專題19 【五年中考+一年模擬】圓壓軸題-備戰(zhàn)2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）

專題19圓壓軸題1．（2022?寧波）如圖1，為銳角三角形的外接圓，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿足，交于點(diǎn)，，連結(jié)，．設(shè)．（1）用含的代數(shù)式表示．（2）求證：．（3）如圖2，為的直徑．①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為2時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①3；②【詳解】（1），①又，②②①，得，；（2）由（1）得，，，，，，，，在和中，，；（3）①，，，，，，是的直徑，，，與所對(duì)的圓心角度數(shù)之比為，與的長(zhǎng)度之比為，，；②如圖，連接，，，，，，，，設(shè)與的相似比為，，，設(shè)，則，，，，，由，得，解得或（舍去），，，，在中，，．方法二：連接，作于，由題意知，和都是等腰三角形，，設(shè)，，設(shè)，則，，，，，即，解得或（舍去），．2．（2021?寧波）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)，滿足，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，連結(jié)，．求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，．①若，求的周長(zhǎng)．②求的最小值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【詳解】（1）為的直徑，，，，；（2）為的直徑，，，，，，，又，，，；（3）①如圖，連接，為的直徑，，在中，，，，，，即，，，，在中，，，，，在中，，，，在中，，，的周長(zhǎng)為；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，在中，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為3，的最小值為．3．（2020?寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，是中的遙望角，若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于，，四邊形的外角平分線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：是中的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，若是的直徑．①求的度數(shù)；②若，，求的面積．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【詳解】（1）平分，平分，，（2）如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，四邊形內(nèi)接于，，又，，平分，，，，是的平分線，，，，，，，是的外角平分線，是中的遙望角．（3）①如圖2，連接，是中的遙望角，，，，，，，，又，，，，，是的直徑，，，，②如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是的直徑，，平分，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，設(shè)，，則有，，，，，，，，，，，．4．（2019?寧波）如圖1，經(jīng)過(guò)等邊的頂點(diǎn)，（圓心在內(nèi)），分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）設(shè)，．①求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②如圖2，連接，，若的面積是面積的10倍，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①；②【詳解】證明：（1）是等邊三角形，，，，，；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是等邊三角形，，，在中，，，，，，，，在中，；（3）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，在中，，，，，，，，在中，，；②如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，，，，，的面積，的面積，的面積是的面積的10倍，，，解得：，.5．（2018?寧波）如圖1，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作交軸于另一點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式和的值；（2）如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值．【答案】（1）直線的函數(shù)表達(dá)式，；（2）①見(jiàn)解析；②，；（3）【詳解】直線與軸交于點(diǎn)，，，直線的函數(shù)表達(dá)式，，，，在中，；（2）①如圖2，連接，，，，，，四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，，，，，②過(guò)點(diǎn)作于，由①知，，設(shè)，則，，，，，，由①知，，，，，，，（舍或，，，，，（3）如圖，設(shè)的半徑為，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，連接，是直徑，，，，，，，時(shí)，最大值為．6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，是的外接圓，點(diǎn)在上，連結(jié)，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若，，，求；（3）如圖3，為的內(nèi)心，若在線段上，，，當(dāng)最大時(shí)，求出的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：點(diǎn)在圓上，，，又，，；（2）解：由（1）可得，，，，；（3）解：由（2）得：，，如圖，作，，設(shè)，，，，解得，，故，，連接，為的內(nèi)心，，，，，，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，連接交于點(diǎn)，由勾股定理可得出，，，解得，即圓的半徑為．7．（2022?寧波模擬）如圖①，在中，，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為圓心，長(zhǎng)為半徑作交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，，．（1）求證：；（2）如圖②，若，求證：；（3）如圖③，，．①若，求的半徑長(zhǎng)；②求的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【詳解】（1）證明：在優(yōu)弧上任意取一點(diǎn)，連接，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，；（2）作于，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：①在中，由勾股定理得，，，，，，，解得；②作于，，，，，，在中，由勾股定理得，，，當(dāng)時(shí)，最大值為．8．（2022?北侖區(qū)一模）有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形中，，且，，則．（2）如圖2，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形中，，且，求證：．