圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)

圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)的探討指導(dǎo)教師向長(zhǎng)福摘要：圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，因而成為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的有關(guān)問(wèn)題，學(xué)生在求解此類題目時(shí)，常常感到無(wú)從下手。為解除這種困惑，在全面研究了高中數(shù)學(xué)教材及要求的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析、推導(dǎo)的方法，文章對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行了研究和探討，得出圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的五條基本性質(zhì)，以便使學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)有一個(gè)更全面、更系統(tǒng)、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)題目的數(shù)學(xué)能力和應(yīng)用能力。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；焦點(diǎn)三角形；性質(zhì)；焦點(diǎn)OnthePropertiesofConicFocalPointTriangleandFocalPointStringAbstract:Theconecurve,asanimportantpartofcontentofanalyticalgeometryinpresenthighschool,isratednotonlyasakeypointbutalsoadifficultyinmathematicsteachinginseniorhighschool,andsoitbecomesakeyexaminationpointinthecollegeentranceexamination.Themostimportantcontentofconecurveistheproblemsconcerningthestringorstraightlinewhichpassesthroughtheconicfocalpoint.Facedwiththiskindofquestions,somestudentsdonotalwaysknowwhattobeginwith.Torelievetheirconfusion,thispaper,onthebasisofathoroughstudyofthemathematicalteachingmaterialforhighschoolsandbymeansofanalysisanddeduction,probesintothenatureofellipsefocalpointtriangle,thenatureofhyperboliccurvefocalpointtriangleandthenatureofconicfocalpointstring,andpointsoutfivebasicpropertiesoftheconicfocalpointtriangle.Thesepropertiescanhelpstudentsfurtherunderstandtheconicknowledgesystematicallyandimprovetheirmathematicscompetenceandapplicationabilityinsolvingmathematicalproblems.Keywords:conecurve;focalpointtriangle;properties;focalpoint1引言圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)．而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的相關(guān)問(wèn)題.在求解這類問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生常常感到束手無(wú)策，部分學(xué)生由于計(jì)算量大的繁鎖，產(chǎn)生厭學(xué)數(shù)學(xué)的情緒．為了解除這種困惑，培養(yǎng)或提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生掌握一定的解題方法或數(shù)學(xué)思想是很必要的．在數(shù)學(xué)中，我們常常是利用性質(zhì)去討論問(wèn)題，因此，文章首先探討圓錐曲線焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，然后再討論這些性質(zhì)的應(yīng)用.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦具有不少性質(zhì)，許多教師或?qū)＜乙炎鲞^(guò)研究.文獻(xiàn)［2］主要是對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究，而文獻(xiàn)［7］主要是對(duì)雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究.文獻(xiàn)［2］、［7］都是孤立地進(jìn)行探討，缺乏系統(tǒng)性，顯得單一.文獻(xiàn)［1］、［10］主要圍繞焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓將橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)探討，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)［2］、［7］的不足之處.文獻(xiàn)［9］主要是探討圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾何特征.作為一個(gè)有機(jī)整體的圓錐曲線焦點(diǎn)三角形，探求其所具有的共同特征的性質(zhì)應(yīng)該是一件非常有意義的事情.在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，文章主要是結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求，對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)作一定的探討，將其系統(tǒng)地歸納集中或進(jìn)行了一定的擴(kuò)展，讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力．2圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的定義及性質(zhì)圓錐曲線上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形［1］.橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)x2y2以橢圓?a+"=i（a>b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)勺,AFIPF2,叫做橢圓的焦點(diǎn)三角形［2］.設(shè)/FPF=θ,/PFF=α,/PFF=β1 2 12 21性質(zhì)1：PFIHPa滯Sθ.F2及橢圓上任意一點(diǎn)P（除長(zhǎng)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的橢圓的離心率為e,則有以下性質(zhì):證明：在工PF2中，由余弦定理，有PF112+PPF^22-2∣PFj?∣PF2∣?cosθ二FIFJ2二（2C）2.?.4a2-2∣PF1??Pq-2∣PF1??∣PF2∣?cosθ=4C2整理，得PFJ-IPF2∣=i?θ.x2y2例1如圖：F、F分別為橢圓一+2-=1（a>

