七年級數(shù)學上冊總復習知識點匯總

PAGEPAGE17系統(tǒng)復習輕松應(yīng)考七年級數(shù)學上冊知識點第一章有理數(shù)1.1正數(shù)與負數(shù)①正數(shù)：大于0的數(shù)叫正數(shù)。（根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面也加上“+”）②負數(shù)：在以前學過的0以外的數(shù)前面加上負號“-”的數(shù)叫負數(shù)。與正數(shù)具有相反的意義。③0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。0是正數(shù)和負數(shù)的分界，是唯一的中性數(shù)。注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；高低；增長減少等1.2有理數(shù)1、有理數(shù)（1）整數(shù):正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；（2）分數(shù);正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)；（3）有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。2、數(shù)軸（1）定義：通常用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫數(shù)軸；（2）數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度；（3）原點：在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點；（4）數(shù)軸上的點和有理數(shù)的關(guān)系：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點，不都是表示有理數(shù)。3、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（例：2的相反數(shù)是-2；0的相反數(shù)是0）4、絕對值：（1）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。從幾何意義上講，數(shù)的絕對值是兩點間的距離。（2）一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。1.3有理數(shù)的加減法①有理數(shù)加法法則：1、同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（同號取同,再相加）2、絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。（異號取大，再相減）3、一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。②有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。1.4有理數(shù)的乘除法①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0；乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。乘法交換律/結(jié)合律/分配律②有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)；兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。1.5有理數(shù)的乘方1、求n個相同因數(shù)的積的運算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。在a的n次方中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0。2、有理數(shù)的混合運算法則：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。3、科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學記數(shù)法，注意a的范圍為1≤a<10。4、近似數(shù)四舍五入法第二章整式的加減2.1整式1、單項式：由數(shù)字和字母乘積組成的式子。系數(shù)，單項式的次數(shù).單項式指的是數(shù)或字母的積的代數(shù)式．單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式．因此，判斷代數(shù)式是否是單項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中數(shù)與字母是否是乘積關(guān)系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、減運算關(guān)系，其也不是單項式．2、單項式的系數(shù)：是指單項式中的數(shù)字因數(shù)；3、單項數(shù)的次數(shù)：是指單項式中所有字母的指數(shù)的和．4、多項式：幾個單項式的和。判斷代數(shù)式是否是多項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中的每一項是否是單項式．每個單項式稱項，常數(shù)項，多項式的次數(shù)就是多項式中次數(shù)最高的次數(shù)。多項式的次數(shù)是指多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，這里是次數(shù)最高項，其次數(shù)是6；多項式的項是指在多項式中，每一個單項式．特別注意多項式的項包括它前面的性質(zhì)符號．5、它們都是用字母表示數(shù)或列式表示數(shù)量關(guān)系。注意單項式和多項式的每一項都包括它前面的符號。6、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。2.2整式的加減1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項。與字母前面的系數(shù)（≠0）無關(guān)。2、同類項必須同時滿足兩個條件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次數(shù)相同，二者缺一不可．同類項與系數(shù)大小、字母的排列順序無關(guān)3、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項?？梢赃\用交換律，結(jié)合律和分配律。4、合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變；5、去括號法則：去括號，看符號：正變負不變6、整式加減的一般步驟：一去、二找、三合并（1）如果遇到括號按去括號法則先去括號.（2）結(jié)合同類項.（3）合并同類項第三章一元一次方程3.1一元一次方程1、方程是含有未知數(shù)的等式。2、方程都只含有一個未知數(shù)（元）x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點：1）未知數(shù)所在的式子是整式（方程是整式方程）；2）化簡后方程中只含有一個未知數(shù)；3）經(jīng)整理后方程中未知數(shù)的次數(shù)是1.3、解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。