1995年A題飛行管理問題

1995年A題飛行管理問題A題一個飛行管理問題在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內，經常有若干架飛機作水平飛行。區(qū)域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角。以避免碰撞。現(xiàn)假定條件如下：1） 不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里2） 飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度3） 所有飛機飛行速度均為每小時800公里4） 進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內飛機的距離應在60公里以上5） 最多需考慮6架飛機6） 不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型。列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算（方向角誤差不超過0.01度）。要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小。設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）記錄數(shù)據(jù)為：飛機編號橫座標X縱座標Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。試根據(jù)實際應用背景對你的模型進行評價與推廣。參考解答1．問題分析根據(jù)題目的條件，可將飛機飛行的空域視為二維平面xoy中的一個正方形區(qū)域，頂點（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）.各架飛機的飛行方向角為飛行方向與x軸正向夾角①（轉角）?根據(jù)兩飛機不碰撞的標準為二者距離大于8km，可將每架飛機視為一個以飛機坐標點為圓心、以4km為半徑的圓狀物體（每架飛機在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定）.這樣兩架飛機是否碰撞就化為兩圓在運行過程中是否相交的問題.兩圓是否相交只要討論它們的相對運動即可.模型假設（1）飛機進入區(qū)域邊緣時,立即作出計算,每架飛機按照計算后的指示立即作方向角改變;每架飛機在整個過程中至多改變一次方向;忽略飛機轉向的影響(轉彎半徑和轉彎時間的影響);新飛機進入空域時,已在空域內部飛行的飛機的飛行方向已調合適,不會碰撞;對每架飛機方向角的相同調整量的滿意程度是一樣的.模型的建立圓狀模型.由前面的分析將飛機作為圓狀模型進行研究.兩圓不相交,則表明不會發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會發(fā)生碰撞事故.為了研究兩飛機相撞問題,采用相對速度作為研究對象,因為飛機是否相撞的關鍵是相對速度,圖10-3給出任意兩架飛機間的關系其中符號含義如下:i,j第i,第j架飛機的圓心；aij---第i架飛機與第j架飛機的碰撞角,是兩圓的切線交角中指向圓的那個角的一ij半,葺3；u---第i架飛機相對于第j架飛機的相對飛行速度；ijlij---第i架飛機與第j架飛機的圓心距；ijB---第i架飛機對于第j架飛機的相對速度與兩架飛機圓心連線的交角?規(guī)定以第i架ij飛機為原點,ifj連線從i指向j為正方向，逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角；AB,CD為兩圓的公切線,m//AB,n//CD.ii另外再引入記號:0---第i架飛機的飛行方向與直角坐標xoy中x軸正向的夾角(轉角)；ix---第i架飛機在坐標xoy中的位置矢量；iui---第i架飛機的飛行速度矢量.i由圖10-3中的關系得到兩飛機不相撞(兩圓不相交)的充要條件是IB |>a?當|B|ij ij ijWa時,則通過調整兩飛機的方向角0,0，使飛機不相撞.ijIj決策目標.題目要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小,這個盡量小是針對每架飛機而言,同時也要求整體滿意程度(即對管理層而言,應使每架飛機的調整都盡量的小).因此構造目標函數(shù)時,可以認為若對方向角調整量最大的飛機而言,其調整量可滿意,則由假設(5)對其余飛機調整量均可滿意?即要求每架飛機的調整量都小于某個數(shù)0(0三0)?故可取目標函數(shù)為求其最小值min0.由圓狀模型導出的方程.首先討論相對飛行速度方向角Bij的改變量與第i,第j兩架飛機飛行方向角改變量△0,A0的關系. "ij由題目條件知，對第i架飛機|u|=800=A(km).于是可用復數(shù)表示飛機速度U=Ai^i.ii設第i,j兩架飛機飛行方向改變前的速度分別為ui二Ae")i,Z= j，改變飛行方向后的速ij度為u2=Aei(屮殂)， u2=Ad(9j+Aej)jj則飛行方向改變前后的相對速度分別為u1=u1-u1=Aei(%_△%))ijij2ij2iju=u2—u2ij=A(ei(%+△%)—ei(0j+A0j))u2 A(ei(0i+A0i)—ei(0j+A0j))u1u1ijA(ei(0i—A0i))cos(0+A0)+sin(0+A0)—cos(0+A0)—sin(0+A0)TOC\o"1-5"\h\z= ii ii jj j i—cos0+isin0—cos0—isin0i j j j0+A0—0—A00+A0+0+A0 0+A0+0+A02siniijL(siniij j—icos—1 ijj)2220.