高等數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)的概念

引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系求導(dǎo)舉例小結(jié)思考題作業(yè)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念(derivative)第二章導(dǎo)數(shù)與微分1例1直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知路程s與時(shí)間t的試確定t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).

這段時(shí)間內(nèi)的平均速度在每個(gè)時(shí)刻的速度.導(dǎo)數(shù)的概念解若運(yùn)動(dòng)是勻速的,平均速度就等于質(zhì)點(diǎn)一、引例關(guān)系質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程,00tttD+?從時(shí)刻2此式既是它的定義式,又指明了它的計(jì)算它越近似的定義為并稱(chēng)之為t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).瞬時(shí)速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率.導(dǎo)數(shù)的概念若運(yùn)動(dòng)是非勻速的,平均速度是這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值,

越小,表明t0時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢.因此,人們把t0時(shí)的速度注方法,0lim?Dt3例2割線的極限位置——對(duì)于一般曲線如何定義其切線呢?導(dǎo)數(shù)的概念曲線的切線斜率問(wèn)題若已知平面曲線如何作過(guò)的切線呢.

初等數(shù)學(xué)中并沒(méi)有給出曲線切線的定義.過(guò)該點(diǎn)的切線.我們知道與圓周有唯一交點(diǎn)的直線即為圓周但此定義不適應(yīng)其它曲線.如與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線不一定是切線.切線位置.?曲線上點(diǎn)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1629年提出了如下的定義和求法,P.deFermat1601-1665從而圓滿地解決了這個(gè)問(wèn)題.4處切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的概念已知曲線的方程確定點(diǎn)

如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,極限位置即C在點(diǎn)M處的切線.如圖,5導(dǎo)數(shù)的概念割線MN的斜率為切線MT的斜率為0limxx?6

就其實(shí)際意義來(lái)說(shuō)各不相同,關(guān)系上確有如下的共性:但在數(shù)量1.在問(wèn)題提法上,都是已知一個(gè)函數(shù)求y關(guān)于x在x0處的變化率.2.計(jì)算方法上,(1)當(dāng)y隨x均勻變化時(shí),用除法.(2)當(dāng)變化是非均勻的時(shí),需作平均變化率的

在現(xiàn)實(shí)生活中,凡涉及變化率的問(wèn)題,其精確描述和計(jì)算都離不開(kāi)此式所規(guī)定的這一運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)的概念上述兩例,分別屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)中的問(wèn)題,極限運(yùn)算:7定義導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)與自平均變化率.二、導(dǎo)數(shù)的定義8中的任何一個(gè)表示,導(dǎo)數(shù)的概念存在,如平均變化率的極限:或函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率(derivative)或有導(dǎo)數(shù).可用下列記號(hào)則稱(chēng)此極限值為9處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.特別當(dāng)(1)式的極限為有時(shí)也說(shuō)在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù))無(wú)注要注意導(dǎo)數(shù)定義可以寫(xiě)成多種形式:導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)極限(1)式不存在時(shí),就說(shuō)函數(shù)f(x)在x0在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計(jì)算時(shí),正(負(fù))無(wú)窮時(shí),窮大,但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在.10關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明或如果x0=0,可以寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)的概念特別是,(1)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率,它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(2)如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱(chēng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).11注導(dǎo)數(shù)的概念記作即或(3)對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).12導(dǎo)數(shù)的概念例用導(dǎo)數(shù)表示下列極限解練習(xí)解hxfhxfxfh)()(lim)(0000-+=￠?13右導(dǎo)數(shù)4.單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念又分別可以解釋為曲線

點(diǎn)的左切線的斜率與右切線的斜率.從幾何上(leftderivative)(rightderivative)14導(dǎo)數(shù)的概念處的可導(dǎo)性.此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),都存在,15例解三、求導(dǎo)舉例(幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

