2021年考研數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)真題

1.設(shè)集合M={x|0VxV4},N={x|三WxW5},則MAN=

A.(x10<x<|)

B.{x||<x<4}

C.{x|4WxV5}

D.{x|0<xW5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭

年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

2

3.已知(1-i)z=3+2i,貝ijz=

A.-l--i

2

B.-l+-i

2

C.--+i

2

Dn.—31?

2

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分

記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V

滿(mǎn)足L=5+lgV。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記

數(shù)法的數(shù)據(jù)約為七1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知F“Fz是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn)，且NFFF2=60°,|PF』=3|PFj,

則C的離心率為

A必

2

B.叵

2

C.V7

D.V13

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱

錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正試圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

7.等比數(shù)列｛aj的公比為q,前n項(xiàng)和為S”，設(shè)甲：q>0,乙：｛Sj是遞增數(shù)

列,則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單

位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.右圖是三角高程測(cè)量法的一

個(gè)示意圖，現(xiàn)有以A,B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平而上的投影A，,B',

C'滿(mǎn)足N4C'B=45。,NA夕C'=60。.由c點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,曲，BB'

與CC'的差為100:由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面的

高度差A(yù)/l'-CC'約為（8=1.732）

A.346B.373C.446D.473

9.若ae(0,,-),tan2a=cosa,則tana=

272-sina

A.叵B.漁C.匹D.小

15533

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

A.iB.-C.-D.-

3535

11.已知A,B,C是半徑為1的求0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC，BC,AC=BC=1,則三

棱錐O-ABC的體積為

A.—B.—C.—D.—

121244

12.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x6[1,2]時(shí)，

f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則嗚)=

9375

A.--B.--C.-D.-

4242

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=第在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為o

14.已知向量a=(3,1),b=(l,0),c=a+kb,若a_Lc,則k=

15.已知Fl,F2為橢圓C：言+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)堆

成的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F#2l，則四邊形PFRR的面積為。

16.已知函數(shù)f(x)=2cos3x+(p)的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件(f(x)-

f(一為)(f(%)-f(y))＞。的最小正整數(shù)x為o

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)

機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如

下表：

*一級(jí)品。二級(jí)品。合計(jì)。

甲機(jī)床。15025g200。

乙機(jī)床。120^8g200。

合計(jì)。270。130。400。

⑴甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

⑵能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

附：依=Mad-be》

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K>k)0.0500.0100.001

K3.8416.635a10.828

18.（12分）

已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S.為｛aj的前n項(xiàng)和，從下面①（2）③中選取

兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列斜｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛同；｝是等差數(shù)列；③az=3a]

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（12分）

已知直三棱柱ABC-A三校中，側(cè)面AAiBiB為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC

和CCi的中點(diǎn),D為棱Ai中上的點(diǎn),BF_LAB.

⑴證明：BFJ_DE；

⑵當(dāng)為BQ何值時(shí)，面BBCC與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

20.（12分）

拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線L：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，且

OP±OQ.已知點(diǎn)M（2,0），且0M與L相切,

(1)求C,0M的方程；

(2)設(shè)A1,A2,A3,是C上的三個(gè)的直線A1A2,A1A3均與(DM相切,判斷A2A3

與OM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

21.(12分)

己知a>0且aWl,函數(shù)f(x)(x>0),

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

線C的極坐標(biāo)方程為p=2四cos0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足混=-2AM：寫(xiě)出

P的軌跡J的參數(shù)方程，并判斷C與J是否有公共點(diǎn).

23.［選修4一5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)畫(huà)出f(x)和y=g(x)的圖像；

(2)若f(x+a)2g(x)，求a的取值范圍.

答案：

1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.B

8.B

9.A

10.C

11.A

12.D

13.5x-y+2=0

10

re”，eBB，

14.3

15.8

16.2

17.正確答案

(1)由題意可知：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：150/200=3/4

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：120/200=3/5

(2)由于

所以，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

18.正確答案

情況一：選擇①③為條件，即數(shù)列*，蹄為等差數(shù)列，且'

證明：設(shè)等差數(shù)列%的公差為d,由題意可知，%.>0,d>0,且'

=做核

所以，d=2弒i,所以

臃?。主J時(shí)

,為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列。

情況二：選擇①②為條件。

證明：設(shè)等差數(shù)列"滿(mǎn)珀勺公差為d,則d>0

19.正確答案

(1)直棱柱ABC-A1B1C1,側(cè)面AA1B1B為正方形

所以A1B1=B1B=AB=BC=2

所以側(cè)面BB1C1C為正方形

取BC中點(diǎn)M,連接B1M和EM

因?yàn)镕為CC1重點(diǎn)，所以B1M±BF

由已知BF±A1B1

且A1Bd*B1M=B1

所以BF_L平面A1B1M

由于E為AC中點(diǎn),所以EMIIA1B1

20.正確答案

因?yàn)镺P±OQ,所以l-2P=0,2P=1,所以拋物線C為

M(2,0),L:x=l且圓M與L相切，所以圓M的方程為：

蜘為羯兩露，鼻羯力豳

(2)?A1(),A2(),A3()

由拋物線及圓M對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)密奧.>0

①若A1A2,A1A3中有一條切線斜率不存在，不妨設(shè)為A1A2

則