2022-2023學年山東省青島市萊西市高一年級下冊學期期末數學試題【含答案】

2022-2023學年山東省青島市萊西市高一下學期期末數學試題一、單選題1．對于下列四個命題：①滿足的復數只有、；②若、，且，則是純虛數；③復數的充要條件是；④在復平面內，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．其中真命題的個數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，可判斷①；取，可判斷②；設，由可求得的值，可判斷③；利用復平面的相關知識可判斷④.【詳解】對于①，由可得，解得，①錯；對于②，當時，則，此時，為實數，②錯；對于③，設，若，所以，復數的充要條件是，③對；對于④，在復平面內，軸叫做實軸，軸叫做虛軸，④對,所以，真命題的個數為.故選：C.2．若直線不平行于平面，且，則下列結論成立的是（

）A．內不存在與異面的直線 B．內存在與平行的直線C．內存在唯一一條直線與相交 D．內存在與垂直的直線【答案】D【分析】利用圖形判斷A選項；利用反證法可判斷B選項；設，取內所有過點的直線可判斷C選項；利用線面垂直的性質可判斷D選項.【詳解】因為直線不平行于平面，且，則直線與平面相交，對于B選項，若內存在與平行的直線，則，且，，則，與題設矛盾，B錯；對于A選項，如下圖所示：

設，設直線滿足，且，在平面內存在直線，使得，且，由A選項可知，與不平行，若，則、，且、，從而有，與題設矛盾，故與異面，即在平面內存在直線與直線異面，A錯；對于C選項，設，則平面內所有過點的直線均與直線相交，C錯；對于D選項，設，在直線上取異于點的一點，設點在平面內的射影為點，連接，

在平面內存在直線，使得，因為，，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，故內存在與垂直的直線，D對.故選：D.3．如果一組數據的中位數比平均數小很多，則下列敘述一定錯誤的是（

）A．數據中可能有異常值 B．這組數據是近似對稱的C．數據中可能有極端大的值 D．數據中眾數可能和中位數相同【答案】B【解析】根據中位數、平均數、眾數的定義說明．【詳解】中位數表示一組數據的一般水平，平均數表示一組數據的平均水平，如果這兩者差不多，說明數據分布較均勻，也可以看作近似對稱，但現(xiàn)在它們相關很大，說明其中有異常數據，有極端大的值，眾數是出現(xiàn)次數最多的數，可能不止一個，當然可以和中位數相同，因此只有B錯誤．故選：B．【點睛】本題考查樣本數據特征，掌握它們的概念是解題基礎．4．拋擲2枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面向上”，事件“第二枚硬幣反面向上”；下列結論正確的是（

）A． B．與互斥C．與相等 D．與是對立事件【答案】A【分析】根據事件發(fā)生的結果，仔細辨別對立事件、互斥事件和相等事件即可.【詳解】A選項，因為，所以，故A選項正確；B選項，事件與可以同時發(fā)生，所以與不是互斥事件，故B選項錯誤；C選項，事件與可以同時發(fā)生，也可能不同時發(fā)生，所以與不相等，故C選項錯誤；D選項，事件與可以同時發(fā)生，所以與不是對立事件，故D選項錯誤；故選：A.5．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上的所有點（

）A．向左平移個單位長度，然后把圖象上各點的坐標縱坐標伸長到原來的2倍B．向右平移個單位長度，然后再把圖象上各點的縱坐標縮短到原來的倍C．向左平移個單位長度，然后再把圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍D．向右平移個單位長度，然后再把圖象上每點的縱坐標縮短到原來的倍【答案】A【分析】用輔助角公式先把函數化為，再用三角函數的圖象變換法則即可求解.【詳解】因為，把的圖象上的所有點向左平移個單位長度后，得到的圖象，然后再把圖象上各點的坐標縱坐標伸長到原來的2倍即可得到的圖象.故選：A6．已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】設點P的坐標為，表示出，的坐標，由且P在直線上，故分或兩種情況討論，根據向量相等得到方程組，解得．【詳解】解：設點P的坐標為，，則，．由且點P在直線上，得或．∴或解得或∴點P的坐標為或．故選：【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬于基礎題.7．對于，若存在，滿足，則稱為“類三角形”．“類三角形”一定滿足．A．有一個內角為 B．有一個內角為C．有一個內角為 D．有一個內角為【答案】B【分析】由對稱性，不妨設和為銳角，結合同角三角函數關系進行化簡求值即可．【詳解】解：由對稱性，不妨設和為銳角，則A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數的化簡求值，注意新定義運算法則，誘導公式的應用，屬于中檔題．8．在三棱錐中，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，取的中點，明確其為外接球的球心，根據線面垂直的判定定理，分割三棱錐，利用其體積公式，求得半徑，結合球的體積公式，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：

