2017中國西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題及解析

2017中國西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽1.設(shè)素?cái)?shù)、正整數(shù)滿足.證明：.1.按照中的因子所含的冪次分情形討論.〔1〕假設(shè)存在，使得，則.于是，.〔2〕假設(shè)對(duì)任意的，，由條件，知存在，使得且.則.于是，.當(dāng)，則；當(dāng)，則，綜上，.2、為正整數(shù)，使得存在正整數(shù)滿足：，求的最大可能值.2、的最大可能值為，顯然：由等式得，所以：又等號(hào)無法成立，則而則取，可使上式等號(hào)成立3.如圖1，在中，為邊上一點(diǎn)，設(shè)的心分別為，的外心分別為，直線與交于點(diǎn).證明：.3.由及心的性質(zhì)，知為外接圓弧的中點(diǎn).如圖2，延長交于點(diǎn)，則為中的旁心，且為的中點(diǎn)類似地，延長交于點(diǎn)，則為中的旁心，且為的中點(diǎn)過點(diǎn)作.只需證明、、三線共點(diǎn)對(duì)用角元塞瓦定理，只需證明：事實(shí)上，由，知，則同理：，又所以只需證明：即在邊上的投影長度一樣.如圖3，設(shè)在邊BC上的投影分別為則同理：所以：，命題得證4、給定整數(shù)，甲、乙兩人在一每個(gè)小方格都是白色的的方格紙上玩游戲：兩人輪流選擇一個(gè)白色小方格將其染為黑色，甲先進(jìn)展.如果*個(gè)人染色后，每個(gè)的正方形中都至少有一個(gè)黑色小方格，則游戲完畢,此人獲勝.問誰有必勝策略"4、解將方格紙按從上到下標(biāo)記行，從左到右標(biāo)記列.假設(shè)，則甲將第行第列的小方格染為黑色后，每個(gè)正方形中至少有一個(gè)黑格，因此甲獲勝.下面假設(shè)，我們證明當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，甲存獲勝策略；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，乙有獲勝策略.對(duì)于一個(gè)已經(jīng)有假設(shè)干個(gè)方格染為黑色的局面：如果有兩個(gè)不相交的正方形所含的全是白格，并且方格紙白格總數(shù)為奇數(shù)，我們稱其為“好局面〞；如果有兩個(gè)不相交的正方形所含的全是白格，并且方格紙白格總數(shù)為偶數(shù)，稱其為“壞局面〞.我們證明當(dāng)*人面對(duì)好局面時(shí)，他有獲勝策略^假設(shè)甲面對(duì)好局面，他先取定兩個(gè)不相交的正方形和，其中都是白格，由于白格總數(shù)為奇數(shù)，可選取不在中的另一個(gè)白格，將它染為黑色，此時(shí)白格總數(shù)為偶數(shù)，且中仍然都是白格，因此變?yōu)橐粋€(gè)壞局面輪到乙面對(duì)壞局面，如果他染色后.仍有兩個(gè)不相交的正方形中都是白格，此時(shí)白格總數(shù)是奇數(shù)，又回到好局面；如果他染色后，不存在兩個(gè)不相交的正方形，注意到此時(shí)至少有一個(gè)全白格的正方形，設(shè)是所有全白格正方形，則它們兩兩相交，故必包含于*個(gè)的正方形，因此的中心方格是的公共格，這樣甲將染為黑色后，所有正方形中都含有黑格，于是甲獲勝.總之，當(dāng)*人面對(duì)好局面時(shí)，他可以在自己的下一回合獲勝或是仍面對(duì)好局面，而游戲必在有限步完畢，因此他有獲勝策略.由上述論證亦可知.當(dāng)*人面對(duì)壞局面時(shí)，他要么讓對(duì)方下一回合即可獲勝，要么留給對(duì)方好局面，因此對(duì)方有獲勝策略；在時(shí).由于四個(gè)角上的正方形互不相交，且一開場都是白格.因此當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，一幵始是好局面，甲有獲勝策略；當(dāng)是偶數(shù)時(shí).一開場是壞局面，乙有獲勝策略.5.九個(gè)正整數(shù)〔允許一樣〕滿足：對(duì)任意的，均存在與不同的，使得；求滿足上述要求的有序九元數(shù)組的個(gè)數(shù).5.對(duì)滿足條件的正整數(shù)組，將從小到大排列為.由條件，知分別存在及，使得.①注意到，.②結(jié)合式①，知結(jié)論②中的不等號(hào)均為等號(hào)于是，.因此，設(shè)，其中，.由條件，知使的的值只能為，即.③〔1〕當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，得到一組.〔2〕當(dāng)中恰有一個(gè)為時(shí)，記另一個(gè)為，由式③知.該條件也是充分的.此時(shí)，可以取這種不同值，且每個(gè)值對(duì)應(yīng)一組，進(jìn)而，對(duì)應(yīng)九組不同的，共有個(gè)數(shù)組.〔3〕當(dāng)時(shí)，由條件，知存在*個(gè)，使得，與式③比擬得，則必有.故.該條件也是充分的.此時(shí)，對(duì)，每個(gè)值對(duì)應(yīng)一組，進(jìn)而，對(duì)應(yīng)組不同的，共有個(gè)數(shù)組.綜上，知符合條件的數(shù)組個(gè)數(shù)為.6.如圖，在銳角中，點(diǎn)分別在邊上，線段與交于點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)。證明：為的垂心的充分必要條件是四點(diǎn)共圓且.6.如圖4，延長，與交于點(diǎn)，延長，與交于點(diǎn).充分性。由四點(diǎn)共圓知.又，從而，均為直角三角形.注意到，分別為斜邊的中點(diǎn).則故所以：.類似地，.因此，為的垂心.必要性.假設(shè)為的垂心，則.故類似地，，于是利用比例性質(zhì)及，知又因?yàn)闉榈拇剐?，所以，則所以：四點(diǎn)共圓。設(shè)四邊形的外心為易知，.從而，.類似地，.于是，四邊形為平行四邊形，即.過點(diǎn)作的平行線，與交于點(diǎn)注意到，為邊的中點(diǎn).則.