（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，連結(jié)并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）解：如圖1中，作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，故答案為：；（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)到，使，連接，，，，，，，在和中，，，，，，，即，、、均為正數(shù)，；（3）解：如圖3中，連接，，，，作于，于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，是的直徑，，，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，，設(shè)，，，，．9．（2022?寧波模擬）如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：．（2）如圖②，若，求證：．（3）如圖③，連結(jié)，．．①若，求的長(zhǎng)；②求的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①6；②【詳解】（1）證明：連接，如圖，是的直徑，．．弦于點(diǎn)，．．，．（2）證明：連接，如圖，是的直徑，弦，．，．．．即．．（3）解：①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，如圖，，，，．．弦于點(diǎn)，．，．由（1）得：．．，．設(shè)，則．，，．，．．．②連接，如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，．．，當(dāng)取最大值時(shí)，最大．點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大．若為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，如圖，則，且，，．．．．．的最大值為：．10．（2022?寧波一模）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，以為直徑作，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作垂足為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連結(jié)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若射線與的另一交點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié)．，，，以為直徑作，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，且點(diǎn)在上，是切線；（2）解：①如圖，連結(jié)，．，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，；②的值不發(fā)生變化，仍為，理由如下：連結(jié)，，，，，，；（3）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，連結(jié)，，，，設(shè)與交于．，，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)，則，，，，，，，即，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，同理可得，．的值．11．（2022?北侖區(qū)二模）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，是等腰的外接圓，，在上取一點(diǎn)，連結(jié)，，．求證：；【思考探究】（2）如圖2，在（1）條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，求的值；【拓展延伸】（3）如圖3，的半徑為5，弦，弦，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4；（3）【詳解】（1）證明：，．．，，，．．（2）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．，．．．．，．．，．，，．，，．．設(shè)，則，，．．解得：或（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．；（3）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，的半徑為5，，，為等邊三角形．．．在中，，．在中，．．四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，．，．．．12．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）點(diǎn)在弧上，且，連接交于點(diǎn)，求證：；（3）①在（2）的條件下，若，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②求出使得有意義的的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【詳解】（1）證明：如圖1中，連接，，設(shè)．，，，，，，，，，，，；（2）證明：連接，延長(zhǎng)交于．由（1）可知，，，，，，，．（3）解：①連接，延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作于，于．由（2）可知，，，，，，，，，，，，，，．②設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得或，的最小整數(shù)值為3，，，，，（負(fù)根已經(jīng)舍去），此時(shí)的半徑為．13．（2022?海曙區(qū)一模）【基礎(chǔ)認(rèn)知】（1）如圖1，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，求證：平分；【綜合運(yùn)用】（2）在（1）的情況下，作于點(diǎn)．①如圖2，若，，求的長(zhǎng)；②如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)，，三點(diǎn)作圓交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求圓的直徑；（用含的代數(shù)式表示）③在（2）的情況下，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①8；②；③【詳解】（1）證明：，．，．．即平分；（2）解：①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，四邊形為矩形．，．，．設(shè)，則．，．在中，，．解得：．；②，，垂直平分．是圓的直徑．設(shè)圓心為點(diǎn)，如圖，連接，由（1）知：．，．．在和中，，．．，，．．圓的直徑．③連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，平分，，，．，．．，，．，，．．．是圓的直徑，．，．．．．．同理：．平分，．．．．，．．．即．，．．．關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．14．（2022?寧波模擬）如圖1，內(nèi)接于，的外角的平分線交于點(diǎn)（點(diǎn)在弧之間），連結(jié)，．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．（3）如圖2，在（2）的條件下，作于點(diǎn)．①若，求的周長(zhǎng)．②求的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①；②10【詳解】（1）證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，是的平分線，，，，，；（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，在中，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得，，由（1）知，，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，，或（舍，；（3）解：①如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)為，在中，，，，，的周長(zhǎng)為；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，，必過(guò)圓心，，，在中，，連接，在中，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得，，，即，過(guò)點(diǎn)作于，由①知，，在中，，，，，，，，，，，，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，，，要最大，則最大，，，，，，，，，即的最大值其實(shí)就是的最大值，為的弦，最大為，即的最大值為10．