橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題及練習(xí)題

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，．從橢圓定義知．即．從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，，可求出，，從而．∴所求橢圓方程為或．例2橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，，．求：的面積〔用、、表示〕．分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②，則得．故．例3動(dòng)圓過定點(diǎn)，且在定圓的部與其相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式．解：如下圖，設(shè)動(dòng)圓和定圓切于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：．說明：此題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．例4橢圓，〔1〕求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；〔2〕求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；〔3〕過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；〔4〕橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法．解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤〔1〕將，代入⑤，得，故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．〔2〕將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓局部〕〔3〕將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓局部〕〔4〕由①＋②得：，⑦，將③④平方并整理得，⑧，，⑨將⑧⑨代入⑦得：，⑩再將代入⑩式得：，即．此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．例5橢圓及直線．〔1〕當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？〔2〕假設(shè)直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．解：〔1〕把直線方程代入橢圓方程得，即．，解得．〔2〕設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，由〔1〕得，．根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：．解得．方程為．說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長(zhǎng)問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式．用弦長(zhǎng)公式，假設(shè)能合理運(yùn)用韋達(dá)定理〔即根與系數(shù)的關(guān)系〕，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．例6以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．解：如下圖，橢圓的焦點(diǎn)為，．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－9，6〕，直線的方程為．解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－5，4〕．此時(shí)最?。髾E圓的長(zhǎng)軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．例7求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程．解：設(shè)所求橢圓方程為(，)．由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，．故所求的橢圓方程為．例8長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求．解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解．．因?yàn)?，，所以．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為．由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：．設(shè)，為方程兩根，所以，，，從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．由題意可知橢圓方程為，設(shè)，，則，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．(法3)利用焦半徑求解．先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫坐標(biāo)．再根據(jù)焦半徑，，從而求出．例9橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕的值為A．4B．2C．8D．解：如下圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A．說明：(1)橢圓定義：平面與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)〔大于〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離例10橢圓，試確定的取值圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．解：設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)．∵的斜率，∴設(shè)直線的方程為．由方程組消去得①?！啵谑牵?，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在直線上，∴．解得．②將式②代入式①得③∵，是橢圓上的兩點(diǎn)，∴．解得．例11在面積為1的中，，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程．解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)．則∴即∴得∴所求橢圓方程為例12是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程．解：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，則、是①的兩根，∴∵為中點(diǎn)，∴，．∴所求直線方程為．例13.．F1、F2是橢圓eq\f(*2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．(1)假設(shè)∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面積；(2)求PF1·PF2的最大值．解：(1)設(shè)PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1Feq\o\al(2,2)，即m2＋n2－2mn·coseq\f(π,3)＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝eq\f(256,3).又∵S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mn·sineq\f(π,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).(2)∵a＝10，∴根據(jù)橢圓的定義得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2eq\r(PF1·PF2)，∴PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2＝100，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝10時(shí)，等號(hào)成立．∴PF1·PF2的最大值是100.練習(xí)題題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)假設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形；且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________；(2)(2011·課標(biāo)全國)在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在*軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，則橢圓C的方程為__________．題型二橢圓的幾何性質(zhì)例2F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.(1)求橢圓離心率的圍；(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．(2012·)如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60°.(1)求橢圓C的離心率；(2)△AF1B的面積為40eq\r(3)，求a，b的值．題型三直線與橢圓的位置關(guān)系例3(2011·)橢圓G：eq\f(*2,4)＋y2＝1.過點(diǎn)(m,0)作圓*2＋y2＝1