導(dǎo)數(shù)的概念

步驟

即

導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念,也提供了計(jì)算方法.因而它也屬于雙重意義的定義.16例解導(dǎo)數(shù)的概念即同理可得自己練習(xí)17例解更一般地如導(dǎo)數(shù)的概念即18例解導(dǎo)數(shù)的概念即19例解導(dǎo)數(shù)的概念即20例解導(dǎo)數(shù)的概念即211.幾何意義特別地:導(dǎo)數(shù)的概念即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義22導(dǎo)數(shù)的概念23例解得切線斜率為所求切線方程為法線方程為導(dǎo)數(shù)的概念由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即即242.物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度;電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度;為物體的線(面,體)密度.導(dǎo)數(shù)的概念變速直線運(yùn)動(dòng)交流電路非均勻的物體質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)25該點(diǎn)必連續(xù).證導(dǎo)數(shù)的概念定理如果函數(shù)則函數(shù)在五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)x處可導(dǎo),即函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系所以,26如,該定理的逆定理不一定成立.注導(dǎo)數(shù)的概念連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,不是可導(dǎo)的充分條件.27例解導(dǎo)數(shù)的概念28練習(xí)為了使f(x)在x0處可導(dǎo),

導(dǎo)數(shù)的概念解首先函數(shù)必須在x0處連續(xù).由于故應(yīng)有又因應(yīng)如何選取a,b?29導(dǎo)數(shù)的概念從而,當(dāng)

f(x)在x0處可導(dǎo).應(yīng)如何選取a,b?為了使f(x)在x0處可導(dǎo),

30導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);

求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.導(dǎo)數(shù)的概念六、小結(jié)31思考題(是非題)導(dǎo)數(shù)的概念非可導(dǎo);但不可導(dǎo).非但不可導(dǎo).32導(dǎo)數(shù)的概念作業(yè)習(xí)題2-1(85頁(yè))

1.3.4.6.7.(1)(3)(5)(7)9.11.13.14.15.17.18.33函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則小結(jié)思考題作業(yè)第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章導(dǎo)數(shù)與微分反函數(shù)的求導(dǎo)法則基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則34定理1并且則它們的線性組合、積、商在點(diǎn)x處也可導(dǎo),函數(shù)的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則=￠ú?ùê?é)()()3(xvxu35證則由導(dǎo)數(shù)的定義有函數(shù)的求導(dǎo)法則),()()(xvxuxfba+=設(shè)hxvxuhxvhxuh)]()([)]()([lim0baba+-+++=?)]()([xuhxu-+a)]()([xvhxv-+b36證由乘積的導(dǎo)數(shù):得故特別即函數(shù)的求導(dǎo)法則37推論且函數(shù)的求導(dǎo)法則38例解例解函數(shù)的求導(dǎo)法則39例解同理可得即函數(shù)的求導(dǎo)法則40例解同理可得即函數(shù)的求導(dǎo)法則xxxcotcsc)(csc×-=￠41練習(xí)解法一法二注在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算中,且也能提高結(jié)果的準(zhǔn)這樣使求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單,盡量先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),確性.函數(shù)的求導(dǎo)法則42函數(shù)的求導(dǎo)法則?用求導(dǎo)法則與用定義求導(dǎo)數(shù)時(shí),結(jié)果有時(shí)不一致,這是為什么?如已知無(wú)意義,解所以,不存在.上述解法有問(wèn)題嗎?注意問(wèn)題出在不連續(xù).因此可能在不連續(xù)點(diǎn)處不代表該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.用定義!43或

第一章第九節(jié)定理2:

單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理2且函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則證連續(xù),故從而有因

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).44例解同理可得函數(shù)的求導(dǎo)法則單調(diào)、可導(dǎo),直接函數(shù)

反函數(shù)

內(nèi)在ú?ùê?é-?2,2ppyI.11)cotarc(2xx+-=￠45注如果利用三角學(xué)中的公式:也可得公式也可得公式函數(shù)的求導(dǎo)法則46例解特別地函數(shù)的求導(dǎo)法則47定理3

