導數及其應用 名師獲獎

本章優(yōu)化總結知識體系網絡專題探究精講專題一導數的幾何意義函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率為f′(x0)，相應的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．例1專題二利用導數研究函數的單調區(qū)間例21．應用導數求函數極值的一般步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側f′(x)的符號．若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點．專題三利用導數研究函數的極值和最值2．求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求f(x)在(a，b)內的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值．特別地，①當f(x)在[a，b]上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點處取得；②當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3利用導數研究某些函數的單調性與最值，可以解決一些不等式證明及不等式恒成立問題，如利用“f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a”和“f(x)＞a?f(x)min＞a”的思想解題．專題四利用導數解不等式恒成立問題例4利用導數求實際問題的最大(小)值時，應注意的問題：(1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考慮，不符合實際意義的值應舍去．(2)在實際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個根，若能判斷函數的最大(小)值在x的變化區(qū)間內部得到，則這個根處的函數值就是所求的最大(小)值．專題五導數在實際問題中的應用某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)；成本函數為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)．又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；(提示：利潤＝產值－成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區(qū)間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？例5【解】

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N＋，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N＋，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)．∵x＞0，∴P′(x)＝0時，x＝12.∴當0＜x＜12時，P′(x)＞0；當x＞12時，P′(x)＜0，∴x＝12時，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305(x∈N＋，且1≤x≤19)．所以，當