（大學(xué)課件）隨機變量及其分布：離散型隨機變量的概率分布

§2.1離散型隨機變量的概率分布§2.2隨機變量的分布函數(shù)§2.3連續(xù)型隨機變量的分布密度§2.4隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布ωX(ω)ΩX

例1

從一批種子中隨機抽取20粒進行發(fā)芽試驗，觀察發(fā)芽粒數(shù)。顯然Ω={0，1，…，20}，用變量X表示發(fā)芽種子粒數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，…，20.

={ω}→X=X(ω)§2.1離散型隨機變量的概率分布

Ω={t|t≥0}例3

測試燈泡的壽命：X=X（t）

例2

擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。記ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”。X也是定義在Ω={ω1，ω2}上的函數(shù)，是隨機變量?！?.1離散型隨機變量的概率分布

定義設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω，如果對于每一個ω∈Ω，都有唯一的一個實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，則稱X(ω)為隨機變量，并簡記為X。

注意：

1.X是定義在Ω上的實值、單值函數(shù)。

2.因隨機試驗的每一個結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率，所以隨機變量X的取值也有一定的概率。

3.隨試驗結(jié)果不同,X取不同的值，試驗前可以知道它的所有取值范圍，但不知確定取什么值。

一、隨機變量的定義§2.1離散型隨機變量的概率分布

例1(1)某廠50臺車床在一天中需要維修的車床數(shù)，50次射擊試驗中命中的次數(shù)等都可以用一個隨機變量X來表示，它可能取0，1，…，50中的任一非負整數(shù)；

(2)一個傳呼臺單位時間內(nèi)接到的傳喚次數(shù)，城市某十字路口一分鐘內(nèi)通過的機動車數(shù)、單位時間內(nèi)到達某公交車站等車的人數(shù)等都可以用隨機變量X來表示，它所有可能的取值為一切非負整數(shù)；(3)電視機的使用壽命X（單位：h）是一個可以在(0,+∞)上取值的隨機變量，{X>10000}表示“電視機使用壽命超過10000h”這一事件．類似的，測量的誤差X也是一個隨機變量，它可能的取值為(﹣∞,﹢∞)上任意實數(shù)，{︱x︱<0.1}表示“測量的誤差在(-0.1,0.1)內(nèi)”．

（4）汽車司機剎車時，輪胎接觸地面的點的位置是在[0,2r]上取值的隨機變量，其中r是輪胎的半徑．

隨機變量按其可能取的值，區(qū)分為兩大類:

一類叫離散型隨機變量,其特征是只能取有限或可列個值．在例1的（1）和（2）中，隨機變量為離散型隨機變量．另一類是非離散型隨機變量。在非離散型隨機變量中，通常只關(guān)心連續(xù)型隨機變量，它的全部可能取值不僅是無窮多的、不可列的，而是充滿某個區(qū)間．在例1的（3）和（4）中，隨機變量則為連續(xù)型隨機變量．確實存在既非離散型也非連續(xù)型的隨機變量。本教材只介紹離散型和連續(xù)型的隨機變量。

在燈泡壽命試驗中，{燈泡的壽命不低于1000小時}可用隨機變量X表示為{X≥1000}

用隨機變量X表示玉米穗位，則{玉米穗位在100到120厘米之間}可以表示為{100≤X≤120}

在投硬幣試驗中，

{正面朝上}可以表示為{X=1}

一般地：{X=k}，{X≤a}，{a＜X≤b}表示一個隨機事件。用隨機變量表示隨機事件:

P{X=xi}=pi

（i=1,2,…）亦可用下面的概率分布表來表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…則稱之為離散型隨機變量X的概率分布或分布列（律）

定義

設(shè)離散型隨機變量X所有可能的取值為

x1,x2,…,xn,…X取各個值的概率，即事件{X=xi}的概率為二、離散型隨機變量的概率分布（1）非負性：pi≥0（i=1,2，…）（2）規(guī)范性：

課堂練習(xí)1

已知隨機變量X的概率分布為：求常數(shù)a.解由概率分布的性質(zhì)得得

15a=1,即分布列具有如下性質(zhì)：X0123pk6白4紅10球

解用X表示抽到的紅球數(shù)，則X所有可能的取值為0，1，2，3。且取每一個值的概率分別為

課堂練習(xí)2

在一個袋子中有10個球，其中6個白球，4個紅球。從中任取3個，求抽到紅球數(shù)的概率分布。可表示為1.0-1分布

若隨機變量X

只可能取0和1兩個值，概率分布為(0＜p＜1，p+q=1)

若Ω只有兩個樣本點，即Ω={ω1,ω2}，則可以定義具有0-1分布的隨機變量：X=X(ω)=XP10p

q三、幾種常見的離散型隨機變量的概率分布則稱X

服從0-1分布（p為參數(shù)）,也稱為貝努里分布.記作

X～B(1,p).其分布可表示為或

例2假設(shè)某籃球運動員投籃命中率為0.8，X表示他投籃一次命中的次數(shù)，求X的概率分布．

解用{X=1}表示“投籃一次命中”，{X=0}表示“投籃一次沒命中”，則

P{X=1}=0.8,P{X=0}=1－P{X=1}=1－0.8=0.2.即X的概率分布為

X01

P0.20.8特別當n=1時，二項分布為顯然2.二項分布即為0-1分布。

定義如果隨機變量X的概率分布為（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布。記作X~B(n,p).

