2021屆高考數(shù)學(xué)考前熱身仿真模擬卷4（含答案解析）

2021屆高考數(shù)學(xué)考前熱身仿真模擬卷（新高考）（五）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

2則的元素個數(shù)為(

1.集合A={(x,y)|y=e/?}B={(x,y)|x+/=2},Ac8)

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.復(fù)數(shù)。=匕衛(wèi)的虛部是（）

1+z

A.1B.iC.—1D.2

3.在12x+-］的展開式中，含/項的系數(shù)為（

)

A.160B.192C.184D.186

,12019,,120202021

4.已知a=In----+----,b=In一+---c=ln+，則a,〃，c的大小關(guān)系是（)

202020202021202120222022

A.a>b>cB.a>c>hC.c>h>aD.c>a>h

UULUUUUluuuUUUUUU1UUU1uuuuuu

5.已知向量OM,ON,OP的模長均為2,且滿足2OM+2QN+30P=0,則PATPN的值為()

19-2321

AA.—B.—C.—D.5

222

6.已知直線ar+by+c=0過點A/(cosa,sina),則()

A.a2+b2<1B.a2+h2>IC.a2+b2<c2D,a2+b2>c2

7.若x,yeR,x>0,求（x-yj+（41nx-%2-2丁一1『的最小值為（）

A.75B.叵C.3D.迪

555

8.為迎接第24屆冬季奧林匹克運動會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速

滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人.則學(xué)生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率

為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分。有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.下列說法正確的是()

A.若3〃=4"=12,則。+6>4

B.“。=1”是“直線ax+y—l=O與直線公+(a—2)y+5=0垂直”的充分條件

C.已知回歸直線方程y=2x+4,且亍=5,歹=20,則4=15

71

D.函數(shù)/(x)=|cos4.的圖象向左平移一個單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

8

10.已知函數(shù)〃x)=sinMsinx-cosx),下列敘述不正確的是()

37r7T

A./(x)的最小正周期是2兀B.“X)在-二苫上單調(diào)遞增

_88_

C.“X)圖象關(guān)于直線x=:對稱D.“X)的圖象關(guān)于點對稱

11.已知拋物線M：丁=4*,圓N：(x-l)2+y2=r2(r>0),過點(1,0)的直線/與圓N交于C,D

兩點，交拋物線M于A,8兩點，則滿足|AC|=|即的直線/有三條的r的值有()

A.1B.2C.3D.4

12.如圖，直角梯形ABC。，ABHCD,ABA.BC,BC=CD=-AB=4,E為AB中點，以￡>￡為折

2

痕把△AOE折起，使點A到達(dá)點P的位置，則()

A.平面

B.若時，棱錐P-BCO的外接球體積為326兀

C.PC的最大值為46

D.二面角C—PE—3的最小值為四

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等比數(shù)列{4},，〃eN+，滿足Wq=a：75,則〃？的值為

14.目前，全國已經(jīng)有八省市確定實行選考模式，除語文、數(shù)學(xué)、英語必考外，還需要從物理、化學(xué)、生物、

政治、歷史、地理這六科中再選三科，某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別從化學(xué)、生物、歷史、地理四門課

程中各選一門課程，且所選課程互不相同，下面是關(guān)于他們選課的些信息：

①甲和丙均不選地理，也不選生物：

②乙不選生物，也不選歷史：

③如果甲不選歷史，那么丁就不選生物，

若以上信息都是正確的，則依據(jù)以上信息可推斷丙同學(xué)所選的課程是.

15.已知在△ABC中，AB=4,BC=S,8。是AC邊上的中線，且NCBO=30°,則8。的長為.

16.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉膈A-BCD中，AB1.

平面BCD,BDLCD,A3=BD=CE>=2,點尸在棱AC上運動.則△PBD面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）｛4｝為正項等差數(shù)列，S3=21,4a2%=280.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛4｝滿足：心24=氣匚,求｛風(fēng)。｝的前〃項和.

18.（12分）銳角ZSABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.己知2Z?-a=2c-cosA.

