2022-2023學(xué)年湖北省宜昌市三峽大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省宜昌市三峽大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)=在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸上，則a為（）A．﹣3 B． C． D．3參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，由已知條件列出方程組，求解即可得答案．【解答】解：，又復(fù)數(shù)=在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸上，∴解得a=﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2.已知曲線C1：，曲線C2：，則下面結(jié)論正確的是（

）A．將曲線C1向右平移個(gè)單位，可得C2B．將曲線C1向左平移個(gè)單位，可得C2C．將曲線C1向右平移個(gè)單位，可得C2D．將曲線C1向左平移個(gè)單位，可得C2參考答案：B將曲線向左平移個(gè)單位，可得

3.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為．則直線l和曲線C的公共點(diǎn)有(

)

A．0個(gè)

B．l個(gè)

C．2個(gè)

D．無數(shù)個(gè)參考答案：B4.A．2

B．

C．

D．參考答案：A5.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸出的值為-105，則輸入的n值可能為A．5

B．7

C．8

D．10參考答案：C略6.極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q分別是曲線C1：ρ=1與曲線C2：ρ=2上任意兩點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】畫出極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)的圖形，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q分別是曲線C1：ρ=1與曲線C2：ρ=2上任意兩點(diǎn)，可知兩條曲線是同心圓，如圖，|PQ|的最小值為：1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)距離的求法，基本知識(shí)的考查．7.過拋物線焦點(diǎn)作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為A．銳角三角形 B．直角三角形 C．不確定

D．鈍角三角形

【解析】,設(shè)過A,B的坐標(biāo)為，則，所以當(dāng)，即，，此時(shí)，三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，，三角形為鈍角三角形，當(dāng)時(shí)，，三角形為銳角三角形，所以三角形的形狀不確定，選C.參考答案：,設(shè)過A,B的坐標(biāo)為，則，所以當(dāng)，即，，此時(shí)，三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，，三角形為鈍角三角形，當(dāng)時(shí)，，三角形為銳角三角形，所以三角形的形狀不確定，選C.【答案】C8.如果{an}不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱{an}為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)數(shù)為4，記事件A：集合，事件B：{xn}為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（

）A. B. C. D.參考答案：C由題意知，事件共有=120個(gè)基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個(gè)基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個(gè)，含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè).含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個(gè).含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個(gè)，含4，3，2的同理也有2個(gè).含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)，含5，3，1的也有上述4個(gè)，共24個(gè)，=.故選C.

9.已知兩個(gè)單位向量的夾角為，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-2

B．2

C．

D．1參考答案：B考點(diǎn)：向量的數(shù)量積及運(yùn)用.10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且，，，則球O的表面積_______參考答案：4π【分析】根據(jù)題中所給的條件，取中點(diǎn)O，可以得到，從而確定出球半徑為1，利用球的表面積公式求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，由，知，∴球半徑為1，表面積為，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有球的表面積公式，確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.

12.的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

(用數(shù)值作答)．參考答案：略13.某商場(chǎng)在節(jié)日期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定：（1）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)不超過200元，則不給予優(yōu)惠；（2）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)超過200元但不超過500元，則超過200元的部分給予9折優(yōu)惠；（3）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)超過500元，其500元內(nèi)（含500元）的部分按第（2）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予8折優(yōu)惠．某人來該商場(chǎng)購(gòu)買一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為

．參考答案：

略14.計(jì)算=．參考答案：2【考點(diǎn)】二階矩陣．【分析】利用行列式的運(yùn)算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案為：2．15.若執(zhí)行圖中的框圖，輸入N=13，則輸出的數(shù)等于．（注：“S=0”，即為“S←0”或?yàn)椤癝：=0”．）參考答案：考點(diǎn)：程序框圖．.專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=++…+的值．解答：解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=++…+=1﹣=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于基礎(chǔ)題．16.有一列向量：，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)向量，那么這列向量稱為等差向量列．已知等差向量列，滿足，，那么這列向量中模最小的向量的序號(hào)n=．參考答案：4或5【考點(diǎn)】數(shù)列與向量的綜合．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通項(xiàng)公式，代入模長(zhǎng)公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{xn}，{yn}是等差數(shù)列，設(shè){xn}，{yn}的公差分別是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴xn=﹣20+n﹣1=n﹣21，yn=13+n﹣1=n+12，∴=（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴當(dāng)n=4或n=5時(shí)，||2取得最小值．故答案為4或5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列與向量的綜合應(yīng)用，求出{}的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．17.如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則

參考答案：1：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）a=時(shí)，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）≤x﹣1對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系分類討論即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時(shí)，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；②當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（Ⅱ）當(dāng)a=時(shí)，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…當(dāng)x∈[1，]時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈[，e）時(shí)，h′（x）＞0，故x=是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點(diǎn)，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，…設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①當(dāng)a≤0時(shí)，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②當(dāng)時(shí)，，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…③當(dāng)時(shí)，x=＞1，則f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，則存在∈[，+∞），有g(shù)（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）綜上得a≤0．…（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于難題．19.已知甲箱裝有個(gè)白球2個(gè)黑球，乙箱裝有2個(gè)白球1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)摸兩球，乙箱中隨機(jī)模一球，若恰好摸出三個(gè)黑球的概率為.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)記甲箱摸出個(gè)黑球,乙箱摸出個(gè)黑球,.求的分布列及的值.參考答案：解:（Ⅰ）

5分（Ⅱ） 7分

9分

11分

14分

略20.在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名選手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手. (Ⅰ)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率; (Ⅱ)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）由于觀眾甲必選1，不選2，則觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率為,觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為，甲乙選票彼此獨(dú)立，故觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為。（Ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3.由（Ⅰ）知，觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率為，觀眾乙選中3號(hào)歌手的概率為1－=，則觀眾丙選中3號(hào)歌手的概率也為1－=，則（1－）（1－）=（1－）+（1－）（1－）=（1－）+（1－）()=()=則的分布列如下：

21.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x﹣3|，?x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，由已知得|2x﹣3|+3≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)通過討論a的范圍，去掉絕對(duì)值，由此能求出a的取值范圍【解答】解：（1）a=3時(shí)，f（x）≤6等價(jià)于|2x﹣3|+3≤6，即|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集是{x|0≤x≤3}；（2）x∈R時(shí)，f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，故2|x﹣|+2|x﹣|+a≥5，故|﹣|+≥，故|a﹣3|+a≥5①，a≤3時(shí)，3﹣a+a≥5，無解，a＞3時(shí)，a﹣3+a≥5，解得：a≥4，故a的范圍是[4，+∞）．22.已知橢圓的左