設的中點為，的中點為，連接，因為，，，所以，所以.所以為三棱錐外接球的球心，設其半徑為，又，且，所以，，則，又由，，且，平面，則平面所以，解得，所以外接球的體積.故選：B.二、多選題9．已知復平面內表示復數：的點為，則下列結論中正確的為（

）A．若，則 B．若在直線上，則C．若為純虛數，則 D．若在第四象限，則【答案】CD【分析】根據復數的基本概念直接判斷選項即可.【詳解】對于A，若，則，得，故A錯誤；對于B，因為在直線上，所以，則，故B錯誤；對于C，若為純虛數，則，即，此時虛部不為0，故C正確；對于D，若在第四象限，則，解得，故D正確.故選：CD10．為調查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標的值．養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標的檢測數據進行整理，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．根據該頻率分布直方圖，對于這5000只家食血液樣本中的指標值，下列的敘述正確的為（

）

A．估計指標值的中位數為 B．估計A指標值的80%分位數為9C．估計A指標值的眾數為7.5 D．估計A指標值的第25百分位數為【答案】ABD【分析】根據題意，由頻率分布直方圖分別計算中位數，眾數以及百分位數即可得到結果.【詳解】由題意可知，，解得，因為，，所以中位數在之間，設中位數為，則，解得，故A正確；觀察頻率分布直方圖可得，的頻率最大，所以眾數為8，故C錯誤；由頻率分布直方圖可知，前兩組的頻率之和為，小于，所以第25百分位數位于第3組，則，故D正確；且前四組的頻率之和為，所以80%分位數為9，故B正確；故選：ABD11．一個袋子中有標號分別為、、、的四個球，除了標號外沒有其它差異，現(xiàn)采用不放回方式從中任意摸球兩次，設事件“第一次摸出球的標號小于”，事件“第二次摸出球的標號小于”，則下列選項正確的為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】列舉出所有的基本事件，確定每個選項中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各選項中事件的概率.【詳解】采用不放回方式從中任意摸球兩次，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，對于A選項，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，則，A錯；對于B選項，事件包含的基本事件有：：、、、、、、、、、，共種，則，B對；對于C選項，事件包含的基本事件有：、，共種，故，C對；對于D選項，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，故，D錯.故選：BC.12．三棱錐滿足下列兩個條件：①；②．若，記二面角的大小為，則下列選項中可以取到的為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】設，，，將三棱錐沿著、、剪開，然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內，延長、交于點，則四邊形為正方形，計算得出，在三棱錐中，過點在平面內作，連接，推導出，利用基本不等式計算的取值范圍，結合余弦函數的單調性可得出的范圍，即可得出合適的選項.【詳解】設，，，將三棱錐沿著、、剪開，然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內，如下圖所示，得五邊形，由題設知，，延長、交于點，則四邊形為正方形，且，，，在中，有，互，解得，在三棱錐中，過點在平面內作，連接，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，故為二面角的平面角，則，因為平面，平面，所以，，故，在中，，在中，，從而，而余弦函數在時單調遞減，所以，，故選：CD.【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質；（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.三、填空題13．若圓錐的底面半徑為，其側面展開圖的面積為，則該圓錐的高為.【答案】【分析】求出圓錐的母線長，利用勾股定理可求得該圓錐的高.【詳解】設該圓錐的母線長為，高為，圓錐的側面積為，可得，因此，該圓錐的高為.故答案為：.14．已知，則在上的投影向量的坐標為；【答案】【分析】根據題意，先由平面向量的坐標運算得到，然后由投影向量的定義，代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，則在上的投影向量的坐標為：.故答案為：.15．甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中任想一個數字，記為，再由乙猜甲剛才想的數字把乙猜的數字記為，且，，若，則稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，得出他們”心有靈犀”的概率為．【答案】【分析】由題意知是古典概型，從0~9中任意取兩個數共有100種取法，列出滿足所有可能情況，代入公式得到結果．【詳解】由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是從，，，，，，，，，十個數中任取兩個共有種不同的結果，則的情況有；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；共種情況，他們”心有靈犀”的概率為．故答案為：．16．設銳角三角形的內角所對的邊分別為，，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由正弦定理及有，所以,則，由已知有，所以．點睛：本題主要考查了正弦定理，兩角差正弦公式以及兩角和正弦公式的逆用，屬于中檔題．本題關鍵是靈活運用這些公式．四、解答題17．已知復數和滿足：，若，求和．【答案】答案見解析【分析】由可得，代入化簡，然后設代入上式化簡，再利用復數相等的條件列方程組可求得結果.【詳解】解：由可得：，將其代入可得：，設，則，化簡得，∴解之得：或，或