鏈導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).,)(可導(dǎo)在點(diǎn)如果函數(shù)xxgu=,)(可導(dǎo)在點(diǎn)xgu=xxgfy在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù))]([=48證函數(shù)的求導(dǎo)法則規(guī)定可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo),定理349推廣例解函數(shù)的求導(dǎo)法則×uydd×vudd.ddxvxudd50例解例解函數(shù)的求導(dǎo)法則22212xax-×+2222xax--2222xaa-+51例解例解函數(shù)的求導(dǎo)法則52因?yàn)樗院瘮?shù)的求導(dǎo)法則的情形證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1)(-=￠mmmxx531.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式課本第93頁(yè)函數(shù)的求導(dǎo)法則542.函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則都可導(dǎo),則3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則或且,)()1(vuvu￠+￠=￠+baba.)()2(vuvuvu￠+￠=￠×).0()3(21￠-￠=￠÷???è?vvvuvuvu554.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).注函數(shù)的求導(dǎo)法則

利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決.56函數(shù)的求導(dǎo)法則證明下列雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:例證x2ch=xxx222chshch-=x2ch1=,ch1)th(2xx=￠,11)arsh(2xx+=￠,11)arch(2-=￠xx.11)arth(2xx-=￠57函數(shù)的求導(dǎo)法則證58例解函數(shù)的求導(dǎo)法則59例解函數(shù)的求導(dǎo)法則60例解函數(shù)的求導(dǎo)法則61例解所以函數(shù)的求導(dǎo)法則62例解函數(shù)的求導(dǎo)法則63例證函數(shù)的求導(dǎo)法則由于斜率相等,知二切線平行.(1)求交點(diǎn)分別為曲線在A,B點(diǎn)的切線斜率.(2)求導(dǎo)數(shù)作的曲線的切線彼此平行.64練習(xí)解'函數(shù)的求導(dǎo)法則.1sinarctan的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)÷???è?-=xexy65解注則練習(xí)函數(shù)的求導(dǎo)法則上式中是函數(shù)f對(duì)括號(hào)中的中間變量求導(dǎo),?66解練習(xí)函數(shù)的求導(dǎo)法則

分析

這是抽象函數(shù)與具體函數(shù)相結(jié)合的導(dǎo)數(shù),

綜合運(yùn)用函數(shù)線性組合、積、商求導(dǎo)法則以及

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.67答案練習(xí)函數(shù)的求導(dǎo)法則練習(xí)解),()()(,)(xaxxfaxxjj-==處連續(xù)在若).(af￠求68(注意成立條件);復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則五、小結(jié)不能遺漏);(對(duì)于復(fù)合函數(shù),反函數(shù)的求導(dǎo)法則層的復(fù)合結(jié)構(gòu),注意一層函數(shù)的積、商求導(dǎo)法則注意記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式69思考題(是非題)非例如處處可導(dǎo),處不可導(dǎo),但復(fù)合函數(shù)處處可導(dǎo).函數(shù)的求導(dǎo)法則70作業(yè)習(xí)題2-2(96頁(yè))6.(2)(4)(6)(8)(10)7.(1)(3)(5)(8)(10)函數(shù)的求導(dǎo)法則2.(1)(6)(9)(10)3.(3)4.5.

補(bǔ)充8.(8)(9)(10)10.71高階導(dǎo)數(shù)的定義萊布尼茨(Leibniz)公式小結(jié)思考題作業(yè)第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)72問(wèn)題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義高階導(dǎo)數(shù)也是由實(shí)際需要而引入的.這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)'存在,二階導(dǎo)數(shù).''記作73三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).高階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù),四階導(dǎo)數(shù),n階導(dǎo)數(shù),記作一般地,74例解

由高階導(dǎo)數(shù)的定義,欲求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),只需按求導(dǎo)法則和基本公式一階階的算下去,而不需要新的方法.高階導(dǎo)數(shù)75例解高階導(dǎo)數(shù)二、幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)則76高階導(dǎo)數(shù)例解例解77例解同理可得即高階導(dǎo)數(shù)78求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),關(guān)鍵要尋找規(guī)律,注另外在的規(guī)律性,寫(xiě)出n階導(dǎo)數(shù).高階導(dǎo)數(shù)便可看出規(guī)律;一般求至三階,求導(dǎo)過(guò)程中不要急于合并,分析結(jié)果79例解高階導(dǎo)數(shù)22)1(1)2(1-----=￠xxy80

