1995年A題飛行管理問(wèn)題

1995年A題飛行管理問(wèn)題A題一個(gè)飛行管理問(wèn)題在約10,000米高空的某邊長(zhǎng)160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角。以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下：1） 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里2） 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)30度3） 所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)800公里4） 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60公里以上5） 最多需考慮6架飛機(jī)6） 不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況。請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過(guò)0.01度）。要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)的座標(biāo)為（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）記錄數(shù)據(jù)為：飛機(jī)編號(hào)橫座標(biāo)X縱座標(biāo)Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣。參考解答1．問(wèn)題分析根據(jù)題目的條件，可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一個(gè)正方形區(qū)域，頂點(diǎn)（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）.各架飛機(jī)的飛行方向角為飛行方向與x軸正向夾角①（轉(zhuǎn)角）?根據(jù)兩飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8km，可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)坐標(biāo)點(diǎn)為圓心、以4km為半徑的圓狀物體（每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定）.這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)行過(guò)程中是否相交的問(wèn)題.兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可.模型假設(shè)（1）飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí),立即作出計(jì)算,每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角改變;每架飛機(jī)在整個(gè)過(guò)程中至多改變一次方向;忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響(轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響);新飛機(jī)進(jìn)入空域時(shí),已在空域內(nèi)部飛行的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)合適,不會(huì)碰撞;對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿(mǎn)意程度是一樣的.模型的建立圓狀模型.由前面的分析將飛機(jī)作為圓狀模型進(jìn)行研究.兩圓不相交,則表明不會(huì)發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會(huì)發(fā)生碰撞事故.為了研究?jī)娠w機(jī)相撞問(wèn)題,采用相對(duì)速度作為研究對(duì)象,因?yàn)轱w機(jī)是否相撞的關(guān)鍵是相對(duì)速度,圖10-3給出任意兩架飛機(jī)間的關(guān)系其中符號(hào)含義如下:i,j第i,第j架飛機(jī)的圓心；aij---第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的碰撞角,是兩圓的切線(xiàn)交角中指向圓的那個(gè)角的一ij半,葺3；u---第i架飛機(jī)相對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度；ijlij---第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的圓心距；ijB---第i架飛機(jī)對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連線(xiàn)的交角?規(guī)定以第i架ij飛機(jī)為原點(diǎn),ifj連線(xiàn)從i指向j為正方向，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角；AB,CD為兩圓的公切線(xiàn),m//AB,n//CD.ii另外再引入記號(hào):0---第i架飛機(jī)的飛行方向與直角坐標(biāo)xoy中x軸正向的夾角(轉(zhuǎn)角)；ix---第i架飛機(jī)在坐標(biāo)xoy中的位置矢量；iui---第i架飛機(jī)的飛行速度矢量.i由圖10-3中的關(guān)系得到兩飛機(jī)不相撞(兩圓不相交)的充要條件是IB |>a?當(dāng)|B|ij ij ijWa時(shí),則通過(guò)調(diào)整兩飛機(jī)的方向角0,0，使飛機(jī)不相撞.ijIj決策目標(biāo).題目要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小,這個(gè)盡量小是針對(duì)每架飛機(jī)而言,同時(shí)也要求整體滿(mǎn)意程度(即對(duì)管理層而言,應(yīng)使每架飛機(jī)的調(diào)整都盡量的小).因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí),可以認(rèn)為若對(duì)方向角調(diào)整量最大的飛機(jī)而言,其調(diào)整量可滿(mǎn)意,則由假設(shè)(5)對(duì)其余飛機(jī)調(diào)整量均可滿(mǎn)意?即要求每架飛機(jī)的調(diào)整量都小于某個(gè)數(shù)0(0三0)?故可取目標(biāo)函數(shù)為求其最小值min0.由圓狀模型導(dǎo)出的方程.首先討論相對(duì)飛行速度方向角Bij的改變量與第i,第j兩架飛機(jī)飛行方向角改變量△0,A0的關(guān)系. "ij由題目條件知，對(duì)第i架飛機(jī)|u|=800=A(km).