新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列培優(yōu)課1等差數(shù)列習(xí)題課分層作業(yè)課件新人教B版選擇性必修第三冊

第五章培優(yōu)課?等差數(shù)列習(xí)題課A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.[探究點一]在等差數(shù)列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,則n的值為(

)A.50 B.49

C.56

D.51C12345678910111213141516172.[探究點一·2023河南鄭州高三階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,a5=10,且a4a6=96,則其公差為(

)A.-2 B.2

C.-2或2 D.4B解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題可知d>0.∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),∴等差數(shù)列{an}的公差為2.故選B.12345678910111213141516173.[探究點四]設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯誤的是(

)A.d<0B.a7=0C.S9>S6D.S6與S7均為Sn的最大值C解析

由于S5<S6,S6=S7>S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a8<0,所以d<0,S6與S7均為Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,所以S9<S6,所以C選項錯誤.故選C.12345678910111213141516174.[探究點一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一天多走d千米,九天他一共行走了1260千米,求d的值.關(guān)于該問題,下列結(jié)論錯誤的是(

)A.d=15B.此人第二天行走了110千米C.此人前七天共行走了910千米D.此人前八天共行走了1080千米A1234567891011121314151617解析

設(shè)此人第n(n∈N+)天走an千米,則數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,12345678910111213141516175.[探究點一]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

25解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1,∴S10=10a1+d=-20+45=25.12345678910111213141516176.[探究點四]在等差數(shù)列{an}中,若a1<0,Sn為其前n項之和,且S7=S17,則當(dāng)Sn為最小時,n的值為

.

12解析

由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,又a1<0,從而a12<0,a13>0,故Sn的最小值為S12.12345678910111213141516177.[探究點四·2023福建福州第一中學(xué)高二期末]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S35<0,S36>0,若對任意正整數(shù)n,都有Sn≥Sk,則整數(shù)k=

.

18于是數(shù)列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是遞增數(shù)列,其前18項均為負數(shù),從第19項起為正數(shù),因此Sn的最小值為S18,所以對任意正整數(shù)n,都有Sn≥S18,所以k=18.12345678910111213141516178.[探究點三]“等和數(shù)列”的定義:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列稱為等和數(shù)列,這個常數(shù)稱為該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,則a18的值為

.

3解析

由題意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴當(dāng)n為偶數(shù)時,an=3;當(dāng)n為奇數(shù)時,an=2,∴a18=3.12345678910111213141516179.[探究點一]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為

.

3n2-2n解析

數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù).顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)項均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項,這些項從小到大排列組成的新數(shù)列{an}為以1為首項,6為公差的等差數(shù)列,所以{an}的前n項和為123456789101112131415161710.[探究點四]數(shù)列{an}是首項為23,公差為-4的等差數(shù)列.(1)當(dāng)an>0時,求n的取值范圍;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值.解(1)由題可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,又n是正整數(shù),∴n的取值范圍是{1,2,3,4,5,6}.(2)由(1)知n≤6時an為正數(shù),n≥7時an為負數(shù),所以Sn的最大值為

123456789101112131415161711.[探究點二·2023安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn=n2(n+1)+1.求:(1)a1,a2;(2)數(shù)列{an}的通項公式.解

(1)因為Sn=n2(n+1)+1,令n=1,可得a1=S1=1×2+1=3,令n=2,可得a1+a2=S2=22×(2+1)+1,解得a2=10.(2)因為Sn=n2(n+1)+1,則當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=[n2(n+1)+1]-[(n-1)2n+1]=3n2-n,且由(1)知,a1=3不滿足上式,1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練12.(多選題)[2023山東菏澤高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則下列說法正確的是(

)A.an+1=an+dB.數(shù)列{-an}是等差數(shù)列D.2an+1=an+an+2ABD1234567891011121314151617解析

因為數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,所以an+1-an=d,即an+1=an+d,所以A正確;因為an+1-an=d,所以(-an+1)-(-an)=-d,所以數(shù)列{-an}是等差數(shù)列,故B正確;確;由題可知an+1是an與an+2的等差中項,所以2an+1=an+an+2,故D正確.故選ABD.123456789101112131415161713.已知數(shù)列{an}的前n項和

(n∈N+),則下列結(jié)論正確的是(

)A.數(shù)列{an}是等差數(shù)列B.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列C.a1,a5,a9成等差數(shù)列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列D12345678910111213141516171234567891011121314151617∴S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列.故選D.123456789101112131415161714.[2023江蘇南通高二期末]如圖的形狀被稱為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球……設(shè)各層(從上往下)151234567891011121314151617123456789101112131415161715.已知在等差數(shù)列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n項和為Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值時n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.∵a16+a17+a18=a9=-18,1234567891011121314151617故當(dāng)n=20或21時,Sn取最小值,最小值為S20=S21=-315.123456789101112131415161716.已知各項都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項和為60,且滿足

=a1a21.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an,且b1=3,求數(shù)列

的前n項和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則an=2n+3.1234567891011121314151617(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2