新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第六十一中學2023-2024學年高三上學期10月月考數(shù)學試題（月考）

烏魯木齊市第61中學2023-2024學年高三上學期10月月考數(shù)學試題（新教材老高考不分文理）總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）1．在下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)①若是虛數(shù)，則；②若復數(shù)滿足，則；③若復數(shù)，，且對應的復數(shù)位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是；④若，則.A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合，，且，則（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的為（

）A．某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級學生數(shù)之比為5:4:3，則應從高三年級中抽取14名學生B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg4．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且對任意的有，當時，，則（

）．A．11 B．5 C． D．5．已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點.若橢圓的離心率不大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9．在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當矩形ABCD的面積取得最小值時，D．當矩形ABCD的周長取得最小值時，10．已知拋物線：的焦點在直線上，點在拋物線上，點在準線上，滿足軸，，則（

）A． B．直線的傾斜角為C． D．點的橫坐標為11．使得的數(shù)稱為方程的解，也稱為函數(shù)的零點.即的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.已知二次函數(shù)在上有兩個零點，且.下列說法正確的有（

）A．且B．C．D．和至少有一個小于12．若，，則（

）A．若，為互斥事件， B．C．若，相互獨立， D．若，則，相互獨立三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．向量滿足：，與的夾角為，則＝；14．已知正四棱臺的上底邊長為4，下底邊長為8，側(cè)棱長為，則其體積為.15．圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直線被圓C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦長為.16．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足，當時，，則．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：且______在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在前面橫線中，求滿足條件的個數(shù).注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答得分.18．已知數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.19．近年來隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，舊貨交易市場也得以快速發(fā)展.某網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺對2018年某種機械設(shè)備的線上交易進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點圖.現(xiàn)把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設(shè)備的使用時間，（單位：萬元）表示其相應的平均交易價格.（1）已知2018年在此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺成交的該種機械設(shè)備為100臺，現(xiàn)從這100臺設(shè)備中，按分層抽樣抽取使用時間的4臺設(shè)備，再從這4臺設(shè)備中隨機抽取2臺，求這2臺設(shè)備的使用時間都在的概率.（2）由散點圖分析后，可用作為此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺上該種機械設(shè)備的平均交易價格關(guān)于其使用時間的回歸方程.5.58.71.9301.479.75385表中，（i）根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（ii）根據(jù)上述回歸方程，求當使用時間時，該種機械設(shè)備的平均交易價格的預報值（精確到0.01）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為參考數(shù)據(jù)：，，.20．如圖，在水平放置的四棱錐中，平面，，，.（1）為線段上動點，試確定點的位置，使并證明；（2）求二面角的正弦值.21．已知點及圓．（1）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；（2）若過點的直線與圓交于、兩點，且，求以為直徑的圓的方程；（3）若直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）月考答案解析1．B【分析】根據(jù)復數(shù)運算、共軛復數(shù)、復數(shù)對應點坐標所在象限對命題進行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，若與無法比較大小，①錯誤.②，若，但，②錯誤③，，則，③正確.④，時，，④錯誤.所以正確的命題個數(shù)是個.故選：B2．C【分析】先求出集合，再利用集合間的包含關(guān)系列出不等式組，求出的取值范圍即可．【詳解】解：由，，解得，所以，集合，因為，所以，解得．故選：C．3．C【分析】對A，結(jié)合分層抽樣按比例分配原則可判斷錯誤；對B，結(jié)合超幾何分布公式可求解對應概率；對C，結(jié)合正態(tài)分布對稱性可判斷；對D，線性回歸方程只能做出預測.【詳解】對于A．應從高三年級中抽取名學生，A錯誤；對于B．所求概率，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，用回歸方程計算得到是估計值，故不能斷定其體重為62.5kg，D錯誤．故選：C4．C【分析】根據(jù)即可得出，即得出的周期為6，再根據(jù)是偶函數(shù)，以及時，，從而可求出．【詳解】解：∵，∴的周期為6．又是偶函數(shù)，且時，，∴．故選：C5．D【分析】由題意可得a>1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，直徑所對的圓周角為直角，化為，化簡整理，結(jié)合離心率公式和不等式的解法，可得a的范圍．【詳解】橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，可得a>1，由聯(lián)立橢圓方程可得，設(shè),可得，線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點，可得OM⊥ON，即有，可得，化為，則，化為，由,可得，即,可得，即有,解得，可得，故選：D.6．