湖北省黃石市黃石港區(qū)教研協(xié)作體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（10月份） （月考）

湖北省黃石市黃石港區(qū)教研協(xié)作體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（10月份）（解析版）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝2x2﹣3x3+1 D．2．（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽．在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是（）A． B． C． D．3．（3分）電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，平均增長率記作x，方程可以列為（）A．2.05（1+2x）＝10.53 B．2.05（1+x）2＝10.53 C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53 D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.534．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB'＝CB'，則∠C'的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．24° D．28°5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（2，3），則P'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）7．（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB＝4cm，最低點C在x軸上，BD＝2cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（）A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）28．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，連接BE，將AC平移得到DF（點A、C的對應(yīng)點分別為點D、F），若AB＝3，BD＝2則AF的長為（）A． B．6 C． D．9．（3分）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，則（）A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2，10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）（﹣4，0）與（﹣3，0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為D對稱軸是直線x=-2．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①abc＜0；②；③；④若三點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函數(shù)圖象上，則y3＞y2＞y1；⑤若a＝﹣1，則△ABD是等邊三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．12．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為．13．（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）2，則小球從飛出到落地所用的時間為s．14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，AE交CD于點H，則AH的長為．15．（3分）實數(shù)a、b滿足a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，則＝．16．（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，AB＝4，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD則AD的最大值是．三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）x（x﹣2）+x﹣2＝018．（8分）如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OC，∠AOB＝150°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系19．（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（1）將△ABC向右平移6個單位長度得到△A1B1C1請畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點O的中心對稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．20．（8分）已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為x1和x2，當(dāng)x1+x2+x1x2＝4時，求k的值．21．（8分）我們將與稱為一對“對偶式”．可以應(yīng)用“對偶式”求解根式方程．比如小明在解方程時，采用了如下方法：由于＝＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又因為①，所以②，由①+②可得，將兩邊平方解得x＝﹣1，代入原方程檢驗可得x＝﹣1是原方程的解．請根據(jù)上述材料回答下面的問題：（1）若的對偶式為n，則m×n＝；（直接寫出結(jié)果）（2）方程的解是；（直接寫出結(jié)果）（3）解方程：．22．（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其圖象是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝（1）當(dāng)8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊上一點，連結(jié)CD（1）如圖1，若∠BCE＝2∠DBE，BE＝4；（2）如圖2，延長EB到點F使EF＝CE，分別連結(jié)CF，AF交EC于點G．求證：BF＝2EG；（3）如圖3，若AC＝AD，點M是直線AC上的一個動點，將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，點P是AC邊上一點，Q是線段CD上的一個動點，連結(jié)PQ，請直接寫出∠PQM'的度數(shù)．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線BC下方拋物線上的一動點，PM⊥BC于點M，PN∥y軸交BC于點N．求線段PM的最大值和此時點P的坐標(biāo)；（3）點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝2x2﹣3x3+1 D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），判斷即可．【解答】解：A、y＝5x2，是二次函數(shù)，故A符合題意；B、y＝22﹣2x，是一次函數(shù)；C、y＝6x2﹣3x6+1，不是二次函數(shù)；D、y＝，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽．在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小解答．【解答】解：觀察各選項圖形可知，B選項的圖案可以通過平移得到．故選：B．【點評】本題考查了利用平移設(shè)計圖案，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)．3．（3分）電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，平均增長率記作x，方程可以列為（）A．2.05（1+2x）＝10.53 B．