新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.7拋物線及其方程2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教B版選擇性必修第一冊

第二章2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念,明確p的幾何意義;2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo),能根據(jù)條件求標(biāo)準(zhǔn)方程;3.能用拋物線方程解決一些相關(guān)實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1拋物線的定義定點F

定直線l過關(guān)自診1.定義中為什么加上條件“l(fā)不過F”?解

若點F在直線l上,滿足條件的動點P的軌跡是過點F且垂直于l的直線,而不是拋物線.2.[北師大版教材習(xí)題]如圖,動圓P過定點A,且與定直線l相切,請指出圓心P的軌跡是什么,并說明理由.解

圓心P的軌跡是以A為焦點,以l為準(zhǔn)線的拋物線,理由是點P到定點A與到定直線l(不過點A)的距離相等,符合拋物線的定義.知識點2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是p.(

)(2)拋物線的開口方向由一次項確定.(

)2.拋物線的準(zhǔn)線為直線x=-4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x2=16y B.x2=8yC.y2=16x D.y2=8x√√C3.[人教A版教材習(xí)題改編]拋物線x2=y的焦點坐標(biāo)是

,準(zhǔn)線方程是

.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是拋物線,那么拋物線對應(yīng)的方程一定是二次函數(shù)嗎?解

拋物線對應(yīng)的方程不一定是二次函數(shù).如y2=4x是拋物線,但不是函數(shù),更不是二次函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過點(-3,-1);解

因為點(-3,-1)在第三象限,所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0),

(2)焦點為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點.規(guī)律方法

1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

2.注意事項:當(dāng)拋物線的類型沒有確定時,可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可以減少討論情況的個數(shù).變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為y=-;(2)焦點在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6.解

(1)x2=6y;(2)y2=12x或y2=-12x.探究點二拋物線定義的應(yīng)用【例2】

(1)已知拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,又有點A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此時P點坐標(biāo).(2)平面上動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,求動點P的軌跡方程.(方法二)由題意,動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,由于點F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1,則當(dāng)x<0時,直線y=0(x<0)上的點適合條件;當(dāng)x≥0時,可以看作是點P到點F(1,0)與到直線x=-1的距離相等,故點P在以點F為焦點,直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,其軌跡方程為y2=4x(x≥0).變式探究若將例2(1)中的點A(3,2)改為點(0,2),求點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值.規(guī)律方法

1.拋物線的定義在解題中的作用,就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化,另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用,如兩點之間線段最短,三角形中三邊間的不等關(guān)系,點與直線上點的連線垂線段最短等.2.解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題,既可以用軌跡法直接求解,也可以先將條件轉(zhuǎn)化,再利用拋物線的定義求解.后者的關(guān)鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件,有時需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件.變式訓(xùn)練2(1)已知動圓M與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,求動圓圓心M的軌跡方程.解

設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r,由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.由拋物線的定義可知,動圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點,以直線y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線,其方程為x2=-12y.(2)[北師大版教材例題]已知拋物線y2=4x上的點P到焦點F的距離為5,求點P的坐標(biāo).解

(方法一)由拋物線方程y2=4x,可得焦點F(1,0).所以點P的坐標(biāo)為(4,4)或(4,-4).(方法二)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由點P(x0,y0)在拋物線y2=4x上,得

=4x0.由拋物線方程y2=4x,可得其準(zhǔn)線方程為x=-1.由點P到焦點F的距離為5可知,點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離也為5,即x0-(-1)=5,解得x0=4.將x0=4代入y2=4x,得

=16,即y0=±4.所以點P的坐標(biāo)為(4,4)或(4,-4).探究點三拋物線的實際應(yīng)用【例3】

河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時,水面寬為8m,一小船寬4m,高2m,載貨后船露出水面上的部分高0.75m,問:水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少時,小船開始不能通航?解

如圖,以拱橋的拱頂為原點,以過拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時,船開始不能通航,設(shè)此時船面寬為AA',則

又知船露出水面上的部分高為0.75

m,所以h=|yA|+0.75=2(m),所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2

m時,小船開始不能通航.規(guī)律方法

首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵.此問題中拱橋是拋物線型,因此可考慮利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題,其操作步驟可概括為:(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)假設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)計算:通過計算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(4)求解:求出需要求出的量;(5)還原:還原到實際問題中,從而解決實際問題.變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]如圖,吊車梁的魚腹部分AOB是拋物線的一段,寬為7m,高為0.7m.根據(jù)圖中的坐標(biāo)系,求這條拋物線的方程.解

設(shè)所求拋物線的方程為x2=2py(p>0),依題意,知點B(3.5,0.7)在拋物線上,將點B的坐標(biāo)代入方程x2=2py,得3.52=2p×0.7,解得2p=17.5,∴所求拋物線的方程為x2=17.5y.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.若動點P到定點F(-4,0)的距離與到直線x=4的距離相等,則P點的軌跡是(

)A.拋物線 B.線段 C.直線

D.射線6A123452.已知點P到點F(0,1)的距離比它到直線l:y+2=0的距離小1,則點P的軌跡方程為(

)A.x2=-4y B.x2=4yC.y2=-4x D.y2=4x6B解析

由題意,點P到點F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,則點P的軌跡是以F為焦點,直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,則點P的軌跡方程為x2=4y,故選B.123453.一拋物線型拱橋,當(dāng)水面離拱頂2m時,水面寬2m,若水面下降4m,則水面寬度為(

)6B解析如圖所示,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p>0).∵當(dāng)水面離拱頂2

m時,水面寬2

m,則B(1,-2),123454.拋物線y2=-2x的準(zhǔn)線方程為

.

6解析

由拋物線方程可得p=1,開口向左,則準(zhǔn)線方程為x=.123455.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是

.

62解析

如圖所示,動點P到l2:x=-1的距離可轉(zhuǎn)化為到點F的距離,由圖可知,距離和的最小值,即F到直線l1的距離d=