（1）求角C；

（2）若a+h=4,求邊c的取值范圍.

19.（12分）在平面圖形S4BC。中，四邊形A8C。是邊長為2的正方形，SA=SD,將△SAD沿直線

折起，使得平面5A。垂直于平面ABC。，G是△SAD的重心，。是。C的中點，直線G。與平面

ABCO所成角的正切值為理.

6

（1）求棱錐S-ABC。的體積；

（2）求平面&LB與平面SCO所成的角.

D

D

20.(12分)△ABC中，已知3(—拒,0),C(0,O),AOLBC交BC于點。，“為AO中點，滿足

B/7J.AC,點〃的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程：

(2)過點作直線/交曲線。于P,Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓恒過定點，

21.(12分)

某零件加工工廠生產(chǎn)某種型號的零件，每盒10個，每批生產(chǎn)若干盒，每個零件的成本為1元，每盒零件需

要檢驗合格后方可出廠.檢驗方案是從每盒零件中隨機取出2個零件檢驗，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把該盒10個

零件全部檢驗，然后用合格品替換掉次品，方可出廠；若無次品，則認(rèn)定該盒零件合格，不再檢驗，可出廠.

(1)若某盒零件有8個合格品，2個次品，求該盒零件一次檢驗即可出廠的概率；

(2)若每個零件售價10元，每個零件檢驗費用是1元.次品到達(dá)組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每個零件須由加工工

廠退賠10元，并補償1個經(jīng)檢驗合格的零件給組裝工廠.設(shè)每個零件是次品的概率是〃(0<〃<1),且相

互獨立.

①若某盒10個零件中恰有3個次品的概率是/(〃),求/(〃)的最大值點Po;

②若以①中的P。作為p的值，由于質(zhì)檢員的失誤，有一盒零件未經(jīng)檢驗就被貼上合格標(biāo)簽出廠到組裝工廠,

求這盒零件最終利潤X(單位：元)的期望.

22.(12分)函數(shù)/(x)=sinx-or+l,

(1)求”X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x"cosx在XG[0,可上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)令函數(shù)g(x)=/(x)+<zr-1,

2021屆高考數(shù)學(xué)考前熱身仿真模擬卷（新高考）（五）

一、單選題

1-8BABACDCB

二、多選題

9.AB10.ABC11.BCD12.BD

三、填空題

13.202114.化學(xué)15.16.A/2

1.答案B：直線y=Ax+l恒過定點“（0,1）,點M（0,l）在圓/+丁=2內(nèi)，所以直線丁=丘+1與圓

f+y2=2有兩個交點.集合AcB有兩個元素.

2.答案：A

l+3i_(l+3i)(l-i)_l-i+3i-3『_4+2i_.

1+z-(l+z)(l-z)-2-2-1'虛部是1.

3.答案：B

=禺26-產(chǎn)2"廠=0,1,2,3,4,5,6

\x)

當(dāng)廠=1時，7；=C：25/=192/.

4.答案：A

11—Y

構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx+l—x,/'(x)=--1=——，當(dāng)0<x<l時，/'(x)>0，/(x)單增，所以

XX

1I1

,a>h>c.

202020212022

5.答案：C

,uuiruum、UUDUUUT2uum2uuiruunuuiruuin

,/2\OM+ON\=-3OP,：.4OM+ON+2OM-ON=9x4,OMON=-

2

uuuruuinuuirUlin、/uuuruunuuuruuinumuuur

PM?PN=OM-OP\-\ON-OP\OM-ON-OP[OM++

1uun/3uunAi321

=——OP-\——OP+4=-+-x4+4=—.

2I2J222

6.答案：D

點"是單位圓f+y2=l的點，所以直線OX+分=1和圓％2+y2=i有公共點.口|⑸,即得到

a2+b2>c2.

