八年級(jí)數(shù)學(xué)面積法解題教學(xué)研究

PE+PF＝BHABPC分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則SABCPE+PF＝BHABPC分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則SABC又由AB又SABCABC和四邊形ADGE的面積比。ABC【試題答案】1.證明：連結(jié)AC，則SABCSADC又∵E、F分性質(zhì)：性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底C(PEPF)又∵BH⊥AC1SACBHABC21122∴PE+PF＝BH4.證角平分線例6.在平行4初二數(shù)學(xué)---面積法解題【本講教育信息】【講解容】——怎樣證明面積問(wèn)題以及用面積法解幾何問(wèn)題【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：證明面積問(wèn)題的理論依據(jù)和方法技巧。難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明面積問(wèn)題?！窘虒W(xué)過(guò)程】（一）證明面積問(wèn)題常用的理論依據(jù)同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。18.有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）證明面積問(wèn)題常用的證題思路和方法2.作平行線法：通過(guò)平行線找出同高（或等高）的三角形。【典型例題】（一）怎樣證明面積問(wèn)題證：△DEF的面積＝2△ABC的面積。FEEABDC分析：從圖形上觀察，△DEF可分為三部分，其中①是△ADE，它與△ADB同底等ADEADB②二是△ADF，和上面一樣，SADFSADCC(PEPF)又∵BH⊥AC1SACBHABC21122∴PE+PF＝BH4.證角平分線例6.在平行于EC(PEPF)又∵BH⊥AC1SACBHABC21122∴PE+PF＝BH4.證角平分線例6.在平行于E、F，求證：S＝S△ABF△ADEADF分析：因?yàn)锳B//DF，所以△ABF與△ABC是同底AB等于高之比1.證線段之積相等例3.設(shè)AD、BE和CF是△ABC的三條高，求證：AD·BC＝BE·AC中位線MN∴SADM(ABCD)SSDCMABM3.證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CDNABMNhSSAMNMND2③三是△AEF，只要再證出它與△ABC的面積相等即可由S△CFE＝S△CFB故可得出S△AEF＝S△ABC∴△ADB和△ADE同底等高∴S△ADB＝S△ADE∴S△ABC＝S△ADS△ADF又∵S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AE△ADS△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC1ADM2ABCD分析：由M為腰BC的中點(diǎn)可想到過(guò)M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為hSAMDSDMNDCMMSMNhSAMN22ABCD∵M(jìn)為腰BC的中點(diǎn)∴MN是梯形的中位線設(shè)梯形的高為hDCABMN2則SABCDAMD1SSADM2ABCDMNh（二）用面積法解幾何問(wèn)題有些幾何問(wèn)題，往往可以用面積法來(lái)解決，用面積法解幾何問(wèn)題常用到下列性質(zhì)：性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半性質(zhì)4：等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比行四邊形ABCD又∵CE//ADSADESABFSACDSADE1S2平行四邊形行四邊形ABCD又∵CE//ADSADESABFSACDSADE1S2平行四邊形ABCD3.證線段之BCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點(diǎn)，求證：SADMDCMABSDCMSABM1113.Rt△△ADB同底等高，故SSADEADB②二是△ADF，和上面一樣，SADFSADC③三是△AEF，只要和例5.已知△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求證：性質(zhì)5：等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比AFFEBDCAB三邊上的高，故可聯(lián)想到可用面SABCADBC2BEAC2CFAB2ADBCBEACCFAB△ABF△ADEADBBECF分析：因?yàn)锳B//DF，所以△ABF與△ABC是同底AB和等高的兩個(gè)三角形，所以這兩個(gè)SABFABC2平行四邊形ABCD又∵CE//ADSADESABFSACDSADE1S2平行四邊形ABCDPE+PF＝BHBCD中，E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、AEBCD中，E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、AE，求證：S＝S△ADFDFCAB2.在梯形A＝CF·ABABDC分析：從結(jié)論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到3aEF(ha)SAFDSEFG①+②得：SBFC(SSEFGHAFh2EFh323(EF13EF2ABC和四邊形ADGE的面積比。ABC【試題答案】1.證明：連結(jié)AC，則SABCSADC又∵E、F分SAC(PEAC(PEPF)ACBHECPBAHHFEBPCSABC又由ABABCSABPAPC1ACBH2ABPEAC1ABC2PFPF)故PE+PF＝BHABCABPAPCSABCABPEACPFAC(PEPF)又∵BH⊥AC1SACBHABC2∴PE+PF＝BH例6.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、求證：BP平分∠APC。DFA出S△ABE＝S△BCF即可∵四邊形ABCD是平行四邊形∴S△ABE＝S△ABC△BFC△ABC△BFC△ABCADF＝2S△ABC∴S△DEFADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2.作平行線法例2.已知：在梯形ABCD中，DC//AS△ABC＝S△ADS△ADF又∵S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AE△ADS△2b2得：4.證明：連結(jié)FD、FG、FCAEFDGHBMC1SS則由已知可得FGH3DFC①作DM/：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，G、H為邊DC的三等分點(diǎn)，求證：1SSEFGH3ABCD△ABE∴S△ABE＝S△BFC而△ABE和△BFC的底分別是AE、CF∴△ABE和△BFC的高也相等∴B點(diǎn)在∠APC的平分線上∴PB平分∠APC△ADFDFCEEABDCMABSDCMSABMCbbhADB1SSEFGH3ABCDDAEFBGHCPE+PF＝BHABPC分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則PE+PF＝BHABPC分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則SABC又由AB又SABC或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。5.三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。6.三再證出它與△ABC的面積相等即可由S△CFE＝S△CFB故可得出S△AEF＝S△ABC證明：∵AD/＝CF·ABABDC分析：從結(jié)論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到CE1AC3，CD和BE交于G，求△ABC和四邊形ADGE的面積比。ADDGEBC3aEF(ha)SAFDSEFG①+②得：SBFC(SSEFGHAFh2EFh323(EF13EF2和例5.已知△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求證：等于高之比1.3aEF(ha)SAFDSEFG①+②得：SBFC(SSEFGHAFh2EFh323(EF13EF2和例5.已知△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求證：等于高之比1.證線段之積相等例3.設(shè)AD、BE和CF是△ABC的三條高，求證：AD·BC＝BE·ACSSDChABhDMNADMMNh21MN(h11h122NAD【試題答案】1.證明：連結(jié)AC，則SABCSADC1SSABE2ABCSADFSABE2SADCADF2.證明：過(guò)M作MN//DC//ABCMB∵M(jìn)為腰BC上的中點(diǎn)∴△DCM和△ABM的高相等，設(shè)為h1DCMABM2121又∵△DMN與△AMN的高也為h1AMNMN21 2MNh1AB)h1∵M(jìn)N為梯形的中位線MN∴SADM(ABCD)DCMABMSABC2abABhABha2b2AB2h2∴兩邊同時(shí)除以a2a2b2h2四邊形ABCD的兩邊AD、求證：BP平分∠APC。DFA分析：要證BP平分∠APC，我們可以考慮，只其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為hSAMDSDMNDC四邊形ABCD的兩邊AD、求證：BP平分∠APC。DFA分析：要證BP平分∠APC，我們可以考慮，只其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為hSAMDSDMNDC證明：過(guò)M作MN//AB∵M(jìn)為DAEFBGHC5.在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E在AC上，且CE1AC3，CD和BE交于G，求△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2.作平行線法例2.已知：在梯形ABCD中，DC//A213EFh2AFD31232AEFDGHBMC1SS則由已知可得FGH3DFC①SEFGEF(ha