例3甲、乙兩名棋手約定進行10盤比賽，以贏的盤數(shù)較多者為勝.，假設(shè)每盤棋甲贏的概率都為0.6，乙贏的概率為0.4，且各盤比賽相互獨立，問甲、乙獲勝的概率各為多少？

解每一盤棋可看作一次貝努里試驗.設(shè)X為10盤棋賽中甲贏的盤數(shù)，則X

～

B(10,0.6)，按約定，甲只要贏6盤或6盤以上即可獲勝.所以P{甲獲勝}=若乙獲勝，則甲贏棋的盤數(shù)，即

例4某廠需從外地購買12只集成電路.已知該型號集成電路的不合格率為0.1，問至少需要購買幾只才能以99%的把握保證其中合格的集成電路不少于12只？

解設(shè)需要購買n只，用X表示這n只集成電路中合格品只數(shù)，則，按題意，要求事件“X≥12”的概率不小于0.99，即可算出至少需要購買17只集成電路，才能以99%的把握保證其中合格品不少于12只.

注意：事件“甲獲勝”與“乙獲勝”并不是互逆事件，因為兩人還有輸贏相當?shù)目赡埽菀姿愠銎渲笑耍?是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)查課本262頁附表1泊松分布表，對于給定的λ，可查3.泊松分布（k=0，1，2，…）

定義如果隨機變量X的概率分布為

例5在500個人組成的團體中，恰有5個人的生日是元旦的概率是多少？

解該團體中每個人的生日恰好是元旦的概率都是1/365，則該團體中生日為元旦的人數(shù)B(500,1/365)，恰有5個人的生日是元旦的概率為這里值較大，直接計算比較麻煩.而在二項分布中，當值較大，而較小時，有一個很好的近似計算公式，這就是著名的泊松定理。設(shè)隨機變量Xn(n=1，2，3…)服從二項分布B(n,pn),

從而n較大，pn較小時有其中pn與n有關(guān)。如果泊松（Poisson）定理:（k=0,1,2,…,n）(λ為常數(shù))，則有因此

對于固定的k，顯然有證明記λn=npn，則

例5中n=500,np=500/365=1.3699>0，滿足泊松定理條件，可以用

=1.3699

的泊松分布來近似計算由泊松定理可知，當n較大時，n重貝努里試驗中小概率事件出現(xiàn)的次數(shù)近似服從泊松分布.

例6為保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工.若設(shè)備是否發(fā)生故障是相互獨立的，且每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01（每臺設(shè)備發(fā)生故障可由1人排除）.試求：

（1）若一名維修工負責(zé)維修20臺設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；（2）若3人負責(zé)80臺設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率．

解（1）設(shè)表示20臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則X～B(20,0.01)，根據(jù)泊松定理，X又可近似地看作服從泊松分布，其中參數(shù)

.

（2）80臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)

X～B(80,0.01)

類似的，可用

=80×0.01=0.8

的泊松分布來近似，于是所求概率為

與第一種安排方式相比，3人維修80臺設(shè)備，雖然比1人維修20臺設(shè)備任務(wù)重，但工作效率卻比第一種方式高，不能及時排除故障的概率僅為0.009。4.幾何分布若X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記作

X～G(p)(k=1，2，…；q=1-p,0<p<1)

若X表示一個無窮次貝努利試驗序列中，事件A首次發(fā)生所需要的次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布。

例7某射手射擊命中率為p=0.8，現(xiàn)進行射擊試驗，直到命中為止，假設(shè)每次射擊是相互獨立的，求射擊次數(shù)X的概率分布.

解

X～G(0.8)，其概率分布為

P{X=k}=(0.2)k-10.8,k=1,2,…

如果前m次試驗中A沒有出現(xiàn)（沒有成功），則從次起到首次出現(xiàn)事件A所進行的試驗次數(shù)仍然服從參數(shù)為的幾何分布，而與前面失敗的次數(shù)m無關(guān)，這一特性稱為幾何分布的無記憶性。5.超幾何分布若隨機變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為M,N,n的超幾何分布，記作

X～H(M,N,n)(k=0,1,…,

min(n,M)).

設(shè)有N個產(chǎn)品，其中M個不合格品。若從中不放回地隨機抽取n個，則其中含有的不合格品數(shù)是一個隨機變量，由古典概率計算公式有X服從參數(shù)為M、N和n的超幾何分