2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題4.3 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值 （練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三其他模擬（文））函數(shù)在上的最小值為（）A． B．-1 C．0 D．2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)f（x）＝﹣ex，則下列說法正確的是（）A．f（x）無極大值，也無極小值B．f（x）有極大值，也有極小值C．f（x）有極大值，無極小值D．f（x）無極小值，有極大值4.（2021·全國高三月考（理））已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B．C． D．5．（2021·廣東高三其他模擬）若函數(shù)有最小值，則的一個正整數(shù)取值可以為___________.6．（2021·全國高三其他模擬（文））函數(shù)取最大值時的值為___________.7．（2021·陜西寶雞市·高三二模（文））設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則___________.8.（2021·貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的最小值9．（2021·河南高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若，證明：存在極小值.10．（2021·玉林市育才中學(xué)高三三模（文））設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時，在時取得極值，求；（Ⅱ）當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）．A．是偶函數(shù) B．是的周期C．在上單調(diào)遞減 D．在上有3個極值點(diǎn)2．（2021·遼寧丹東市·高三二模）設(shè)函數(shù)，已知的極大值與極小值之和為，則的值域?yàn)開_____．3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_______．4．（2021·全國高三月考（文））已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.6．（2021·河南鄭州市·高三二模（理））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，最小值為，求的最大值以及此時的值．7．（2021·臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，在區(qū)間的最大值記為，最小值記為，設(shè)，求的最小值.8.（2021·成都七中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三三模（文））已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)無極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)取（1）中的最大值時，求函數(shù)的最小值.9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模擬（文））已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10．（2022·河南高三月考（理））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）假設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若函數(shù)的極大值小于整數(shù)，求的最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）函數(shù)的最小值為______.2．（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．3．（2020·北京高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．4．（2017·北京高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=e（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π5.（2018·全國高考真題（理））已知函數(shù)fx（1）若a=0，證明：當(dāng)-1<x<0時，fx<0；當(dāng)x>0時，（2）若x=0是fx的極大值點(diǎn)，求a6．（2019·江蘇高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三其他模擬（文））函數(shù)在上的最小值為（）A． B．-1 C．0 D．【答案】B【解析】求導(dǎo)后求得函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：B.2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】結(jié)合對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D3．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)f（x）＝﹣ex，則下列說法正確的是（）A．f（x）無極大值，也無極小值B．f（x）有極大值，也有極小值C．f（x）有極大值，無極小值D．f（x）無極小值，有極大值【答案】C【解析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，但由于不容易判斷正負(fù)，所以需要二次求導(dǎo)來判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，令，，因?yàn)椋裕?，故，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f（x）有極大值，無極小值.故選：C.4.（2021·全國高三月考（理））已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為，又時，，問題轉(zhuǎn)化為在上遞減，所以當(dāng)時，恒成立，最后參變分離得到參數(shù)的最大值.【詳解】∵在時恒成立，而時，，∴在上遞減，∴當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立，故，∴實(shí)數(shù)的最大值為3，故選B.5．（2021·廣東高三其他模擬）若函數(shù)有最小值，則的一個正整數(shù)取值可以為___________.【答案】4【解析】分段研究函數(shù)的單調(diào)性及最值得解【詳解】在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)時，，此時，.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，函數(shù)有最有最小值，則，即，故的一個正整數(shù)取值可以為4.故答案為：46．（2021·全國高三其他模擬（文））函數(shù)取最大值時的值為___________.【答案】【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)取最大值時x的值即可.【詳解】解：令，即，解得：或或，時時，，故在[上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時，取最大值，故答案為：7．（2021·陜西寶雞市·高三二模（文））設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】由條件可得，然后由算出答案即可.【詳解】因?yàn)?，是函?shù)的一個極值點(diǎn)所以，所以所以故答案為：8.（2021·貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的最小值【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是(-∞，，0)，單調(diào)增區(qū)間是(0，+∞)；（2）最小值1.【解析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，把轉(zhuǎn)化為，直接求出最小值1，并判斷出g(x)取得最小值時條件存在.【詳解】解∶（1）的定義域?yàn)镽,，當(dāng)x<0時，有，當(dāng)x>0時，有；所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞，，0)，單調(diào)增區(qū)間是(0，+∞).（2）由（1）可得f(x)min=f(0)=0，有ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)lnx+x=0時，等號成立.設(shè)h(x)=lnx+x(x>0)，所以h(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，.而，h（1）=1>0，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一，使得h(x0)=0，所以當(dāng)x=x0時，函數(shù)g(x)取得最小值1.9．（2021·河南高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若，證明：存在極小值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）通過二次求導(dǎo)得到的單調(diào)區(qū)間，從而可以證明存在極小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以.所以，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由，得.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)?，所以?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以存在，使得，在上，，在上，，即在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故存在極小值.10．（2021·玉林市育才中學(xué)高三三模（文））設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時，在時取得極值，求；（Ⅱ）當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用求解；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，利用二次函數(shù)的最值求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，依題意有，故，此時，取得極大值，所以；（Ⅱ）當(dāng)時，，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，設(shè)，只需，即.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）．A．是偶函數(shù) B．是的周期C．在上單調(diào)遞減 D．在上有3個極值點(diǎn)【答案】AD【解析】對于A:化簡即可.對于B:計(jì)算出與，由即可.