于是可用復(fù)數(shù)表示飛機(jī)速度U=Ai^i.ii設(shè)第i,j兩架飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為ui二Ae")i,Z= j，改變飛行方向后的速ij度為u2=Aei(屮殂)， u2=Ad(9j+Aej)jj則飛行方向改變前后的相對(duì)速度分別為u1=u1-u1=Aei(%_△%))ijij2ij2iju=u2—u2ij=A(ei(%+△%)—ei(0j+A0j))u2 A(ei(0i+A0i)—ei(0j+A0j))u1u1ijA(ei(0i—A0i))cos(0+A0)+sin(0+A0)—cos(0+A0)—sin(0+A0)TOC\o"1-5"\h\z= ii ii jj j i—cos0+isin0—cos0—isin0i j j j0+A0—0—A00+A0+0+A0 0+A0+0+A02siniijL(siniij j—icos—1 ijj)2220.—0. 0.+0. 0+0.sin1j(sin1j—icos1j)2220i+A0i+00i+A0i+0j+A0jei 2A0i+A0jei220—0sinxj20+A0—0—A0siniijj2TOC\o"1-5"\h\z0—0sin】 42A0+A0即u2與u1交角相之差為ij.將其歸納為ijij 2定理對(duì)第i,j架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向B的改變量AP等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量之ijijA0+A0和的一半一i -2由題目的要求調(diào)整飛行方向角時(shí)不能超過(guò)30°即|A0|W30, i=l,2,...,6i要保證調(diào)整飛行方向后飛機(jī)不碰撞，應(yīng)有IB,+Ap..|>a..ij ijij由前面構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為min0 OW0W30總結(jié)以上得如下優(yōu)化模型TOC\o"1-5"\h\zmin0 （1）, , AB+AB ..s.t.IB..+AB..|>a.., AB..=I# ⑵ij ijij ij 2|A0Ke, 1=1,...,6 (3)i|Ae|<30, 1=1,...,6 (4)i0<e<30 (5)線(xiàn)性規(guī)劃模型.將上述優(yōu)化模型進(jìn)行化簡(jiǎn),可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃模型.當(dāng)B>0時(shí)，(10.2)式可化為B+AB>a;ij ij ijij當(dāng)B<0時(shí)，(10.2)式可化為B+AB>-a;ij ij ijij由于A0可正負(fù)，為使各變量均為正，引入新的變量A0,A0使i i1 i2

,owA0W30,owA0W30i i2,owA0W30,owA0W30i i2TOC\o"1-5"\h\zi=i1 i2 i1于是條件(3),(4)可化為A0—A0W30i1 i2A0-A0三-30i1 i2A0-A0wei1 i2A9-A9三-ei1 i2(6)這樣，優(yōu)化模型（1）?（5）就轉(zhuǎn)化為如下線(xiàn)性規(guī)劃模型(6)mines.t.p.>0時(shí),ijA0—A0+A0—s.t.p.>0時(shí),ijA0—A0+A0—A0>2a-2B ,i1 i2 j1 j2 ijijij(7)Bjo時(shí),A0i1—A0+A0—A0〈—2a-2Bi2 j1 j2 ijij(8)A0—A0i1 i2W30(9)(10)(11)(12)(14)A0-A0三-30(10)(11)(12)(14)TOC\o"1-5"\h\zi1 i2A9-A9wei1 i2A9-A9三-ei1 i2A9,A9,e,三0i1 i2其中B,a可由題中已知的參數(shù)計(jì)算得到,ijijB=arg(u—U)—arg(Y_x)ij ij jia=arcsin(8/|x-x|)ij ij模型求解（1） 記錄各飛機(jī)狀態(tài)（位置矢量、速度矢量）;（2） 計(jì)算任兩架飛機(jī)間的參數(shù)B,a；ij ij（3） 利用計(jì)算線(xiàn)性規(guī)劃的軟件（如LINDO）求解（10.6）?（10.14）.這一步也可使用單純形法自己編程求解.結(jié)果檢驗(yàn)對(duì)題目所給實(shí)例進(jìn)行計(jì)算得如下調(diào)整方案△e=o, △e=o, △e=1.814732,123△e=-o.743155, △e=o, △e=1.814732.456各飛行方向角按此方案調(diào)整后,系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿(mǎn)足IBJ〉aJ即不會(huì)相撞）?其中有些飛機(jī)對(duì)有IB|-a<0.01（0.01°是題目要求的計(jì)算精度）?如果希望|B丨三a+0.01,只須將ij ij ij ij模型中的a用云=a+0.01代替即可.ijijij將調(diào)整后各量再代入模型進(jìn)行計(jì)算得min8=0即此時(shí)無(wú)需再改動(dòng).經(jīng)模擬程序運(yùn)行可觀察動(dòng)態(tài)結(jié)果是正確的.模型評(píng)價(jià)與推廣此模型采用圓狀模型分析碰撞問(wèn)題是合理的,同時(shí)采用相對(duì)速度作為判斷標(biāo)準(zhǔn),即體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)),又簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算;建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化,將一個(gè)復(fù)雜的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.既求到合理的解,又提高了運(yùn)算速度.這對(duì)于解決高速運(yùn)行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的.此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿(mǎn)意的.簡(jiǎn)化模型中忽略了B=0(即兩架飛機(jī)迎面飛行)的情況.B=0時(shí)，可使用約束條件(10.7)ijij式或(10.8)式求出最優(yōu)解.比較此兩組解可得最優(yōu)解.由對(duì)稱(chēng)性知模型中的約束條件個(gè)數(shù)是C2(n是飛機(jī)數(shù))，所以約束條件數(shù)為nC2+4n=n ,n增大時(shí)，約束條件數(shù)是n的二次函數(shù)，計(jì)算量增加不大.n2出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開(kāi)張圣聽(tīng)，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無(wú)大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱(chēng)之曰“能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以?xún)A頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書(shū)、長(zhǎng)史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也，。臣本布衣，躬耕于南陽(yáng)，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危