由熟知的外心性質(zhì)，知為的垂心.因此，，即.7.設(shè)正整數(shù)，其中，為非負(fù)整數(shù)，為奇數(shù).證明：對(duì)任意正整數(shù)，方程①的整數(shù)解的個(gè)數(shù)能被整除.7.設(shè)方程①的解的個(gè)數(shù)為為方程①的一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，不妨設(shè)其中有個(gè)非零項(xiàng)注意到，的每個(gè)分量有正負(fù)兩種情形，恰對(duì)應(yīng)原方程的個(gè)整數(shù)解.設(shè)為該方程恰有個(gè)非零項(xiàng)的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，則.因?yàn)閭€(gè)非零項(xiàng)的非負(fù)整數(shù)解有種位置可選，所以，.于是，要證明，只需證明：注意到，.則分子中的因子個(gè)數(shù)至少為，而分母中的因子個(gè)數(shù)為其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)。故分母中的因子至多有個(gè).因此，，即.8.整數(shù).證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)，均有.①8.對(duì)用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，式①左邊.假設(shè)，則式①，命題成立；假設(shè)，則式①，命題成立.假設(shè)命題對(duì)所有正整數(shù)成立，考慮時(shí)的情形.對(duì)，記，定義.容易驗(yàn)證,記，并設(shè).當(dāng)時(shí)，式①左邊.由，且當(dāng)有所以：由均值不等式得式①左邊當(dāng)時(shí)，則式①左邊由歸納假設(shè)得：，所以：式①左邊當(dāng)時(shí)，結(jié)合時(shí)的證明得：式①左邊綜上，命題得證注：取知常數(shù)為最正確附：本屆邀請(qǐng)賽預(yù)選題1.如圖5，的外接圓為，為平分線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)〔點(diǎn)在線段上〕，與分別交于點(diǎn).證明：1.先證明一個(gè)引理引理如圖6，在圓中，三條弦共點(diǎn)于與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)與圓交于兩點(diǎn)。假設(shè)與圓分別交于點(diǎn)分別與交于點(diǎn)，則分別三點(diǎn)共線.證明：設(shè)與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)〔假設(shè)平行，設(shè)其交于無窮遠(yuǎn)處〕.對(duì)圓接六邊形，由帕斯卡定理，知三點(diǎn)共線.對(duì)圓接六邊形，由帕斯卡定理，知三點(diǎn)共線.于是，三點(diǎn)共線.從而，點(diǎn)與重合，此即三點(diǎn)共線.類似地，三點(diǎn)共線.引理得證.如圖7，延長分別與交于點(diǎn)，記分別與交于點(diǎn).由引理，知分別三點(diǎn)共線.聯(lián)結(jié).由為弧的中點(diǎn)四點(diǎn)共圓.2.為銳角的一點(diǎn)，關(guān)于邊的中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)為，的中點(diǎn)記為，類似定義點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)在邊、上的射影分別為.證明：與中心對(duì)稱.2.如圖8，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為.下面證明點(diǎn)與重合，即只需證明：點(diǎn)到的距離相等，點(diǎn)到的距離也相等.設(shè)點(diǎn)到所在的直線的距離為，即證，依題意得.于是，故延長至點(diǎn)，使得，則.又，從而，結(jié)合，知四邊形為矩形.故從而，，即點(diǎn)到的距離相等.類似地，點(diǎn)到的距離也相等.因此，點(diǎn)與重合.設(shè)的中點(diǎn)為，類似可得點(diǎn)與也重合.綜上，與中心對(duì)稱3.給定整數(shù).求最小的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意復(fù)數(shù)，均有3.當(dāng)時(shí)，取；當(dāng)時(shí)，取以上兩種情形均有.下面證明：對(duì)任意復(fù)數(shù)，均有事實(shí)上，對(duì)，由三角不等式對(duì)從到求和即得：綜上，所求最小的正實(shí)數(shù)為.4.設(shè)為正實(shí)數(shù)集，滿足：〔1〕，且對(duì)任意的，有.〔2〕存在的一個(gè)子集，使得中的數(shù)均能唯一表示成中假設(shè)干數(shù)〔允許一樣〕的乘積〔兩種寫法假設(shè)只有因子順序不同，則視為同一種〕.問：是否一定為正整數(shù)集？4.不一定.取{為整系數(shù)多項(xiàng)式，且對(duì)任意的有}.易知集合滿足條件〔1〕.接下來證明集合滿足條件〔2〕.取{在上不可約}.對(duì)集合中的任一元素，可以分解為首項(xiàng)系數(shù)為正的假設(shè)干不可約整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.則.由于沒有正實(shí)根，其任一因子均沒有正實(shí)根，且首項(xiàng)系數(shù)為正，于是，對(duì)所有的，均有.從而，.下面證明分解的唯一性.設(shè)則整系數(shù)多項(xiàng)式有根，但為超越數(shù)，故恒為，即，于是，由整系數(shù)多項(xiàng)式唯一分解定理，知為的排列。故為同一種分解。取，知.因此，不為正整數(shù)集.5.記為所有整數(shù)數(shù)列構(gòu)成的集合.求所有滿足：對(duì)任意，均有.5.，易驗(yàn)證這樣的符合條件.接