2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用思維深化微課堂構(gòu)造法解f(x)與f′(x)共存問題 學(xué)案

思維深化微課堂構(gòu)造法解f(x)與f′(x)共存問題類型一構(gòu)造F(x)＝f(x)－g(x)型可導(dǎo)函數(shù)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)＝20，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＞6x2＋2，則不等式f(x)＞2x3＋2x的解集為()A．{x|x＞－2} B．{x|x＞2}C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2}[思維架橋]構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－2x3－2x，求導(dǎo)得F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0，可知函數(shù)F(x)單調(diào)遞增．再結(jié)合已知條件得到F(x)>F(2)，即得不等式的解集．B解析：令函數(shù)F(x)＝f(x)－2x3－2x，則F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增．因為F(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故原不等式等價于F(x)>F(2)，所以所求不等式的解集為{x|x>2}．若已知f′(x)>G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(shù)(x)，G(x)都是具體函數(shù)，且g′(x)＝G(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)．[應(yīng)用體驗]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f′(x)－cosx<0，則不等式f(x)<sinx的解集為_________．(0，＋∞)解析：令F(x)＝f(x)－sinx，則當(dāng)x≥0時，F(xiàn)′(x)＝f′(x)－cosx<0，所以F(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．又f(x)是R上的奇函數(shù)，所以F(x)＝f(x)－sinx也是R上的奇函數(shù)，故F(x)是減函數(shù)且F(0)＝0.原不等式等價于f(x)－sinx<0，即F(x)<0＝F(0)，所以x>0.類型二構(gòu)造f(x)與xn的積或商型可導(dǎo)函數(shù)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若xf′(x)－2f(x)＞0，f(－3)＝1，則不等式fxx＜19A．(－∞，－3)∪(0，3)B．(－3，3)C．(－3，0)∪(0，3)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[思維架橋]構(gòu)造函數(shù)g(x)＝fxx2，求導(dǎo)得g′(x)＝xf'x-2fxx3>0，x∈(0，＋∞)，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減．當(dāng)x>0時，由fxx<19x，得fxx2<19，即g(x)<gA解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝fxx2，g′(x)＝x·xf'x-2fxx4＝xf'x-2fxx3，當(dāng)又f(x)為偶函數(shù)，y＝1x所以g(x)＝fxf(－3)＝1，則f(3)＝1，g(－3)＝g(3)＝f332fxx<1當(dāng)x>0時，即fxx2<19，g(x)<19＝當(dāng)x<0時，即fxx2>19，g(x)>19＝綜上所述，x∈(－∞，－3)∪(0，3)．故選A.1．已知xf′(x)＋nf(x)>0的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)·xn.2．已知xf′(x)－nf(x)>0的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝fx[應(yīng)用體驗]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為_________．(－∞，－4)∪(0，4)解析：令F(x)＝xf(x)，則F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當(dāng)x<0時，f(x)＋xf′(x)<0，所以當(dāng)x<0時，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以F(x)＝xf(x)是奇函數(shù)，所以F(x)在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減；又F(－4)＝(－4)f(－4)＝0，根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式xf(x)>0的解集為(－∞，－4)∪(0，4)．類型三構(gòu)造f(x)與enx的積或商型可導(dǎo)函數(shù)定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若對任意實數(shù)x，有f(x)＞f′(x)，且f(x)＋2021為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2021ex＜0的解集是()A．(－∞，0) B．(－∞，ln2021)C．(0，＋∞) D．(2021，＋∞)[思維架橋]構(gòu)造函數(shù)F(x)＝fxex，求導(dǎo)得F′(x)＝f'x-fxex<0，可知函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減．再由f(x)＋2021為奇函數(shù)，得到f(0)＋2021＝0，結(jié)合已知條件有f(x)＋2021ex<f0C解析：設(shè)F(x)＝fxex，則F′(x因為f(x)>f′(x)，所以F′(x)<0，F(xiàn)(x)為定義在R上的減函數(shù)．因為f(x)＋2021為奇函數(shù)，所以f(0)＋2021＝0，f(0)＝－2021，F(xiàn)(0)＝f0f(x)＋2021ex<0，即fxex<－2021，F(xiàn)(x)<F1．已知f′(x)＋nf(x)>0的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)·enx.2．已知f′(x)－nf(x)>0的形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝fx[應(yīng)用體驗]若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，則不等式f(x)>1e(0，＋∞)解析：令F(x)＝f(x)·e2x，所以F′