12 a2b21的正三角形，求b2的值.分析：此題按常規(guī)思路是從S =1入手，即S=1△POO2 24√3 c √3求得c2=?.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為不，?-e.? 乙 乙解此方程組就可得到b2的值.但這涉及到解二元二次方程組，計(jì)算量很大，非常麻煩.若用性質(zhì)1求解可使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化．解：連接PF,則/FPF=90。,性質(zhì)2:SAF1PF212θ=b2-tan—.21有S=S.?.1=APOF2 2 AF1PF211 _一2-2IPFJ?∣PF2卜Sin90。1121 2b2證明：由性質(zhì)1得SAF1PF21 . ., ，C=-?PiF?PiF?sinθ=一? 21+cosθSinθ=b2? +coSθθ=b2?tan—.2?Sinθ212__ X2y2 兀. 例2已知F1、F2是橢圓64+W=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn),且/f1PF2=3,求af1pf2的面積.兀分析：如果設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(X,y)，由P點(diǎn)在已知橢圓上且/FPF=-，利用這兩個(gè)條件，列出關(guān)于X,y的123兩個(gè)方程，解出X,y.再求AFPF的面積，這種方法，運(yùn)算量大且過(guò)程繁雜，須另尋捷徑.知道12/FPF12兀3，可以直接利用性質(zhì)2求解，使運(yùn)算量簡(jiǎn)化.。 7θ 兀25v3解：?「S =b2?tan— .?.S =25?tan—= AF1PF2 2 AF1PF2 6 3X2y2例3:已知點(diǎn)P(X°,y0)(y0>0)是橢圓+E=1(a>b>0)上任一點(diǎn)，且/FPF=θ.12b2求證：y=一

0cθ?tan—.2證明：???SAFPF211.，一=2F1F2l?h=2?2c?∣丁0∣SAFPF21=b2.tanθ2.1 θ?二一?2c?|y=b2?tan—2 0 2X2y2例4：點(diǎn)P是橢圓飛+彳=1上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F、F為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1,求點(diǎn)P的坐標(biāo).12分析：要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，不妨設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X,y)，由P點(diǎn)在已知橢圓上和AFPF的面積等于1,可列0012兩個(gè)方程，解方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo).此題也可在例3的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解[3].b2 θ解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X,y),則有Iy=—?tan—=00 0c 2SAFPF-T 2 cc=1?1y0∣=1.?.y=±1.0X2y2把y0=±1代入大+彳=1得x0=±母'.點(diǎn)P坐標(biāo)為(15,1)啜-D昔，1)，221,:C=Va2—b2,(v15-,—1)?22b2性質(zhì)3:O<θ≤arccos( 1).a2PF證明：由正弦定理，有——

SinPF 2FF-U_2βSinαSinθPF+PFFF12sina+sinβ

sinθSinα+sinβsin[18D—(α+β)]1122b2-a2 2b2-a2即cosθ≥ .因?yàn)?<θ<兀，所以θ≤arccos a2 a2當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)時(shí)，θ=0，這時(shí),―一 八八 2b2一、AFPF不存在，因此，0<θ≤arccos( -1)a.1 2a2a+β

cos 一一一、、 2性質(zhì)4:離心率e=———.α一βcos 2證明：由正弦定理，有PFl PF FFIFFl 11= 2_=12=I12∣sinβSina sinθSinQ+β)F/, _Sina+β)PF+PF sina+sinβ1 2C,α+βα+β2sin ?CoS 2 2C,α+βa-β2Sin ?CoS 2 2例5（2004年福建高考題）已知FJF2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)fi且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AABF是正三角形，求這個(gè)橢圓的離心率區(qū).22一分析：由AABF2是正三角形可知IAFJ=2∣AFJ，根據(jù)橢圓的第一定義可求得IAFJ=§?2a.FF再由cos300=-??可求得離心率e.若用性質(zhì)4解題，求解更簡(jiǎn)便.AF2解：根據(jù)已知條件有ZAFF=90。，/FFA=30。.（如圖）12 12性質(zhì)5:a β 1-etan一?tan= 2 2 1+ePF\ PF FF證明：由正弦定理，有-W==-??Sinβ sina SinθFF