對于C:計(jì)算出，則可判斷其在上得正負(fù)號，則可得出在上的單調(diào)性，再利用，，則可得到在上單調(diào)的單調(diào)性.對于D:結(jié)合在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減與偶函數(shù)，即可判斷.【詳解】對于A:因?yàn)榈亩x城為，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確．對于B:因?yàn)?，，所以，所以不是函?shù)的周期，故B錯誤．對于C:，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以存在唯一，使得，?dāng)時，，單調(diào)遞增．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤．對于D:函數(shù)在上有2個極大值點(diǎn)，，1個極小值點(diǎn)0，共3個極值點(diǎn)，故D正確．故選：AD．2．（2021·遼寧丹東市·高三二模）設(shè)函數(shù)，已知的極大值與極小值之和為，則的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】，設(shè)的兩根為，由求出的范圍，然后用表示出、、、，然后可得，然后可求出其值域.【詳解】設(shè)的兩根為，且所以，或，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以所以由可得或，由可得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)楣蚀鸢笧椋?．（2021·全國高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_______．【答案】【解析】已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，在a=0時易得ab=0;當(dāng)a≠0時，設(shè)函數(shù),函數(shù)圖象在直線下方時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得相切時a,b滿足的條件，進(jìn)而得到當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時，，得到,記,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得最大值，即得所求.【詳解】原不等式等價(jià)于：恒成立，由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知，當(dāng)時不等式為對于x>0恒成立，需要，此時,當(dāng)時，設(shè)函數(shù),當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,∴,即所以當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時，，∴,記,則,令，解得當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴,綜上，的最大值為：，故答案為：.4．（2021·全國高三月考（文））已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是．（2）【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用得增區(qū)間，得減區(qū)間；（2）求導(dǎo)函數(shù)，由在上有兩個不等實(shí)根可得參數(shù)范圍．【詳解】（1），，，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是．（2），，由題意在上有兩個不等實(shí)根．即有兩個實(shí)根．設(shè)，則，時，，所以時，，遞增，時，，遞減，，，，所以當(dāng)時，在上有兩個實(shí)根．有兩個極值點(diǎn)．5．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；（2）證明見解析．【解析】（1）將代入函數(shù)，并求導(dǎo)即可分析單調(diào)性；（2）求導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)，與時分析單調(diào)性，并判斷是否有極大值，再求解極大值，即可證明．【詳解】（1）的定義域是當(dāng)時，，，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2），令，則，由的定義域是，易得，當(dāng)時，由（1）知，在處取得極大值，所以.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，所以，故沒有極值.當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，，又，，且，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得極大值，所以，所以.令，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上，若函數(shù)存在極大值，則．6．（2021·河南鄭州市·高三二模（理））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，最小值為，求的最大值以及此時的值．【答案】（1）；（2）的最大值是，此時．【解析】(1)根據(jù)題意,令,求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性并分和兩種情況討論求解；（2）求導(dǎo)得，令，得，令，則，故至多個解，不妨設(shè)為，即，進(jìn)而得函數(shù)的最小值是，再令，進(jìn)而求導(dǎo)研究最值即可.【詳解】解：（1）時，，令，則，，故在遞增，，，當(dāng)時，，故存在，使得在遞減，，在上不恒成立，不可取，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足題意.的取值范圍是；（2），令，得，令，則，在遞增，至多個解，設(shè)該解是，即，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最小值是，令，則，，∴，令，解得：，令，解得：，在遞增，在遞減，的最大值是，即的最大值是，此時，．7．（2021·臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，在區(qū)間的最大值記為，最小值記為，設(shè)，求的最小值.【答案】（1）切線方程為；（2）.【解析】（1）首先求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，即可得解；（2）依題意可得，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再對參數(shù)分類討論，求出函數(shù)的最大值與最小值，即可得到，再利用導(dǎo)數(shù)取出函數(shù)的最小值；【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得，所以，求導(dǎo)得，∵切點(diǎn)為，，故切線斜率，所求切線方程為.（2）因?yàn)椋?所以.令，得或.所以，，為減函數(shù)；，，為增函數(shù).①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減所以依題意，，，所以.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，?dāng)時，，所以，，當(dāng)時，，所以，.設(shè)，所以，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.8.（2021·成都七中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三三模（文））已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)無極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)取（1）中的最大值時，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值.【解析】(1)函數(shù)無極值，則導(dǎo)數(shù)恒大于等于零或恒小于等于0，，故可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上無根或有唯一根，即可得解.(2)易知，由函數(shù)的單調(diào)性知，通過兩邊平方及換元可得的最小值.