八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理的證明初中教育

16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c.做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c.做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在tΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明D=90，∠PAC=90，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90，∠BCA=90，AD=AB=c，122babcabbbaaaabcDaHbAGaccaCbFaBbbccEaaacbccbbcaaba2b24ab，整理得a2b2c2.1形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90,∴∠AEH+∠BEF=90.∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90,∴∠EHA+∠GHD=90.又∵∠GHE=90,∴∠DHA=90+90=180.∴ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，它的面積等于ab2.1c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為HGF≌RtΔBDC.即過Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE歡迎下載=∠=90.∴四邊形EFGHc的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為HGF≌RtΔBDC.即過Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE歡迎下載=∠=90.∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠DA.又∵∠DGT=90，∠DHF=90，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90，∴cGaA12a2b222c2CE、B三點(diǎn)CDccbaAbEaB1角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90，DFFHEB∴ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于..1形的面積等于2.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90,∴∠AED+∠BEC=90.c2又∵∠DAE=90,∠EBC=90,∴AD∥BC.∴ABCD1112.∴a2b2c2.一條直線上.過C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.∵D、E、一條直線上.過C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,2，.【證法11】（利用切割線定理證明）在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.AM.又RtΔHBT≌SS85.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAECBD內(nèi)接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有ABDCADBCAbccFQaAbcBc.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，又∵AB=BE=EG=GA=c，∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90.即∠CBD=90.BC=BD=a.∴BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.FaGCcCbEPcabHabaAcBD設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則∴a2b2c2.），C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90∴∠MPC=90∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90，，∴BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90∠ABC+∠MBA=∠MBC=90.，，EbcPMNacC∴∠QBM=∠ABC，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.AB=BC=c，BF=CG=a，∴∵RtΔABF≌RtAB=BC=c，BF=CG=a，∴∵RtΔABF≌RtΔBCG.歡迎下載∴∴S122ABC2，2ab4SABC，AECEBDCD=CECD=r+r=2r,∴∴∴4r2rc4SABC，42c2.歡迎下載【證法3】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，=90，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線.由切割線定理，得AC2AEADABBEABBDCc=c2ABC2aBGaDcb9c21FA34567EBaC8RHPQTB三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)GBF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.L∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，a2aFaΔGAD的面積等于矩形ADLM∴矩形ADLM的面積=a2.同理可證，矩形MLEB的面積=b2.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEBHAcDDCbMKbBE如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即AC2ADAB.CbDcBDAB.∴AC2BC2ADDBABAB2，即a2b2c2.⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.過B作BP⊥AF，垂足為P.過D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H.∴∠DAH=∠BAC.AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.ΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=ΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠H角形拼成如圖所示形狀，使A、在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠A+∠MDC=∠ADE+∠EAD∴∠ADC=90.∴作AB∥DC，CB∥DA，則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c∵∠QMF=∠ARC=90，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4S6.∵又∵∴即=c1=21∠TBH+Tb831aMEA2CD所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，從而PH=ba.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90，∴DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GTGF=ba.2∵S1S8S2S31S5①，Sb2abS=b2SS②2=∴S1b2a2S2b2b2b2S92=b2a2.分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條∵∠TBE=∠ABH=90，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GTHT=ba.又∵∠GHF+∠BHT=90，∠DBC+∠BHT=∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EBED=bBR6H7GF45cQ∠HGF=∠BDC=90，過Q作QM⊥AG，垂足是M.由=∠BEA=90，可知∠ABEa2b2c2.【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分ΔABC中，設(shè)直角邊ACa2b2c2.【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分ΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.假BH=90，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌Rt的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90，∴∠BAF=∠DAE.連結(jié)FB，在ΔABFa2b2c2即∴=bEaaBaDADaAbbBaC=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABERtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90，∠BAE+∠CAR=90，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4S6.即7S2，S87S2，S81Sa2b2S1S=S5，S4SSS2S5SSb2SSS=c2，.在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD=BE=BC=a.因AC2AEADABBEABBDCc=c2a2，b2c2a2，a2b2c2.在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c（如圖）.過點(diǎn)A作AD∥CB，過點(diǎn)B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓.ABDCADBCACBD，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，∴a2b2c2.在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖設(shè)⊙O的半徑為r.∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，90=90.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.∴∠ABC+∠90=90.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，則∠CDB≠∠ACB.，，∠CDB≠90.這與作法CD⊥AB矛HGF≌RtΔBDC.即過Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE歡迎下載=∠，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則a2b2S2ab,c2S2ab,∴∴即∴∴即∵∴AFBF又∵∠ACB=90ABACBCABa2b22ab1ABC2，2ab4SABC，SABC=1212AOBAECEBDCD2，aBaBF2cOrDabC=AOC=AOCSSSBOC=ABC，，如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.假設(shè)a2b2c2，即假設(shè)AC2BC2AB2，則由AB2可知AC2ABBC≠BC：AB.ABAB=ABADBD=ABADABBDBC2ABBD即AD：AC≠AC：AB，或者BD：在ΔADC和ΔACB中，∴若AD：AC≠AC：AB，則∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∴若BD：BC≠BC：AB，則∠CDB≠∠ACB.，這與作法CD⊥AB矛盾.所以，CabDcAC2BC2AB2的假設(shè)不能成立.∴a2b2c2.則每個(gè)直角1三角形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴CBD內(nèi)接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有ABDCADBCA∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90則每個(gè)直角1三角形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴CBD內(nèi)接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有ABDCADBCA∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90，D∴ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為CBD，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，∴abab2bab2aaaabbCADBBc54cFAba3cCbE1G2a6D7HaaMbAAabB1212bcaaab2c22bDbaCc方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD部分，則正方形ABCDa2b22aba2b2c2.b22ab；把正方形ABCD122分別為a、b的正方形（b>a把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一在EH=b上截取ED=a，連結(jié)DA、DC，則AD=c.∵EM=EH