12PF+PF

1 2Asina+sinβsina+sinβX1aβ1-tan—?tan2 2"aβ1+tan—?tan2 2a β 1-e，tan一?tan= 2 2 1+ex2V2例6:如圖，P是橢圓——+?-=1上一點(diǎn)，F(xiàn)、F是焦點(diǎn)，已知ZPFF=a,ZPFF=2a,求橢圓的離心率⑹.

a2b2 1 2 12 21分析：知道ZPFIF2=a，ZPF2FI=2a,我們可以直接利用性質(zhì)5解題.a 2atan—?tan——=2 2解：由性質(zhì)5有aSin—2acos—2sina

cosasin2a1-ea2cos2一?cosa

21-e1+e1+e1-cos2a 1-ecos2a+cosa 1+e化簡(jiǎn)，得e=2cosa-1.雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)x2y2以雙曲線砥一E=i（a>°'b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1及雙曲線上任意一點(diǎn)P（除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的RPF2,叫做雙曲線的焦點(diǎn)三角形”設(shè)/FPF=θ，/PFF=α，/PFF=8，雙曲線的離心率為e，1 2 12 21性質(zhì)1:PFIHPF2∣=i∑2b0sθ.則有以下性質(zhì):證明：在AFIpf2中，由余弦定理，有PFI2+∣PFI2—2IPF∣?∣PFkcosθ=IFFI1 1 2 1 2 12l2=(2c)2 ①|(zhì)PFj—∣PFJ=2a:.∣PFJ2+∣PF2∣2—2∣PFJ?∣PF2|=4a2②由①②得x2y2例1:設(shè)F和F為雙曲線-2_=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足ZFPF=90。，求AFPF的面積.1 2 16 9 12 12解：?/∣PF∣?∣PF2I=2b2。2X9=181-cosθ1-cos90。:S=1.2?Ipf1I?P^Fr2∣?sin90。=9.2θ性質(zhì)2:S =b2?cot-.AF1PF2 2一1,證明：由性質(zhì)1得SAFPF=5.∣PFJ?∣PF21?SinθAFIPF2 22b2 sinθ?Sinθ=b2?一1-cosθ 1-cosθ12*θ1-cosθθsinθ θ?「tan—= :cot—= - :S=b2?cot—.2sinθ 2 1-cosθ AF1PF2 21例2:已知點(diǎn)F(-、-2,0)、F(V2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足^PF-^PF\=2.當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是彳時(shí)，1 ' 2 ? '2 1' 2θ若令ZFPF=θ，求cot7的值.12 21一1 、：2解：由雙曲線的第一定義可知點(diǎn)P的軌跡方程為X2->2=1（X<0）.則b2=LC2=2.所以S =-?2?=—AF1PF2 2 2 2例3:設(shè)點(diǎn)P（X0,>O）S0<O）是雙曲線X2 y2a2b2=1(α>0，b>0)上任一點(diǎn),且ZFIPF2=θb2 θ求證：y=-一?cot-.0c2分析：此題根據(jù)已知條件列方程求解，計(jì)算量大且過(guò)程繁瑣，應(yīng)另外尋求解法，由于Iy01和AF1PF2的高相等,不妨從af1pf2的面積入手進(jìn)行求解.證明：???SAFIPF21, ，，一=2?FIf2∣-I丁0∣SAFIpf2=b2-COtθ2b2 θ——-cot—.c 2θ.1 θ，—?2c?∣y=b2?cot—2, 。 ^202r0<0???y0——.β+aSin 2性質(zhì)3:離心率e=——-?β-aSin 2(awβ).PF證明：由正弦定理，有「

sinPF 2FF-J_2FF-J_2βsinasinθ Sin(α+β)?.?sinβ≠sinaPF—PFFF_□_2sinβ-sinα sin(α+β)a即 ∩ ∩ β+a.β-a