當時，；當時，．18．試分別解答下列兩個小題：(1)設和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，記事件“方程沒有實根”，事件“方程有且僅有一個實根”，求．(2)甲、乙、丙三位同學各自獨立地解決同一個問題，已知這三位同學能夠正確解決這個問題的概率分別為，記“三人中只有一個人正確解決了這個問題”，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）用古典概型的概率公式分別算出和，進而可得結果；（2）分別計算出只有甲、乙、丙正確解決這個問題的概率，從而可得.【詳解】（1）設樣本空間為，則，樣本點的個數為36個，，為滿足，必須：當時，；當時，；當時，；當時，.中樣本點的個數為17個，，

，為滿足，必須：當時，；當時，，中樣本點的個數為2個，

（2）∵這三位同學能夠正確解決這個問題的概率分別為，∴僅甲同學單獨解決了這個問題的概率為：

僅乙同學單獨解決了這個問題的概率為：

僅丙同學單獨解決了這個問題的概率為：

19．如圖，在三棱錐中，作平面，垂足為，連接并延長交棱于點為棱上的一點，若，二面角的大小與相等，求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】連接，推出平面，，得為二面角的平面角，根據推出，再根據線面垂直的判定可得平面.【詳解】連接，平面，平面，，，平面，平面，因為平面，，因為平面，又，為二面角的平面角，，平面平面，又，，，從而，平面平面

20．試分別解答下列兩個小題：(1)已知向量和都是非零向量，且與垂直，與垂直，記向量與的夾角為，求．(2)在中，內角的對邊分別為，若．試將表示成關于的表達式，并求出的取值范圍．【答案】(1)(2)；【分析】（1）由已知可得，解得，然后利用向量的夾角公式求解出，再利用兩角差的正切公式可求得結果；（2）利用數量積的定義結合余弦定理可得，再利用基本不等式求出的范圍，從而可求得的取值范圍．【詳解】（1）因為與垂直，與垂直，所以，，解得，所以，因為，所以，所以，（2）因為，所以，因為所以

所以，因為，，，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以所以21．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，平面，且為的中點．

(1)求證：；(2)設平面平面與直線所成的角為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作交于，連接，然后利用三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形為平行四邊形，則，由已知線面垂直可得，從而可證得結論；（2）延長和交于點，連接和，則可得與重合，證得，從而可得為與直線所成的角，進而可求得結果.【詳解】（1）過作交于，連接，

為的中點，為的中點，，且，∴四邊形為平行四邊形，

平面，面，，∴

（2）延長和交于點，連接和，∵平面平面，與重合，，∴∽，從而，∵四邊形是正方形，，從而為平行四邊形，

由（1）可知，，為與直線所成的角，即，