7.答案：C

問題可以轉(zhuǎn)化為：4(乂4111》一》2)是函數(shù)丫=4111》一爐圖象上的點，B(y,2y+1)是函數(shù)y=2x+l上的

點，|4肝=(%一?+(411一/一2丫一1)2.當(dāng)直線y=2x+l的平行直線與/(x)的圖象相切時，切點到

直線y=2x+l的距離為恒邳的最小值.

f'(x}=i-2x=4-2/=2(&+x)(—r)

XXX

可得到/(x)在僅,單增，("+00)單減，4)ax(x)=/(5^)=21n2-2<0,從而可以得到/(x)的

圖象.設(shè)斜率為2的直線與“X)的圖象相切，切點為〃?,/(/)),由/'⑺=2,得到t=l,/。)=一1，

M(l,-1)到直線y=2x+l的距離即為的最小值.

巴=白，\ABf.16

IIminT

8.答案：B

C2C2

所有的安排方法C；A；+C；f2A；=10x6+5x3x6=150,若只有1人去冰球項目做志愿者，有

4

C\[c\&=4x(4+3)x2=56；若恰有2人去冰球項目做志愿者，有C：C；A；=6x3x2=36；

若有3人去冰球項目做志愿者，有C；用=4x2=8,所以共有56+36+8=100種安排法，所以學(xué)生甲不

會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為圖=2.

1503

9.答案：AB

A.a-log12,—=log3,-=log4,—+—=1,Q>0,Z?>0,a豐b,

3a12b1-2ab

八baA

(a+〃)=2H----1—>4

ah

B.兩直線垂直，可得。2+(。-2)=0,解得a=l或。=一2；

C.回歸直線一定過樣本中心點，y-2x4-a,a=20—2x5=10；

D.f(x)=|cos4x|y=cos4x+—=cos4x+—=|sin4x|,偶函數(shù).

10、答案：ABC

.1-cos2xsin2x15/2sinf2x+-l

/(x)=sinx(sinx-cosx)=sin2x-sinxcosx=--------

2222I4j

T=生=兀,

所以A不對;

2

3兀兀c兀71兀

令XG/=2x+—€sinf單調(diào)遞增,“X)單減.B不對;

T'842,2

x=；時，/(x)不是最大值或最小值，所以C不對;

函數(shù)》=_*sin(2x+：］關(guān)于點(―50)對稱，/(x)的圖象關(guān)于點(一11)對稱，D正確.

11.答案BCD

當(dāng)直線/斜率不存在時，直線方程為：x=l與拋物線交于點(1,±2),與圓交于點(1,土r),顯然滿足條件；

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為％=利+1(加工0),

由《2得y-4m>，一4=0,設(shè)A(5，x),臺優(yōu),%)，y<%，有韋達(dá)定理可得X+K=4m，

y=4x

=T,(乂一%『=(乂+%丫一町%T6(>+1)

x=fny+iI~^2-

(x-l)2/=r2,y=±dl

1+

24r2

設(shè)。(七,%),O(x4,y4),%<))4,(％一

"t+1

有g(shù)q=|叫，帆-乂|=|%-必1，

當(dāng)為—>1=—(%—%)時，即>3+>4=X+>2=°，又因為乂+必=4相，所以加=°(舍)

當(dāng)為一乂=”一%時，即當(dāng)一%=%—%，

因為（乂一%）一=（乂+%）一一4yly2=16（/獷+1），（％一%）=^~7

'/m+1

由此,呻〃刊=葛,解得r=2（m2+1〉

顯然，當(dāng)r>2,機有兩解，對應(yīng)直線有兩條.廠=2,加=0,此時直線斜率不存在，即為第一種情況，所

以當(dāng)r22時，對應(yīng)直線/有三條.

12.答案：BD

EBLED,￡?與「七不一定垂直，所以A不對；

若則可證明PEL平面。E8C,DEBC為正方形,棱錐尸-3CD可以補成邊長為4的正方體，

外接球直徑等于正方體的體對角線長，即2R=4g,R=2y/3,V=1K（2V3）3=32^71,B正確;

若PE上EB,則可證明PEJ_平面。EBC,此時PC=4豆，若NPEC為鈍角，由余弦定理可得

PC>4石，C不正確；

由。石_LPE,DEA.EB,PEcEB=E,所以DEL平面PEB,從而C5_L平面PEB,CBLPE作

SQLPE,交PE于點。，可證P￡J_平面CQ6,則CQ_LPE,所以二面角C—PE—8的平面角是

CB4

ZCQB,tanZCQB=——=——，滿足BQ_LPE的3Q的最大長度為4,所以tanZCQB的最小值為1,

即二面角C一PE-B的最小值為-.