4、等式的性質(zhì)：1）等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；2）等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。注意：運用性質(zhì)時，一定要注意等號兩邊都要同時變；運用性質(zhì)2時，一定要注意0這個數(shù).3.2、3.3解一元一次方程在實際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，有些步驟還需重復使用.因此在解方程時還要注意以下幾點：去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項；分子是一個整體，去分母后應(yīng)加上括號；去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆；去括號：遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號；不要漏乘括號的項；不要弄錯符號；移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊（移項要變符號）移項要變號；合并同類項：不要丟項，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式；⑤系數(shù)化為1：字母及其指數(shù)不變，系數(shù)化成1，在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解。不要分子、分母搞顛倒。3.4實際問題與一元一次方程一．概念梳理⑴列一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：審題，特別注意關(guān)鍵的字和詞的意義，弄清相關(guān)數(shù)量關(guān)系；②設(shè)出未知數(shù)（注意單位）；③根據(jù)相等關(guān)系列出方程；④解這個方程；⑤檢驗并寫出答案（包括單位名稱）。⑵一些固定模型中的等量關(guān)系及典型例題參照一元一次方程應(yīng)用題專練學案。二、思想方法（本單元常用到的數(shù)學思想方法小結(jié)）⑴建模思想：通過對實際問題中的數(shù)量關(guān)系的分析，抽象成數(shù)學模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想.⑶化歸思想：解一元一次方程的過程，實質(zhì)上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，最后逐步把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想.⑷數(shù)形結(jié)合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關(guān)系，使問題中的數(shù)量關(guān)系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.⑸分類思想：在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關(guān)方案設(shè)計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運用.三、數(shù)學思想方法的學習1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應(yīng)該注意什么問題.2.尋找實際問題的數(shù)量關(guān)系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析法和圖示分析法等.3.列方程解應(yīng)用題的檢驗包括兩個方面：⑴檢驗求得的結(jié)果是不是方程的解；⑵是要判斷方程的解是否符合題目中的實際意義.四、一元一次方程典型例題例1.已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，則m=.解：由一元一次方程的定義可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同學做到這種題型時就想到指數(shù)是1，從而寫成m=1，這里一定要注意x的指數(shù)是（m－3）.例2.已知是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解∴將x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0化簡，得4a+4a－6+5=0∴a=點撥：要想解決這道題目，應(yīng)該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，這樣把x=－2代入方程，然后再解關(guān)于a的一元一次方程就可以了.例3.解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）.解：去括號，得2x+2－12x+9=9－9x，移項，得2+9－9=12x－2x－9x.合并同類項，得2=x，即x=2.點撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移到方程的左邊，已知項移到方程的右邊，其實，我們在去括號后發(fā)現(xiàn)所有的未知項移到方程的左邊合并同類項后系數(shù)不為正，為了減少計算的難度，我們可以根據(jù)等式的對稱性，把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左邊，最后再寫成x=a的形式.例4.解方程.解析：方程兩邊乘以8，再移項合并同類項，得同樣，方程兩邊乘以6，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以4，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以2，再移項合并同類項，得x=3.說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運用乘法的分配律逐層去特號，而本題最簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一個數(shù)，達到去分母和去括號的目的。例5.解方程.解析：方程可以化為整理，得去括號移項合并同類項，得－7x=11，所以x=.說明：一見到此方程，許多同學立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化成整數(shù)，即各分數(shù)分子分母都乘以10，再設(shè)法去分母，其實，仔細觀察這個方程，我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步一步到位，第一個分數(shù)分子分母都乘以2，第二個分數(shù)分子分母都乘以5，第三個分數(shù)分子分母都乘以10.例6.解方程解析：原方程可化為方程即為所以有再來解之，就能很快得到答案：x=3.知識鏈接：此題如果直接去分母，或者通分，數(shù)字較大，運算煩瑣，發(fā)現(xiàn)分母6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，聯(lián)系到我們小學曾做過這樣的分式化簡題，故采用拆項法解之比較簡便.例7.參加某保險公司的醫(yī)療保險，住院治療的病人可享受分段報銷，保險公司制度的報銷細則如下表，某人今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是1260元，那么此人的實際醫(yī)療費是（）住院醫(yī)療費（元）報銷率（%）不超過500的部分0超過500～1000的部分60超過1000～3000的部分80………A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元解析：設(shè)此人的實際醫(yī)療費為x元，根據(jù)題意列方程，得500×0+500×60%+（x－500－500）×80%=1260.