求n階導(dǎo)數(shù)需要運(yùn)用技巧幾個(gè)常用高階導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式,使問(wèn)題簡(jiǎn)化.盡可能化為求某些熟知高階導(dǎo)數(shù)(通過(guò)四則運(yùn)算,

變量代換,恒等變形)81例解若直接求導(dǎo),將是很復(fù)雜的,且不易找出規(guī)律,所以將式子恒等變形.高階導(dǎo)數(shù)82高階導(dǎo)數(shù)例解

分析此函數(shù)是6次多項(xiàng)式,故不需將函數(shù)因式全乘出來(lái).因?yàn)槠渲袨閤的6次多項(xiàng)式,故又是求6階導(dǎo)數(shù),83萊布尼茲公式用此公式可以簡(jiǎn)便地求出乘積的高階導(dǎo)數(shù)可類(lèi)比著牛頓二項(xiàng)公式加強(qiáng)記憶高階導(dǎo)數(shù)則萊布尼茲(Leibniz,1646—1727)德國(guó)數(shù)學(xué)家.二、萊布尼茲公式84例解高階導(dǎo)數(shù)則由萊布尼茲公式知設(shè),sinxu=,2xv=85練習(xí)提示經(jīng)上面這樣變形后再求n階導(dǎo)數(shù),就方便多了.高階導(dǎo)數(shù))1ln()1ln(xx--+86高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;萊布尼茲公式.高階導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式(希熟記);

87解答可導(dǎo)不一定存在,

用定義高階導(dǎo)數(shù)思考題88作業(yè)習(xí)題2-3(101頁(yè))

1.(4)(6)(10)2.3.(2)4.7.8.9.(1)(3)高階導(dǎo)數(shù)89第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率第二章導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率小結(jié)思考題作業(yè)90定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率稱(chēng)為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱(chēng)為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例開(kāi)普勒方程開(kāi)普勒(J.Kepler)1571-1630德國(guó)數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無(wú)法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.912.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率隱函數(shù)求導(dǎo)法則

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)92例解則得恒等式代入方程,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率將此恒等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得因?yàn)閥是x的函數(shù),

是x的復(fù)合函數(shù),所以求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,93

雖然隱函數(shù)沒(méi)解出來(lái),但它的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來(lái)說(shuō),隱函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),94隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率例解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得解出得法二從原方程中解出得95隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率先求x對(duì)y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得96例解切線方程法線方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率通過(guò)原點(diǎn).97例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率將上面方程兩邊再對(duì)98或解解得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率23)4(xy-)112(2-￠×yy99隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率利用隱函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)證明曲線族的正交問(wèn)題.如果兩條曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直,正交軌線.稱(chēng)這兩條曲線是正交的.如果一個(gè)曲線族中的每條曲線與另一個(gè)曲線族中的所有與它相交的曲線均正交,稱(chēng)這是正交的兩個(gè)曲線族或互為正交曲線族在很多物理現(xiàn)象中出現(xiàn),例如,靜電場(chǎng)中的電力線與等電位線正交,熱力學(xué)中的等溫線與熱流線正交,等等.100練習(xí)證即證.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率兩條曲線在該點(diǎn)的現(xiàn)只須證明切線斜率互為負(fù)倒數(shù).,)2,2(是兩曲線的交點(diǎn)易驗(yàn)證點(diǎn)101隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率練習(xí)2002年考研數(shù)學(xué)一,3分解確定,1023.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開(kāi)方的函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡(jiǎn)單.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率

適用于方法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).103例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得

隱函數(shù)104兩邊對(duì)x求導(dǎo)得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得105例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得106注復(fù)合函數(shù)改寫(xiě)成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化為:再求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率107例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率108有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率109練習(xí)解答隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)110解答隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率111二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?(parametricequation)參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率

稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

消參數(shù)困難或無(wú)法消參數(shù)如何求導(dǎo).消去參數(shù),間的函數(shù)關(guān)系與確定xy112所以,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得113例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率114

所求切線方程為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率115例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率可由切線的斜率來(lái)反映.即116隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率117隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率118設(shè)由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對(duì)t求導(dǎo),得故隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率例解?íìtydd)1(2+t=tydd119若曲線由極坐標(biāo)方程給出,利用可化為極角參數(shù)方程,因此曲線隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率切線的斜率為120例解將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率故法線方程為即參數(shù)方程