D【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)有兩個不同的零點，說明函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，從而求出a的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，由函數(shù)f（x）恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f′（x）有兩個不相等的零點，∴3ax2﹣6x+1＝0滿足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故選D．7．D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．8．D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，列方程求出，進而可求出，列不等式組可求出的取值范圍【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，所以，所以當時，取得最大值，當時，取得最小值，所以，解得，故選：D9．AC【分析】由題意分別表示兩個圓錐的側(cè)面積與矩形面積建立方程，對選項一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設(shè)，，則圓錐M的側(cè)面積為，圓錐N的側(cè)面積為，則，則，則，得，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時，所以B錯誤，C正確.矩形ABCD的周長為，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的周長的最小值為，此時，所以A正確，D錯誤.故選：AC10．AC【分析】計算焦點的坐標，從而可得的值，判斷選項A，再由已知條件分析可得為等邊三角形，從而得，即可判斷選項B，在，計算的值，即可得，判斷選項C，利用點到準線的距離列式計算點的橫坐標判斷選項D.【詳解】依題意，可得點的坐標為，從而得，A正確；因為點在準線上，軸，，又，為等邊三角形，，如圖，當點在第一象限，得，即直線的傾斜角為，若點在第四象限，同理可得直線的傾斜角為，B錯誤；在中，，，C正確；所以點的橫坐標為，D錯誤.故選：AC．11．AD【分析】根據(jù)零點的定義結(jié)合二函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷【詳解】對于A，因為二次函數(shù)在上有兩個零點，且，所以，即，所以A正確，對于B，當時，，所以B錯誤，對于C，若，則，此時，則，所以C錯誤，對于D，當時，，即，所以和中至少有一個小于1，當時，或，當時，則，當時，則，所以D正確，故選：AD12．AC【分析】利用互斥事件的定義及性質(zhì)判斷A選項；利用和事件的關(guān)系判斷B選項；利用相互獨立事件的定義及性質(zhì)判斷C選項；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據(jù)獨立事件關(guān)系確定A、B的獨立性可判斷D.【詳解】選項A：若A，B為互斥事件，則，，故A正確；選項B：，故B錯誤；選項C：若A，B相互獨立，，故C正確；選項D：，則A，B不相互獨立，故D錯誤；故選：AC.13．【分析】根據(jù)模的計算公式可直接求解.【詳解】故填：.14．112【分析】根據(jù)已知條件，分別計算出上、下底面面積以及棱臺的高，代入棱臺體積公式進行計算即可得解.【詳解】因為正四棱臺的上底邊長為4，下底邊長為8，側(cè)棱長為，所以棱臺的下底面積，上底面積，高，所以正四棱臺的體積.故答案為：112.15．.【解析】先求出圓C1和圓C2公共弦所在的直線方程，再由直線與圓相交求出圓心到直線的距離，然后由勾股定理求解答案.【詳解】由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為又圓C3的圓心坐標為(1，1)，其到直線l的距離為d=，設(shè)圓C3的半徑為r，由條件知，，所以弦長為2×.故答案為：16．【分析】由已知條件可得函數(shù)的周期，再由周期性和偶函數(shù)的性質(zhì)求值．【詳解】由題意，所以是周期函數(shù)，周期是，又是偶函數(shù)，所以．故答案為：．17．選①,有兩個解；若選②，有一個解；若選③，無解.【分析】由可得，，再根據(jù)選項逐一判斷的大小關(guān)系，從而即可得答案.【詳解】解：因為，即有為，所以，所以，所以，即有，若選①：，因為，，即，故有2個解；若選②：，因為，即，故有1個解；若選③：，因為，即，故無解；18．(1)(2)【分析】（1）推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）解：因為數(shù)列滿足，且，在等式兩邊同時乘以可得，且，所以，數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，.（2）解：由（1）可得，所以，，①可得，②①②可得，因此，.19．（1）；（2）（ii）【分析】（1）由分層抽樣確定的設(shè)備有3臺，分別記為，，；使用時的設(shè)備有1臺，記為，由古典概型列舉求解即可（2）（i）由題意得，由公式求解即可求解（ii）將x=15代入方程求解即可【詳解】（1）由圖1中頻率分布直方圖可知，從2018年成交的該種機械設(shè)備中使用時間的臺數(shù)為，使用時間的臺數(shù)為，按分層抽樣所抽取4臺中，使用時間的設(shè)備有3臺，分別記為，，；使用時的設(shè)備有1臺，記為，從這4臺設(shè)備中隨機抽取2臺的結(jié)果為，，，，，，共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這2臺設(shè)備的使用時間都在結(jié)果為，，，共有3種，：所求事件的概率為；（2）（i）由題意得，，關(guān)于的線性回歸方程為關(guān)于的回歸方程為，（ii）由（i）當使用時間時，該種機械設(shè)備的平均交易價格的預報值為萬元.，20．（1）為線段的中點，證明見解析；（2）【分析】（1）為線段的中點，取的中點，連接，，，證明，再證明，，可得面，即面，即可求證；（2）以為原點，分別以所在的直線為軸，分別求出平面和平面的一個法向量，利用空間向量夾角公式即可求夾角余弦值，再求正弦值即可.【詳解】（1）為線段的中點，取的中點，連接，，，則，且，因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，點為線段的中點，所以，因為平面，面，所以，因為，所以，因為，所以面，面，所以，因為，，，所以面，所以面，因為面，所以；（2）因為兩兩垂直，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由則，解得可得，所以因為面，所以為平面的一個法向量，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為.21．（1），；（2）；（3）不存在，理由詳見解析.【分析】（1）設(shè)出直線方程，結(jié)合點到直線的距離公式，計算參數(shù)，即可得出所求直線方程，注意分斜率存在與否兩種情況討論；（2）求出點P與圓心C之間的距離，再根據(jù)逆用弦長公式求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)，則點P為MN的中點，故以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍，再計算的斜率，求出a的值，即可.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的斜率為，則方程為．依題意得，解得.所以直線的方程為，即．當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件.（2）由于，而弦心距，所以．所以為的中點．故以為直徑的圓的方程為．（3）直線，即，代入圓的方程，消去，整理得．由于直線交圓于，兩點，故，解得．則實數(shù)的取值范圍是．若存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦，則圓心