2.05（1+x）2＝10.53 C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53 D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53【分析】根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約2.05（1+x）億元、第三天票房約2.05（1+x）2億元，根據(jù)三天后累計票房收入達10.53億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵第一天票房約2.05億元，且以后每天票房的增長率為x，∴第二天票房約2.05（2+x）億元，第三天票房約2.05（1+x）8億元．依題意得：2.05+2.05（7+x）+2.05（1+x）7＝10.53．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB'＝CB'，則∠C'的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．24° D．28°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝12﹣5×（﹣3）＝13＞0，∴方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（2，3），則P'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【分析】作PQ⊥y軸于Q，如圖，把點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'看作把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，從而可確定P′點的坐標(biāo)．【解答】解：作PQ⊥y軸于Q，如圖，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵點P（2，8）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'相當(dāng)于把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，OQ′＝OQ＝3，∴點P′的坐標(biāo)為（3，﹣7）．故選：D．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．7．（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB＝4cm，最低點C在x軸上，BD＝2cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（）A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2【分析】利用B、D關(guān)于y軸對稱，CH＝1cm，BD＝2cm可得到D點坐標(biāo)為（1，1），由AB＝4cm，最低點C在x軸上，則AB關(guān)于直線CH對稱，可得到左邊拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（﹣3，0），于是得到右邊拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（3，0），然后設(shè)頂點式利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．【解答】解：∵高CH＝1cm，BD＝2cm、D關(guān)于y軸對稱，∴D點坐標(biāo)為（3，1），∵AB∥x軸，AB＝4cm，∴AB關(guān)于直線CH對稱，∴左邊拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（﹣5，0），∴右邊拋物線的頂點F的坐標(biāo)為（3，4），設(shè)右邊拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2，把D（2，1）代入得1＝a×（3﹣3）2，解得a＝，∴右邊拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2，故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實際問題中的數(shù)量關(guān)系與直角坐標(biāo)系中線段對應(yīng)起來，再確定某些點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質(zhì)解決問題．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，連接BE，將AC平移得到DF（點A、C的對應(yīng)點分別為點D、F），若AB＝3，BD＝2則AF的長為（）A． B．6 C． D．【分析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理得到BE，由“SAS”可證△ABE≌△DFA，可得BE＝AF，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，∠DAE＝90°，∴∠BCE＝90°，∴BE＝＝＝3；∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠BAE+∠DAC＝180°，∵AC平移得到DF，∴AC＝DF＝AB，AC∥DF，∴∠ADF+∠DAC＝180°，∴∠ADF＝∠BAE，在△ABE和△DFA中，，∴△ABE≌△DFA（SAS），∴BE＝AF＝2，故選：A．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用性質(zhì)性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵9．（3分）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，則（）A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2，【分析】畫出方程x2+mx﹣n＝0的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系得m2＝4，4n+4＝14，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，由題意得：m2＝4，2n+4＝14，∴m＝＝6，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）（﹣4，0）與（﹣3，0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為D對稱軸是直線x=-2．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①abc＜0；②；③；④若三點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函數(shù)圖象上，則y3＞y2＞y1；⑤若a＝﹣1，則△ABD是等邊三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷①；根據(jù)圖象與x軸的解得即可判斷②；與對稱軸得出b＝4a，進而得出y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，令y＝0，解方程求得較小的一個根為﹣﹣2＜﹣3，解不等式即可判斷③；由各點到對稱軸的距離即可判斷④；當(dāng)a＝﹣1時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+3，求得D（﹣2，3），再求得與x軸的交點，即可判斷⑤．【解答】解：∵圖象的開口向下，∴a＜0，∵圖象與y軸的交點為（0，﹣3），∴c＝﹣1，∵拋物線的對稱軸為﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a＜6，∴abc＜0，∴①符合題意，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣8ac＞0，∵a＜0，∴3c＞，∴②不符合題意，由題意得：y＝ax2+bx+c＝ax3+4ax﹣1＝a（x+7）2﹣4a﹣8，∵當(dāng)y＝0時，較小的一個根為﹣，∴﹣﹣2＜﹣3，解得a＜﹣，∴③不合題意，∵點（﹣3，y1），（﹣3，y2），（1，y2）中，到對稱軸直線x＝﹣2距離最大的是（1，y2），到（﹣2，y2）在對稱軸上，∴y4＞y1＞y3；∴④不合題意，當(dāng)a＝﹣3時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+6，∴D（﹣2，3），取y＝4，得﹣（x+2）2+8＝0，解得x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，∴A（﹣﹣8，B（，0），∴AD＝BD＝AB＝5，∴△ABD是等邊三角形，∴⑤符合題意，∴符合題意的有①⑤，故選：A．