4

13.答案:2021

設(shè)首項q,公比是q,則a“=qq"T,

所以9/1=（4/4丫，qi+m=q23,加=2021.

14.答案：化學(xué)

由信息①可知甲丙選的是化學(xué)和歷史；由信息②可知，乙選擇化學(xué)或地理.

當(dāng)甲選化學(xué)，丙選歷史時，乙選地理，丁選生物，此時與③矛盾；

當(dāng)甲選歷史，丙選化學(xué)時，乙選地理，丁選生物，符合.

15.答案：26

延長BO至E,使得BD=ED,得到平行四邊形ABCE.在三角形BCE中，BC=8,EC=4,

NCBD=30°,由正弦定理可得NB￡C=90°.

BE=2BD=46,BD=26

16.答案：72

答案：如圖，作PQ_L8C于點。，作Q例，6。，交于點連接.得到PQ〃A8,QM//CD,

PQJ?平面88,PQLBD,QMA.BD,所以PM_L3￡>.

設(shè)CQ=x,CB=26,由絲=空=絲=：,得到「。=喂,04x42企，

ABCB22,2yJ2

.r?/^r\u-,BQQM2^2-xQM/日云?八a/2,x/2-x

在△3C￡>中，=廠一^—，得到，QM=l,

BCCD2722母

PM=^PQ2+QM2=g1）=6_2岳+4=小—可+2>72,

當(dāng)且僅當(dāng)]=應(yīng)時，等號成立.

SAPBD=；BDPM』X2X6=母.

17.答案：（1）:邑=4+%+%=21,，。2=7

設(shè)數(shù)列｛為｝的公差是d,可得7（7—d）（7+d）=280,d>0,d=3

/.an=4+3（〃一2）=3〃+1.

/、ii〃”+23〃+l+2〃+]

（2）log2d=^—==n+l,b?=2,

設(shè)c”=《,也,設(shè)｛c.｝的前〃項和為T“，c?=（3n+l）2n+,

234,,+]

7；（=4-2+7-2+10-2+--+（3n+l）2

27；=4-23+7-24+---+（3n-2）2,,+1+（3n+l）n+2,

兩式子作差，得到

-7；=16+303+24+…+2"+i）-（3〃+1）2"2

=16+3-2,,+2-24-（3n+1）2,,+2

7；,=（3?-2）2,,+2+8

18.答案：（1）因為28一a=2c-cosA,由正弦定理可得

2sinB-sinA=2sinCeosA，

2sin［兀-（A+C）］-sinA=2sinCcosA,

2sin（A+C）-sinA=2sinCcosA

展開可得：2sinAcosC+2sinCcosA-sinA=2sinCcosA

得到：2sinAcosC-sinA=（）

1兀

因為sinA/O,所以cosC=—,。是銳角，所以C=—,

23

（2）由正弦定理

abcc2上.2布.

------=-------=-------=—=------c,可得a=------c-sinA,b=------c-sinB

sinAsin8sinC6333

T

273..2逐.―,且2G

所以----c?sinA+-----c-sinB=4,得。=--------；----

33sinA+sinB

27r7TTV7T7T

因為銳角△ABC,所以0<C=——4<^,0<A<-,得到,<A<!,

32262

sinA+sin5=sinA+sin（--A=-sinA+—cosA

I322

=氐抽'+總

因為工<A<工，所以工<A+工<無，sinfA+——,1

62363（6八2

rrr|2y/3「c4⑻

所以c=-------------e2,」一.