15．（2022?海曙區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形內(nèi)接于半圓，是半圓的直徑，是半圓的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：．（2）探究與的數(shù)量關(guān)系．（3）求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：是半圓的切線，，，；（2）解：；理由如下：連接，如圖：，，即，由（1）知，，，，，同理，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，又，，，而，；（3）解：過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：由（2）知，，是線段的垂直平分線，，，，是等邊三角形，，四邊形是菱形，，，在中，，，設(shè)，則，，，四邊形是矩形，，，，，在中，．答：的值為．16．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)一模）等腰三角形中，且內(nèi)接于圓，、為邊上兩點(diǎn)在、之間），分別延長(zhǎng)、交圓于、兩點(diǎn)（如圖，記，．（1）求的大?。ㄓ?，表示）；（2）連接，交于（如圖．若，且．求證：；（3）在（2）的條件下，取中點(diǎn)，連接、（如圖，若，①求證：，；②請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①見(jiàn)解析；②或【詳解】（1）解：如圖1中，連接．，，，，；（2）證明：如圖2中，，，，，，，，，，，，，；（3）①證明：如圖3中，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，，是直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②解：連接，．，又．，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，，，，，整理得，或，或．17．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、．（1）證明：．（2）如圖2，若，且恰好經(jīng)過(guò)圓心，求的值．（3）若，，設(shè)的長(zhǎng)為．①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)．②如圖4，恰好經(jīng)過(guò)圓心，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12；（3）①；②【詳解】（1）證明：，．．，．（2）解：，．為的直徑，，．，，，．．，．，．．，．．，．．．（3）解：①，，．，．．．，，．．．，．，，．．．．的周長(zhǎng)．②為的直徑，．．外接圓半徑為．在中，．由①的結(jié)論可得：，，的周長(zhǎng)，．設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的周長(zhǎng)．．．內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．18．（2022?寧波模擬）定義：四邊形中，，，則稱四邊形為半角四邊形，邊稱為半對(duì)邊．（1）如圖①，若四邊形為半角四邊形，且為半對(duì)邊，設(shè)，用含有的代數(shù)式表示；（2）如圖②，等腰，，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，，連結(jié)，作的外接圓，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)，，求證：四邊形為半角四邊形；（3）如圖③，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．①求證：；②若，，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①見(jiàn)解析；②【詳解】（1）解：四邊形是半角四邊形，為半對(duì)邊，，，，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，，四邊形為半角四邊形；（3）①證明：如圖③中，連接．，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，；②如圖中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）可知，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在上取一點(diǎn)，使得，，，，，，，，，，，，，由，可得，，，，，，，四邊形的面積的面積的面積．19．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖1，中，邊上的中線，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）若，，求和的長(zhǎng)；（2）①求證：；②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖2，作交線段于，連接，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的6倍時(shí)，求的值．【答案】（1）=2；=4；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）【詳解】（1）解：，，為等邊三角形，．是的中點(diǎn)，．，，，為直角三角形，，點(diǎn)為圓心，即為直徑，；，為在中點(diǎn)，為的中位線，；（2）①證明：連接，如圖，，，．，，，，，，，，；②解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，，．，，設(shè)，則，，，，，，，，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，，，，，，在和中，，．．，，，，，，，，即：，由（2）知：，，，在和中，，．．，是的垂直平分線，，，，．，的面積是面積的6倍，，的面積是的3倍，，的面積是的3倍，，，，，，，，，，解得：，．20．（2022?慈溪市一模）如圖1，在中，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直徑，為線段上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）證明：．（2）當(dāng)時(shí)，求．（3）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并確定的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）關(guān)于的函數(shù)解析式，的最大值為2【詳解】（1）證明：連接，，如圖，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直徑，，．是的垂直平分線．，，．．，．，．，，．，，．．（2）解：連接，如圖，，，．，．，設(shè)，則．．．．；（3）解：連接，，如圖，由（1）知：．．，．．．，．，是圓的直徑，．，，．，．．，．，．，，當(dāng)時(shí)，有最大值2．關(guān)于的函數(shù)解析式，的最大值為2．21．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的（圓心落在第四象限）交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，連結(jié)，已知．