【詳解】解：（1），據(jù)題意得方程在區(qū)間上無根或有唯一根，即方程在區(qū)間上無根或有唯一根，解得；(2)當(dāng)時，，由（1）知在區(qū)間上是增函數(shù)，且，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，所以當(dāng)時，，令，所以，平方的得，即當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模擬（文））已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求，再分析單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最大值即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，研究其單調(diào)性，并通過分析端點(diǎn)處的值獲得滿足題意的的取值范圍.【詳解】（1），則由，可知在上為正，在上為負(fù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，.（2）對恒成立，即對恒成立.設(shè)，，，，，.，又，.（i）即時，，在上遞減，，舍.（ii）即時，①當(dāng)，即時，，使得.且，，在內(nèi)遞減，，矛盾，舍；②當(dāng)，即時，，使得，且，，，，在上遞增，在上遞減，又，，所以成立.③，即，，在上遞增，則.滿足題意.綜上，.10．（2022·河南高三月考（理））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）假設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若函數(shù)的極大值小于整數(shù)，求的最小值.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）①；②最小值為3.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）①求出，令，由題意可得關(guān)于的方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，只需解不等式組即可；②分析可得，，由可得，極大值，令，可得，再證明即可.【詳解】解：（1），.分析知，當(dāng)或時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）①，令，則.討論：當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).當(dāng)時，.由于有兩個極值點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，即有兩個不相等實(shí)數(shù)根，.解得.②分析可知，，，，則.又，即函數(shù)極大值為令，則，則(*)可變?yōu)榉治鲋?，，，下面再說明對于任意，，有.又由(#)得，把它代入(*)得，當(dāng)時，且，故在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)時，.滿足題意的整數(shù)的最小值為3.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【解析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.2．（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負(fù)值舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最大值，即取最大值為，故答案為：3．（2020·北京高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.4．（2017·北京高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=e（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π【答案】(Ⅰ)y=1；（Ⅱ）最大值1；最小值-π【解析】（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=excos又因?yàn)閒(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.（Ⅱ）設(shè)h(x)=ex(當(dāng)x∈(0,π2)所以h(x)在區(qū)間[0,π所以對任意x∈(0,π2]有h(x)<h(0)=0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π因此f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值為f(0)=15.（2018·全國高考真題（理））已知函數(shù)fx（1）若a=0，證明：當(dāng)-1<x<0時，fx<0；當(dāng)x>0時，（2）若x=0是fx的極大值點(diǎn)，求a【答案】（1）見解析；（2）a=-【解析】（1）當(dāng)a=0時，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，設(shè)函數(shù)g(x)=f'(x)=當(dāng)-1<x<0時，g'(x)<0；當(dāng)x>0時，g'(x)>0.故當(dāng)x>-1時，g(x)≥g(0)=0，且僅當(dāng)x=0時，g(x)=0，從而f'所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.又f(0)=0，故當(dāng)-1<x<0時，f(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)>0.（2）（i）若a≥0，由（1）知，當(dāng)x>0時，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x=0是（ii）若a<0，設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)由于當(dāng)|x|<min{1,1|a|}時，又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點(diǎn).h'如果6a+1>0，則當(dāng)0<x<-6a+14a，且|x|<min{1,1|a|如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當(dāng)x∈(x1,0)如果6a+1=0，則h'(x)=x3(x-24)(x+1)(x2-6x-12)2.則當(dāng)x∈(-1,0)時，h綜上，a=-16．（2019·江蘇高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)椋?，從而．令，得或．因?yàn)椋荚诩现?，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，則有2個不同的零點(diǎn)，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因?yàn)?，所以．?dāng)時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．專題4.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三其他模擬）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，，為實(shí)數(shù)，且不等式對任意恒成立，則當(dāng)取最大值時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．（2021·湖南高三其他模擬）已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)，，又當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬）已知f（x）是定義在區(qū)間[﹣2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝，若關(guān)于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}5．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．6．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．【多選題】（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個零點(diǎn)8．（2021·黑龍江大慶市·高三一模（理））用總長m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一條邊比另一條邊長1m，則該容器容積的最大值為________m3（不計(jì)損耗）．9．（2021·湖南高三其他模擬）中國最早的化妝水是年在香港開設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時，該容器的容積最大，最大值為___________.10．（2021·全國高三其他模擬）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高三其他模擬）若不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2.（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則有兩個零點(diǎn)；②，使得有一個零點(diǎn)；③，使得有三個零點(diǎn)；④，使得有三個零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號是_______．3．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）在（1）的條件下，證明：當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù).5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2021·河北高三其他模擬）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).7．（2021·重慶市育才中學(xué)高三二模）已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求證：.8.