sinA+sinB3

19.答案：延長SG與AO相交于點0,則。一定是A。的中點.易得SO_L4),GOVAD.因為平面

垂直于平面ABCO,兩個平面的交線是A￡>,所以得到S。，平面ABC。，G。在平面A8CO的射

影是0Q,所以直線GQ與平面ABC。所成的角是NGQO在直角三角形GQO中，OQ=(AC=J5,

tanZGQO^—=—,解得OG=@,SO=3OG=6，SA=2,

OQ63

=x

VS-ABCD=]SO-SABCD2x2=-

UUUUUIUuu

(2)法一：取BC的中點M,連接OM,以點。為原點，以。M,OD,OS的正方向為x軸，y軸,

z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z,

則A（0,-l,0）,B（2,-l,0）,C（2,l,0）,￡＞（0,1,0）,5僅,0,石），

AB=DC=（2,0,0）,SA=（0,-l,-V3）,SD=g「⑻,

設(shè)平面SAB與平面SCD的法向量分別是右=（x,Xz）,與=（x',y',z'）,

2x=0fx=O

則《L，4L，令Z=12=（0,_6,1）,

_y_j3z=0[y=-j3z

2x'=0xf=0

令z'=l,n=（0,5/3,lj.

y'—yj3z'—0y=生

\m-n\所以

設(shè)平面SAB與平面SCD所成的角為a,易知a是銳角，所以cosa|cos（/n,n^|==L

陶,向2

TTTT

a=—,即平面SAB與平面SCO所成的角為二.

33

(2)法二:

過點5作20〃。。，SM=DC,將原幾何體補成三棱柱&LD—MBC,

SM//DC//AB,因為平面S4D垂直于平面ABC。，兩個平面的交線是AD,AB±AD,所以AB平面

SAD,SM//AB,所以SM_L平面S4D.

因S4,S￡>u平面S4。，所以S4_LSW,SD1SM,

IT

SAu平面SAB,SOu平面S43,所以NASD即為平面S45與平面SCO所成的角，大小為一.

3

UUU

20、答案：（1）設(shè)H（x,y）,A（x,2y）,BH=（x+&,y）,。=（尤_0,2））,

UUIIUU/L\/L\

因為5//LAC,所以8”-CA=0,即（x+虎）卜一加）+29=0,

Y2

整理得：V+2y2=2,即彳+y2=l.

△ABC中，三頂點不可能共線，所以y#0,

故曲線。的方程為]+y2=l（y#0）.

（2）若直線/斜率不存在，可得圓：x2+y2=l,

/[、2]6

若直線/斜率為0,可得圓：/+_l=U.

Iy3j9

兩個圓的公共點為N（0,—1）,

若直線/斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為丁=丘+；伏#0）,

,1

y=Ax+一

<,3,可得（2左2+1卜2+9區(qū)一3=0,

xO.3

△>0恒成立，設(shè)點P（X],y）,。（馬,力），

4k

+X

玉2~6k2+3

可得韋達(dá)定理:

16

玉々=

18公+9

umiuum

NP-NQ=&y\+1＞（工2，乂+1）=中2+（凹+1）（%+1）

=（公+1）玉龍2+§左（七+%2）+瓦

一16伙2+1）（刈-4。16

-儂2+9+6爐+3+~9

-16k2-16-16jt2+3（18/+9）

=-----------------------------------------------=0

18-2+9

即NPLNQ,以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點N（O,-1）.

綜上所述，以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點N（O,-1）.

21.答案：（1）設(shè)“該盒零件一次檢驗即可出廠”為事件A,

8x7

p"）=?=2x]=28

（bC:吆一45

2x1

①某盒10個零件恰好有3個次品的概率

/（P）=CQ3（1-P）\

/'（p）=c；°p2（l-P『（3-10p）

33

當(dāng)0＜p（歷，r（p）＞o,當(dāng)正＜，＜1，r（p）＜。

33

所以當(dāng)p=6時，/（p）取到最大值，故/（〃）的最大值點為Po=J^.

3

②由題意可知〃=〃0=*，這盒零件中次品的個數(shù)為N,

則N:8（10,宗），E（N）=10x\

E(X)=10x10-10x1-3x10-3x2=54,

所以這盒零件最終利潤的期望為54元.

22.答案：

(1)/(x)=sinxx+1,r(x)=cosx-；