最大值為，則的最小值為．【解答】解：方法一：，，設，，由單調性可知，當，時，，，，，，，當且僅當或時取等號．方法二：，令，，令，則，當，時，，單調遞增；所以（1），（e），即，；令，則，當，時，，單調遞減，所以（1），（e），即，所以，，，，所以①，且②，由①得，所以，由②得，所以，綜上所述，．故答案為：．28．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，當，時，的最大值為，則的最小值為5．【解答】解：令，，，則，，則，由去絕對值可得在，的最大值為，（2）中之一，由題意可得，，（2），，故，故答案為：5．29．（2021?浙江模擬）已知，，設函數(shù)，，上的最大值為，則的最小值為．【解答】解：，，，，，，，故，，，，故，故，故答案為：．30．（2021?杭州模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當實數(shù)，變化時，最小值為2，當取到最小值時，．【解答】解：，上述函數(shù)可理解為當橫坐標相同時，函數(shù)，，與函數(shù)，，圖象上點的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，由圖象可知，當函數(shù)的圖象剛好為時，取得最小值為2，此時，且，即，，故．故答案為：2，．31．（2013秋?吉州區(qū)校級期中）若方程僅有一解，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：方程等價于．方程僅有一解，即方程僅有一解，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個零點．如圖所示：當時，直線與半圓相切，滿足要求，當，時，直線與半圓相交但只有一個交點，滿足要求，實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．32．記，