（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.9．（2021·重慶高三二模）已知函數(shù)在處取得極值．（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．10．（2021·江蘇南通市·高三一模）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.2.（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．3．（2021·全國高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.4.（2020·山東海南省高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．5．（2020·浙江省高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．6.（2019·全國高考真題（理））已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.專題4.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三其他模擬）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，，為實(shí)數(shù)，且不等式對任意恒成立，則當(dāng)取最大值時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式對任意恒成立，化為不等式對任意恒成立，必然有．令，化為：．令，．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出結(jié)論．【詳解】解：不等式對任意恒成立，則不等式對任意恒成立，則．令，則，化為：．令，．不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，令，則，可得：時，函數(shù)取得極大值即最大值，，滿足題意．可以驗(yàn)證其他值不成立．故選：C．2．（2021·湖南高三其他模擬）已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)零點(diǎn)即方程的解，（），取對數(shù)得，此方程有兩個解，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的變化趨勢，然后由零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論．【詳解】顯然，有兩個零點(diǎn)，即方程，在上有兩個解，兩邊取對數(shù)得到，令，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，則，解得.所以正數(shù)的取值范圍是.故選：C．3．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)，，又當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)求出，進(jìn)而參變分離解決恒成立的問題即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時，恒成立，即，即，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，有，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，故選：A.4．（2021·全國高三其他模擬）已知f（x）是定義在區(qū)間[﹣2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝，若關(guān)于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}【答案】D【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，得出；結(jié)合題意得出在有且僅有1個解，計(jì)算的值即可.【詳解】當(dāng)時，則令，解得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，故在定義域上恒成立，由有且只有2個實(shí)數(shù)根，得方程有2個解，又，所以，則在有且僅有1個解，因?yàn)椋瑒t或，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D5．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求函數(shù)最值即可.【詳解】根據(jù)題意，畫出的圖象如下所示：令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是單調(diào)遞增函數(shù)，且，關(guān)于在成立，在成立，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故.即的最小值為.故選：D6．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】參變分離可得，研究函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)以及，可得函數(shù)的極大值為，當(dāng)，，所以，根據(jù)的最大值的范圍即可得解.【詳解】由，得，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，極小值為，且時，，所以，由，得，由恒成立，得，故選：D．7．【多選題】（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】由定義法確定函數(shù)的奇偶性，再求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與切線斜率，以及零點(diǎn)情況.【詳解】因?yàn)閷τ谌我猓加?，所以為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確.又，令，得(*)，因?yàn)?，，所以方?*)無實(shí)數(shù)解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯誤.若為增函數(shù)，則大于等于0，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故C正確.令，得或().設(shè)，則，令，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，從而，單調(diào)遞增.又因?yàn)閷τ谌我?，都有，所以為偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則直線與最多有2個交點(diǎn)，所以在上最多有3個零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.8．（2021·黑龍江大慶市·高三一模（理））用總長m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一條邊比另一條邊長1m，則該容器容積的最大值為________m3（不計(jì)損耗）．【答案】.【解析】設(shè)長方體的底面邊長為，高為，由題可得，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可求出最值.【詳解】設(shè)長方體的底面邊長為，高為，則由題可得，，則可得，則，則該容器容積，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即該容器容積的最大值為.故答案為：.9．（2021·湖南高三其他模擬）中國最早的化妝水是年在香港開設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時，該容器的容積最大，最大值為___________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)已知條件可得出，根據(jù)柱體的體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值及其對應(yīng)的的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為.則由題意可得，所以.由，得.故容器的容積，容易忽略上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中.，令，解得（舍）或.顯然當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得最大值，此時，.故答案為：；.10．（2021·全國高三其他模擬）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】或【解析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象特征，即可得到答案；【詳解】，令，則，令，則在恒成立，在單調(diào)遞減，且，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，如圖所示，可得當(dāng)或時，直線與有且僅有一個交點(diǎn)，故答案為：或練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高三其他模擬）若不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值可得，故，再構(gòu)造，求得函數(shù)的最小值即可.【詳解】由恒成立，得，設(shè)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不成立；當(dāng)時，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，，，設(shè)，，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，故選：C.2.