解之，得x=2200，即此人的實際醫(yī)療費是2200元.故選B.點撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應(yīng)理解醫(yī)療費是分段計算累加求和而得的.因為500×60%＜1260＜2000×80%，所以可知判斷此人的醫(yī)療費用應(yīng)按第一檔至第三檔累加計算.例8.我市某縣城為鼓勵居民節(jié)約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費：若每月用水不超過7立方米，則按每立方米1元收費；若每月用水超過7立方米，則超過部分按每立方米2元收費.如果某戶居民今年5月繳納了17元水費，那么這戶居民今年5月的用水量為__________解析：由于1×7＜17，所以該戶居民今年5月的用水量超標.設(shè)這戶居民5月的用水量為x立方米，可得方程：7×1+2（x－7）=17，解得x=12.所以，這戶居民5月的用水量為12立方米例9.足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場，得17分，請問：⑴前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？⑵這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？⑶通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期的目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？解析：⑴設(shè)這個球隊勝了x場，則平了（8－1－x）場，根據(jù)題意，得：3x+（8－1－x）=17.解得x=5.所以，前8場比賽中，這個球隊共勝了5場.⑵打滿14場比賽最高能得17+（14－8）×3=35分.⑶由題意知，以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可.∴勝不少于4場，一定能達到預期目標.而勝了3場，平3場，正好達到預期目標.所以在以后的比賽中，這個球隊至少要勝3場.例10.國家為了鼓勵青少年成才，特別是貧困家庭的孩子能上得起大學，設(shè)置了教育儲蓄，其優(yōu)惠在于，目前暫不征收利息稅.為了準備小雷5年后上大學的學費6000元，他的父母現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，小雷和他父母討論了以下兩種方案：⑴先存一個2年期，2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個3年期；⑵直接存入一個5年期.你認為以上兩種方案，哪種開始存入的本金較少?[教育儲蓄（整存整取）年利率一年：2.25%；二年：2.27%；三年：3.24%；五年：3.60%.]解析：了解儲蓄的有關(guān)知識，掌握利息的計算方法，是解決這類問題的關(guān)鍵，對于此題，我們可以設(shè)小雷父母開始存入x元.然后分別計算兩種方案哪種開始存入的本金較少.⑴2年后，本息和為x（1+2.70%×2）=1.054x；再存3年后，本息和要達到6000元，則1.054x（1+3.24%×3）=6000.解得x≈5188.⑵按第二種方案，可得方程x（1+3.60%×5）=6000.解得x≈5085.所以，按他們討論的第二種方案，開始存入的本金比較少.例11.揚子江藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示.如果長方體盒子的長比寬多4，求這種藥品包裝盒的體積.分析：從展開圖上的數(shù)據(jù)可以看出，展開圖中兩高與兩寬和為14cm，所以一個寬與一個高的和為7cm，如果設(shè)這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7－x）cm，因為長比寬多4cm，所以長為（x+4）cm，根據(jù)展開圖可知一個長與兩個高的和為13cm，由此可列出方程.解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7－x）cm，長為（x+4）cm.根據(jù)題意，得（x+4）+2（7－x）=13，解得x=5，所以7－x=2，x+4=9.故長為9cm，寬為5cm，高為2cm.所以這種藥品包裝盒的體積為：9×5×2=90（cm3）.例12.某石油進口國這個月的石油進口量比上個月減少了5%，由于國際油價上漲，這個月進口石油的費用反而比上個月增加了14%.求這個月的石油價格相對上個月的增長率.解：設(shè)這個月的石油價格相對上個月的增長率為x.根據(jù)題意得（1＋x）（1－5%）=1＋14%解得x=20%答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為20%.點評：本題是一道增長率的應(yīng)用題.本月的進口石油的費用等于上個月的費用加上增加的費用，也就是本月的石油進口量乘以本月的價格.設(shè)出未知數(shù)，分別表示出每一個數(shù)量，列出方程進行求解.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找對等量關(guān)系，然用代數(shù)式表示出其中的量，列方程解答.例13.某市參加省初中數(shù)學競賽的選手平均分數(shù)為78分，其中參賽的男選手比女選手多50%，而女選手的平均分比男選手的平均分數(shù)高10%，那么女選手的平均分數(shù)為____________.解析：總平均分數(shù)和參賽選手的人數(shù)及其得分有關(guān).因此，必須增設(shè)男選手或女選手的人數(shù)為輔助未知數(shù).不妨設(shè)男選手的平均分數(shù)為x分，女選手的人數(shù)為a人，那么女選手的平均分數(shù)為1.1x分，男選手的人數(shù)為1.5a人，從而可列出方程，解得x=75，所以1.1x=82.5.即女選手的平均分數(shù)為82.5分.第四章幾何圖形初步4.1幾何圖形1、幾何圖形：從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。2、立體圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內(nèi)。3、平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)。4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的。立體圖形中某些部分是平面圖形。5、三視圖：從左面看，從正面看，從上面看6、展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。7、⑴幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點；⑵點無大小，線、面有曲直；⑶幾何圖形都是由點、線、面、體組成的；⑷點動成線，線動成面，面動成體；⑸點：是組成幾何圖形的基本元素。4.2直線、射線、線段1、直線公理：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。即：兩點確定一條直線。2、當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點。3、把一條線段分成相等的兩條線段的點，叫做這條線段的中點。4、線段公理：兩點的所有連線中，線段做短（兩點之間，線段最短）。5、連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。6、直線的表示方法：如圖的直線可記作直線ＡＢ或記作直線ｍ．（1）用幾何語言描述右面的圖形，我們可以說：