—0. 0.+0. 0+0.sin1j(sin1j—icos1j)2220i+A0i+00i+A0i+0j+A0jei 2A0i+A0jei220—0sinxj20+A0—0—A0siniijj2TOC\o"1-5"\h\z0—0sin】 42A0+A0即u2與u1交角相之差為ij.將其歸納為ijij 2定理對第i,j架飛機，其相對速度方向B的改變量AP等于兩飛機飛行方向角改變量之ijijA0+A0和的一半一i -2由題目的要求調整飛行方向角時不能超過30°即|A0|W30, i=l,2,...,6i要保證調整飛行方向后飛機不碰撞，應有IB,+Ap..|>a..ij ijij由前面構造的目標函數(shù)為min0 OW0W30總結以上得如下優(yōu)化模型TOC\o"1-5"\h\zmin0 （1）, , AB+AB ..s.t.IB..+AB..|>a.., AB..=I# ⑵ij ijij ij 2|A0Ke, 1=1,...,6 (3)i|Ae|<30, 1=1,...,6 (4)i0<e<30 (5)線性規(guī)劃模型.將上述優(yōu)化模型進行化簡,可轉化為線性規(guī)劃模型.當B>0時，(10.2)式可化為B+AB>a;ij ij ijij當B<0時，(10.2)式可化為B+AB>-a;ij ij ijij由于A0可正負，為使各變量均為正，引入新的變量A0,A0使i i1 i2

,owA0W30,owA0W30i i2,owA0W30,owA0W30i i2TOC\o"1-5"\h\zi=i1 i2 i1于是條件(3),(4)可化為A0—A0W30i1 i2A0-A0三-30i1 i2A0-A0wei1 i2A9-A9三-ei1 i2(6)這樣，優(yōu)化模型（1）?（5）就轉化為如下線性規(guī)劃模型(6)mines.t.p.>0時,ijA0—A0+A0—s.t.p.>0時,ijA0—A0+A0—A0>2a-2B ,i1 i2 j1 j2 ijijij(7)Bjo時,A0i1—A0+A0—A0〈—2a-2Bi2 j1 j2 ijij(8)A0—A0i1 i2W30(9)(10)(11)(12)(14)A0-A0三-30(10)(11)(12)(14)TOC\o"1-5"\h\zi1 i2A9-A9wei1 i2A9-A9三-ei1 i2A9,A9,e,三0i1 i2其中B,a可由題中已知的參數(shù)計算得到,ijijB=arg(u—U)—arg(Y_x)ij ij jia=arcsin(8/|x-x|)ij ij模型求解（1） 記錄各飛機狀態(tài)（位置矢量、速度矢量）;（2） 計算任兩架飛機間的參數(shù)B,a；ij ij（3） 利用計算線性規(guī)劃的軟件（如LINDO）求解（10.6）?（10.14）.這一步也可使用單純形法自己編程求解.結果檢驗對題目所給實例進行計算得如下調整方案△e=o, △e=o, △e=1.814732,123△e=-o.743155, △e=o, △e=1.814732.456各飛行方向角按此方案調整后,系統(tǒng)各架飛機均滿足IBJ〉aJ即不會相撞）?其中有些飛機對有IB|-a<0.01（0.01°是題目要求的計算精度）?如果希望|B丨三a+0.01,只須將ij ij ij ij模型中的a用云=a+0.01代替即可.ijijij將調整后各量再代入模型進行計算得min8=0即此時無需再改動.經模擬程序運行可觀察動態(tài)結果是正確的.模型評價與推廣此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的,同時采用相對速度作為判斷標準,即體現(xiàn)了碰撞的本質(相對運動),又簡化了模型的計算;建模中用了適當?shù)暮喕?將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題.既求到合理的解,又提高了運算速度.這對于解決高速運行的飛機碰撞問題是十分重要的.此模型對題目所提供的例子計算得出的結果是令人滿意的.簡化模型中忽略了B=0(即兩架飛機迎面飛行)的情況.B=0時，可使用約束條件(10.7)ijij式或(10.8)式求出最優(yōu)解.比較此兩組解可得最優(yōu)解.由對稱性知模型中的約束條件個數(shù)是C2(n是飛機數(shù))，所以約束條件數(shù)為nC2+4n=n ,n增大時，約束條件數(shù)是n的二次函數(shù)，計算量增加不大.n2出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。將軍向寵，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰“能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也，。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危