（1）（請(qǐng)用的代數(shù)式表示），并求證：；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，①若，求的長(zhǎng)；②若，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①4；②【詳解】（1），，，，，，，；故答案為：；（2）如圖1，若，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，即，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，在中，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）①如圖2，連接，，，，是的直徑，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，；②，，設(shè)，，其中，由①知：，，設(shè)，則，又，，，，，，，，由（1）知：，，在中，，，解得：，，，，，，，，，，即，，，．22．（2022?余姚市一模）如圖1，在中，，于，為邊上的點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的交于，連結(jié)，．（1）求證：．（2）若，求的面積．（3）如圖2，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，．①若為的中點(diǎn)，設(shè)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①；②見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：中，，，中，，，，．．四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，．在和中，，．；（2）解：連接，如圖，，，．，，，，為的直徑，，．，．，．，，．．．的面積；（3）解：①連接，，，如圖，為，，，，，．為的中點(diǎn)，．，，，．，，，；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖，，，，，．，為等腰直角三角形，．在和中，，，，，為等腰直角三角形，．．23．（2022?江北區(qū)模擬）如圖1，四邊形內(nèi)接于，是弧的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．（1）求證；．（2）如圖2，是上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，，求證：．（3）如圖3．在（2）的條件下，若是的直徑，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱．①當(dāng)時(shí)，求的值．②若，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【詳解】（1）證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，平分，，，，平分，，，即：，，；（2）證明：如圖1，連接，由（1）知：，，，，，，，，，，，；（3）①解：如圖2，連接，交于，作直徑，連接，設(shè)和交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，是的直徑，，，，，，，，，在中，，，，，；②如圖3，連接，交于，作直徑，連接，設(shè)和交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，由①得，，，，，，，，，設(shè)，，．24．（2022?寧波模擬）如圖，為半的直徑，點(diǎn)是圓弧上一點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且，過(guò)作弦，使點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，，．（1）如圖①，若，且，求的長(zhǎng)．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)是半上任一點(diǎn)時(shí)．求證：．（3）如圖②，若，，求與的函數(shù)關(guān)系式．（4）如圖②，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）【詳解】（1）解：連接，，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，；（2）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，；（3）解：，，，，設(shè)，，，，，，，即；（4）解：連接，，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，由（2）知，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，，．25．（2022?寧波模擬）已知為的直徑，弦交于點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），連結(jié)，，．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作弦于點(diǎn)，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連結(jié)，，交于點(diǎn)，若，，．①求的長(zhǎng)；②求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②5【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，，在的垂直平分線上，，在的垂直平分上，兩點(diǎn)確定一條直線，是的垂直平分線，；（2）證明：如圖2，，，，，，，于點(diǎn)，，，，，；（3）解：①如圖3，連接，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，；②延長(zhǎng)至，使，連接，，，為圓直徑，，在中，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得或5，，，即圓的半徑為5．26．（2022?寧波模擬）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作交于，連結(jié)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖②，若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示；（3）在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①見(jiàn)解析；②【詳解】（1）證明：如圖①，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，；（2）解：由（1）可得，，，則，，，，；（3）①證明：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，則，又，，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，即；②解：，，，又，，，即，設(shè)，，則，解得或（舍去），，，又，同理得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，．27．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）若的半徑為3，求的最大值；（3）如圖2，連接，設(shè)，，①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）36；（3）或【詳解】（1）證明：，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，；（2）解：，，即，又的半徑為3，．即的最大值為36；（3）解：①，，，過(guò)點(diǎn)作，不妨設(shè)，，，，，；②，，，即，將代入得，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或．28．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖1，銳角內(nèi)接于，弦于點(diǎn)．已知半徑為5，且．（1）求證：為等腰直角三角形．（2）若，求的面積．（3）若，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式．（4）如圖2，若的面積為，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，若