cos Sin ——又 又—— 又o<a+β<兀,cos ≠0.?.e=—.β+a β+a ? 2 aSin cos—.β+αSin 2.β-aSin 2X2V2例4：（2002年上海高考題）如圖,已知FJF2為雙曲線方一b=KQ0,"0）的焦點(diǎn),過(guò)F2作垂直于*軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,且ZPF1F2=30。.求雙曲線的漸近線方程.b分析：由于雙曲線的漸近線方程為V=±—X,a若能求出〃，b的值，漸近線方程就可確定.在此題中，我們不易求出a,b的值，我們將y=±-X作一下變形，ab2y2=一?X2a2c2-a2 ,八 X2=(e2-1)-X2，若能求出e的值，則漸近線方程就求出.知道/PFF=30。，ZPFF=90。利用性質(zhì)4可求.β+asin—2 Sin60osinβ∑a sin30o2=√3.?.V2=2X2.?.V=±t；'2X.a?βe-1性質(zhì)4:(1)當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)tan--cot=-2 2 e+1β ?a e-1(2)當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)tan-cot-=—2 2 e+1證明：（1）當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)∣PqHPF2∣=2a.由正弦定理，有PF 1SinβSinasinθX2例5:（2005年福建高考題）已知F、F是雙曲線一-a2=1（a>°'b>0）的兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作解：:e=1122222a21221，1 2竺b2正三角形MFF，若邊MF的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率⑻.解：連接FN，則ZNFF=30。/NFF=60。所以123圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)121221性質(zhì)1：過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)方的直線與橢圓交于點(diǎn)P、Q，/4為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)AP和AQ交于點(diǎn)N,AP和AQ交于點(diǎn)M，則MF±NF.21x2 y2證明：如圖，設(shè)橢圓的方程為一+J=1(a>b>0)，a2b2則可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c,0),點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(。cosα,bSina)，(Ocosθ,bSinθ)，則AiP的方程為y=bSinα / 、 ?(x+a).a(1+CoSa)，12A2Q的方程為了=bSinθ ?(x-a).a(cosθ-1)由①②得X=a[Sina-Sinθ-Sin(a+θ)]

sin(α-θ)-Sina-Sinθa+θa?CoS 2a-θCoS 2bSina bSinθ由于點(diǎn)P、F、Q共線，則有 二 化簡(jiǎn)，得aSin(α-θ)=C(Smθ-Sinɑ)aCoSa+caCoSθ+ca-θa-θ θ+aθ-a.?.2a?Sin ?CoS =2c?CoS ?Sin 2 2 2 2θ-a「Sin ≠02a+θCoS 2a—六二—-④將④式代入③式，得x=a-θ cCoS 2a2a2所以，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(—-cbSinθ(a+c)

c(CoSθ-1)同理，a2bSinθ(a-c)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(--,- )[9].c c(CoSθ+1)①②③c(a2-c2)b2Sin2θb4.?.K?K= =-——=-1.MFNF a2 b4C2(CoS2θ-1)?(——-C)2

c即MF±NF.性質(zhì)2:過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，A、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ相12 1 2交于點(diǎn)N，AQ和AP相交于點(diǎn)M,則MF±NF.12證明與性質(zhì)1的證明類似，從略.性質(zhì)3：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P、Q,A為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交AQ于點(diǎn)M,過(guò)Q點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交AP于點(diǎn)N,則MF1NF.\o"CurrentDocument"化簡(jiǎn)，得4tt=-1.又PA的方程為y=tx, ①Q(mào)N的方程為X=2pt, ②12 1 2由①②得y=2ptt=-p.即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2Pt,-p)).同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2Pt,-p)[10].12 2 2 2 1 2??.K?K=P ?—p-=-1.即MF±NF.MFNF -2Pt-2Pt124總結(jié)文章主要是在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求，將具有共同特征的橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)地歸納集中，得出五條基本性質(zhì)，并采用初等方法進(jìn)行了證明，對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)一，讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力.參考文獻(xiàn)[1]唐永金.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)探