【點評】本題主要二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記二次函數(shù)解析中的系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)影響圖象的開口方向，a、b影響圖象的對稱軸，c影響圖象與y軸的交點．二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3，﹣2）．【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（6，故答案為（3，﹣2）．【點評】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，難度較小．12．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為x（x﹣12）＝864．【分析】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵長為x步，寬比長少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）2，則小球從飛出到落地所用的時間為4s．【分析】根據(jù)關(guān)系式，令h＝0即可求得t的值為飛行的時間【解答】解：依題意，令h＝0得0＝20t﹣2t2得t（20﹣5t）＝3解得t＝0（舍去）或t＝4即小球從飛出到落地所用的時間為5s故答案為4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，關(guān)鍵在于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數(shù)解決實際問題．此題較為簡單14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，AE交CD于點H，則AH的長為6.25．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE＝AB＝8，設(shè)AH＝CH＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，∴AE＝AB＝8，∵DH＝EH，∴AH＝CH，設(shè)AH＝CH＝x，∴DH＝8﹣x，∵∠D＝90°，∴AD7+DH2＝AH2，即22+（8﹣x）6＝x2，解得：x＝6.25，即AH的長為3.25，故答案為：6.25．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．（3分）實數(shù)a、b滿足a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，則＝2或．【分析】分類討論：當(dāng)a＝b，易得原式＝2；當(dāng)a≠b，可把a、b看作方程x2﹣7x+2＝0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝7，ab＝2，然后利用整體代入的方法可計算出原式＝．【解答】解：當(dāng)a＝b，原式＝2；當(dāng)a≠b，則a2﹣7x+2＝0的兩根，所以a+b＝6，ab＝2，所以原式＝＝，即的值為2或．故答案為5或．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝．16．（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，AB＝4，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD則AD的最大值是．【分析】將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出當(dāng)AM的值最大時，AD的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題．【解答】解：將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△MCD由旋轉(zhuǎn)不變性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，且∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，AD最大，只需AM最大，AM＜AC+CM，∴當(dāng)且僅當(dāng)A、C、M在一條直線上，AM最大，此時AD＝AM＝，故答案為：．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+8）＝0，則x﹣3＝5或x+1＝0，解得x6＝3，x2＝﹣7；（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝7，∴（x+1）（x﹣2）＝2，∴x+1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．18．（8分）如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OC，∠AOB＝150°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360°計算即可；（2）連接OD，證明△OCD是等邊三角形，得出OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；（2）線段OA，OB2+OB2＝OC5．如圖，連接OD．∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．∴∠DAO＝90°．在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2+AD2＝OD4．∴OA2+OB2＝OC6．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（1）將△ABC向右平移6個單位長度得到△A1B1C1請畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點O的中心對稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（﹣3，0）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對應(yīng)點A2，B2，C2即可；（3）對應(yīng)點連線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C3即為所求；（2）如圖，△A2B2C6即為所求；（3）旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)為（﹣3，0），故答案為：（﹣8，0）．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，中心對稱變換等知識，掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，中心對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（8分）已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為x1和x2，當(dāng)x1+x2+x1x2＝4時，求k的值．【分析】（1）分k＝0及k≠0兩種情況考慮：當(dāng)k＝0時，原方程為一元一次方程，通過解方程可求出方程的解，進而可得出k＝0符合題意；當(dāng)k≠0時，由根的判別式△≥0可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．綜上，此問得解；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝，x1x2＝，結(jié)合x1+x2+x1x2＝4可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)k＝0時，原方程為﹣3x+7＝0，解得：x＝，∴k＝0符合題意；當(dāng)k≠0時，原方程為一元二次方程，∵該一元二次方程有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×k×6≥0，解得：k≤．綜上所述，k的取值范圍為k≤．（2）∵x4和x2是方程kx2﹣8x+1＝0的兩個根，∴x8+x2＝，x7x2＝．