（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則有兩個零點(diǎn)；②，使得有一個零點(diǎn)；③，使得有三個零點(diǎn)；④，使得有三個零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號是_______．【答案】①②④【解析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.3．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得；（2）依題意即證，即，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性與最值，即可得到，從而得證；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，，解得．?）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號）．又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時取等號）．所以，即．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）在（1）的條件下，證明：當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）有一個零點(diǎn).【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可（2）利用導(dǎo)數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，由，即可證明在上恒成立（3）由（2）可知當(dāng)且時，，即在上沒有零點(diǎn)，再根據(jù)，，得到，對進(jìn)行討論，即可求解【詳解】解：（1）因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，因?yàn)?，所以，解?（2）由（1）得當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上恒成?（3）由（2）可知當(dāng)且時，，即在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，，令，，則單調(diào)遞增，且，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記為，且時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)，且在上恒小于零，故時，；時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以在上至多有一個零點(diǎn)，取，則有，所以由零點(diǎn)存在定理可知在上只有一個零點(diǎn)，又f(0)不為0，所以在上只有一個零點(diǎn).5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）或.【解析】（1）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的極值以及零點(diǎn)個數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時，由或，所以在，單調(diào)遞增，由，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，由或，所以在，單調(diào)遞增，由，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增.（2），，由（1）知當(dāng)時，在處，有極大值，且，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在處，有極小值，在處，有極大值，則當(dāng)，或時函數(shù)有一個零點(diǎn)，有或.綜上：或.6．（2021·河北高三其他模擬）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).【答案】（1）證明過程見解答；（2）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)．【解析】（1）將代入，對求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷其最值，即可得證；（2）令，則即為，顯然，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)作出的大致圖象，進(jìn)而圖象判斷方程解的情況，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)情況．【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單增，當(dāng)時，，單減，（1），即得證；（2）令，則即為，當(dāng)，即時，該方程不成立，故不是的零點(diǎn)；接下來討論時的情況，當(dāng)時，方程可化為，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，單增，當(dāng)時，，單減，且當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可知，當(dāng)，即時，只有一個解，則有一個零點(diǎn)，當(dāng)，即時，有兩個解，則有兩個零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)．7．（2021·重慶市育才中學(xué)高三二模）已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）作差，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值為，只需；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，解出；（2）利用把原不等式轉(zhuǎn)化為證明，即證：，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可證明.【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)時，，單增，當(dāng)，不滿足恒成立當(dāng)，在單減，在單增，所以的最小值為，即，即設(shè)，，所以在單減，在單增，即，故的解只有，綜上（2）先證當(dāng)時，恒成立.令，求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞增，，所以所以要證，即證，即證，即證：，設(shè)，求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立.所以當(dāng)時，如成立.8.（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；（2）證明見解析．【解析】（1）將代入函數(shù)，并求導(dǎo)即可分析單調(diào)性；（2）求導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)，與時分析單調(diào)性，并判斷是否有極大值，再求解極大值，即可證明．【詳解】（1）的定義域是當(dāng)時，，，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2），令，則，由的定義域是，易得，當(dāng)時，由（1）知，在處取得極大值，所以.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，所以，故沒有極值.當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，，又，，且，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得極大值，所以，所以.令，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上，若函數(shù)存在極大值，則．9．（2021·重慶高三二模）已知函數(shù)在處取得極值．（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由條件求出，然后由可得，然后用導(dǎo)數(shù)求出右邊對應(yīng)函數(shù)的最小值即可；（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）∵，，∴，由已知，即，即對恒成立，令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即．（2），則．當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．∵，，∴存在使得，即，即．∴當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，，∴．∴．10．（2021·江蘇南通市·高三一模）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，解不等式即可求解；（2）根據(jù)極值點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可得且，要證，只要證，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）由題意得().令，則.①當(dāng)，即時，在上恒成立，即的增區(qū)間為；②當(dāng)，即時，或，即的增區(qū)間為和.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為和.（2）因?yàn)?)，有兩個極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可求出從而，，解得.由得.因?yàn)?，所以?令，且，則，所以當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增；當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，于是().要證，只要證，只要證明.因?yàn)?，所以只要證.令則.因?yàn)椋?，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，故，?dāng)時，；當(dāng)