這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助參數(shù)方程處理問(wèn)題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將多次遇到.121隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率122如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對(duì)求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率123例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率124練習(xí)解得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率1dd0-==tty=+-=-)1(ddteexytyttey+--1125為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率之間的關(guān)系式

代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)126例解(1)(2)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率仰角增加率(3),1tan,500==a時(shí)當(dāng)haa22tan1sec+=500127當(dāng)氣球升至500m時(shí),有一觀測(cè)者以的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái),當(dāng)距離500m時(shí),仰角的增加率是多少?提示對(duì)t求導(dǎo)求隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率思考128水面例解橋面20mxy(1)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經(jīng)5s后,人與小船相分離的速度.對(duì)t求導(dǎo)(2)(3),my船航行距離為.34dd=ty129練習(xí)設(shè)自開(kāi)始充氣以來(lái)的時(shí)間t,解體積為在t時(shí)刻氣體的半徑為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率130隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)注意:變量y是x的函數(shù).將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.相關(guān)變化率通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)變化率之間的解法:

三個(gè)步驟.關(guān)系,從其中一個(gè)變化率(已知)求出一個(gè)變化率;131思考題(是非題)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率正確解答試問(wèn)對(duì)嗎?非132作業(yè)習(xí)題2-4(110頁(yè))

1.(3)2.3.(3)(4)4.(2)(4)5.(1)7.(2)8.(1)(4)9.(2)10.12.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率133微分的定義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則小結(jié)思考題作業(yè)第五節(jié)函數(shù)的微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分(differential)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用134函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)與微分表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度.是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化所引起的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系.135正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.1.問(wèn)題的引出函數(shù)的微分實(shí)例線性函數(shù)(linearfunction)一、微分的定義的線性(一次)函數(shù),很小時(shí)可忽略.的高階無(wú)窮小,136再如,既容易計(jì)算又是較好的近似值函數(shù)的微分137?一定條件,線性函數(shù),

對(duì)一般函數(shù)則無(wú)論在理論分析上還是在實(shí)際函數(shù)的微分則函數(shù)的增量可以表示為

如果存在這樣的近似公式,應(yīng)用中都是十分重要的.138定義2.微分的定義如果則稱(chēng)函數(shù)可微(differentiable),A為微分系數(shù)函數(shù)的微分記作微分(differential),并稱(chēng)為函數(shù))(xoxAD+D×139定理證(1)必要性3.可微的充分必要條件即有函數(shù)的微分

滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？

微分的系數(shù)A如何確定呢?

微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢?下面的定理回答了這些問(wèn)題.140(2)充分性

求導(dǎo)法又叫微分法函數(shù)的微分從而其微分一定是定理即有)0,0(??Dax141注

微分的實(shí)質(zhì)

第一章第七節(jié)定理1(58頁(yè))函數(shù)的微分

線性函數(shù),

線性主部.

主部,

所以在

條件下,

的條件下,

近似代替增量

其誤差為因此,有精確度較好的近似等式

結(jié)論在142導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為微商函數(shù)的微分

稱(chēng)為函數(shù)的微分,記作稱(chēng)為自變量的微分,記作注,)()2(的微分在任意點(diǎn)函數(shù)xxfy=143例解函數(shù)的微分144幾何意義(如圖)二、微分的幾何意義函數(shù)的微分對(duì)應(yīng)的增量,增量時(shí);是曲線的縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)145求法1.基本微分公式三、微分公式與運(yùn)算法則函數(shù)的微分計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1462.運(yùn)算法則函數(shù)的微分147例解例解函數(shù)的微分148結(jié)論微分形式的不變性3.復(fù)合函數(shù)的微分法此結(jié)論用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),有時(shí)能簡(jiǎn)化運(yùn)算.函數(shù)的微分無(wú)論x是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分形式總是149例解法一用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式法二

用微分形式不變性

在計(jì)算中也可以不寫(xiě)中間變量,直接利用微分形式不變性.函數(shù)的微分150例例解函數(shù)的微分1