∵x5+x2+x1x6＝4，∴+＝4，解得：k＝1，經(jīng)檢驗，k＝2是分式方程的解．∴k的值為1．【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的定義、解一元一次方程以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）分k＝0及k≠0兩種情況，找出k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x1+x2+x1x2＝4，找出關(guān)于k的分式方程．21．（8分）我們將與稱為一對“對偶式”．可以應(yīng)用“對偶式”求解根式方程．比如小明在解方程時，采用了如下方法：由于＝＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又因為①，所以②，由①+②可得，將兩邊平方解得x＝﹣1，代入原方程檢驗可得x＝﹣1是原方程的解．請根據(jù)上述材料回答下面的問題：（1）若的對偶式為n，則m×n＝1；（直接寫出結(jié)果）（2）方程的解是39；（直接寫出結(jié)果）（3）解方程：．【分析】（1）由定義直接可得答案；（2）求出，根據(jù)已知得到，兩式相加可得，再求解即可；（3）同（2）的方法求解即可．【解答】解：（1）的對偶式為，∴；故答案為：1；（2），∴，∴﹣＝2②，∴x＝39；故答案為：39．（3），∴，∴﹣＝2②，①+②得：，∴4x4+6x﹣5＝6x2+1+3x，∴x＝3．【點評】本題考查二次根式，平方差公式，涉及新定義，無理方程等知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運算的相關(guān)法則．22．（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其圖象是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝（1）當(dāng)8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值．【分析】（1）設(shè)8＜t≤24時，P＝kt+b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t+2；（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤＝月銷量×每噸的毛利潤可得函數(shù)解析式；②求出8＜t≤12和12＜t≤24時，月毛利潤w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案．【解答】解：（1）設(shè)8＜t≤24時，P＝kt+b，將A（8，10），26）代入，解得：，∴P＝t+2；（2）①當(dāng)0＜t≤8時，w＝（7t+8）×；當(dāng)7＜t≤12時，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；當(dāng)12＜t≤24時，w＝（﹣t+44）（t+8）＝﹣t2+42t+88；②當(dāng)8＜t≤12時，w＝4t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，∴3＜t≤12時，w隨t的增大而增大，當(dāng)2（t+3）7﹣2＝336時，解得t＝10或t＝﹣16（舍），當(dāng)t＝12時，w取得最大值，此時月銷量P＝t+2在t＝10時取得最小值12，在t＝12時取得最大值14；當(dāng)12＜t≤24時，w＝﹣t6+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，當(dāng)t＝12時，w取得最小值448，由﹣（t﹣21）2+529＝513得t＝17或t＝25，∴當(dāng)12＜t≤17時，448＜w≤513，此時P＝t+7的最小值為14，最大值為19；綜上，此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值為12噸．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)相等關(guān)系列出分段函數(shù)的解析式是解題的前提，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得336≤w≤513所對應(yīng)的t的取值范圍是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊上一點，連結(jié)CD（1）如圖1，若∠BCE＝2∠DBE，BE＝4；（2）如圖2，延長EB到點F使EF＝CE，分別連結(jié)CF，AF交EC于點G．求證：BF＝2EG；（3）如圖3，若AC＝AD，點M是直線AC上的一個動點，將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，點P是AC邊上一點，Q是線段CD上的一個動點，連結(jié)PQ，請直接寫出∠PQM'的度數(shù)．【分析】（1）設(shè)∠DBE＝x，則∠BCE＝2x，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程求出x值，再利用直角三角形的性質(zhì)求得BC值，依據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；（2）延長FE到H，使EH＝EF，連接AH，CH，利用線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到AH＝BF，∠AHC＝∠BFC＝45°，進而得出∠AHF＝∠AHC+∠CHF＝45°+45°＝90°，再利用三角形的中位線定理解答即可得出結(jié)論；（3）過點D作DE⊥AD，交AC的延長線于點E，作點P關(guān)于CD的對稱點P′，連接P′C，P′Q，P′M′，AM′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到EA⊥AM′，得到點M′在過點A且垂直于AC的直線上運動；由三角形的三邊關(guān)系定理得到QP′+QM′≥P′M′，從而得到當(dāng)P′，Q，M′在一條直線上時，QP′+QM′＝P′M′，此時PQ+QM'的值最??；由題意畫出圖形后，通過說明四邊形PCP′Q是菱形，再利用菱形的對角相等得出∠PQP′＝∠PCP′＝135°，則結(jié)論可求．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°．設(shè)∠DBE＝x，則∠BCE＝2x，∴∠ACE＝90°﹣∠BCE＝90°﹣2x，∵BE⊥CD，∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝90°﹣x，∠ADC＝180°﹣ACD﹣∠A＝7x+45°．∵∠BDE＝∠ADC，∴90°﹣x＝45°+2x，∴x＝15°，∴∠BCE＝30°，∵BE⊥CD，∴BC＝2BE＝2，∴AC＝BC＝8，∴△ABC的面積＝AC?AC＝32；（2）證明：延長FE到H，使EH＝EF，CH，∵EF＝CE，BE⊥CD，∴∠ECF＝∠EFC＝45°．∵BE⊥CD，EH＝EF，∴CE垂直平分FH，∴CH＝CF，∴∠∠CHF＝∠CFH＝45°，∴∠HCF＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠HCF，∴∠ACH＝∠BCF．在△ACH和△BCF中，，∴△ACH≌△BCF（SAS），∴AH＝BF，∠AHC＝∠BFC＝45°．∴∠AHF＝∠AHC+∠CHF＝45°+45°＝90°，∴AH⊥HF，∵CD⊥EF，∴CE∥AH，∵EH＝EF，∴GE為△FAH的中位線，∴AH＝2GE，∴BF＝2EG；（3）解：∠PQM'的度數(shù)為45°．理由：過點D作DE⊥AD，交AC的延長線于點E，連接P′C，P′M′，如圖，∵∠BAC＝45°，DE⊥AD，∴∠E＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE．∵將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，∴DM′＝DM，∠MDM′＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠MDM′，∴∠ADM′＝∠MDE．在△ADM′和△EDM中，，∴△ADM′≌△EDM（SAS），∴∠DAM′＝∠DEM＝45°，∴∠EAM＝∠EAB+∠DAM′＝90°，∴EA⊥AM′．∴點M′在過點A且垂直于AC的直線上運動．∵點P關(guān)于CD的對稱點P′，∴CP＝CP′，QP＝QP′．∴PQ+QM′＝QP′+QM′．∵QP′+QM′≥P′M′，∴當(dāng)P′，Q，M′在一條直線上時，此時PQ+QM'的值最?。鐖D，P′，