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GMM估計中文講義2線性模型y—x^P+£=XP+X卩+£iii1i12i2iE(x£)—0iiX是kX1,X是rX1,1=k+r。如果沒有其他約束,卩的漸進有效估計量是OLS1i 2i估計?,F(xiàn)在假設給定一個信息卩-0,我們可以把模型寫為,2y.=x:卩+£.,E(x£.)=0i1i1iii如何估計P?一種就是OLS估計。然而這種方法不是必然有效的,當在E(x£.)—0方1..程中有1個約束,然而p的維數(shù)k<1,這種情況稱為過渡識別。這里有r=1~k比自由參1數(shù)多的矩約束,我們稱r是過渡約束識別個數(shù)。讓g(y,z,x,P)是1X1個方程,參數(shù)P為kX1,且k<1,有Eg(y,z,x,P)=0 (1)...0P是p的真實值,在上面線性模型中有g(y,x,卩)—x(y-x'卩)。在計量經(jīng)濟學里,01這類模型稱為矩條件模型。在統(tǒng)計學中,這稱為估計方程。另外,我們還有一個線性矩條件模型,y.=z.'P+£.,E(x£.)=0..1...z和x的維數(shù)都是kX1,且有1X1,k<1,如果k—1則模型是恰好識別,否則是過..渡識別。變量z是x的一部分或是x的函數(shù)。模型(1)可以設置為,...TOC\o"1-5"\h\zg(y,z,x,P)=x(y-z'P) (2)...0GMM估計模型(2)樣本均值為g(P)—1Mg(卩)—1工x(y-z'P)—!(Xy-XZp) (3)nn.n...n.=1 .=1p的矩估計量就是設置g(p)—0。對于k<1個方程大于參數(shù)的情形,GMM估計思n想就是設置g(卩)近可能的接近于零。n
對于lxl加權矩陣W>0,讓nJ(0)=n-g(0)'Wg(0)n nnn這是向量g(0)長度的非負測度。例如,如果W=I,則有nnJ(0)=n?g(0)'g(0)=n-||g(0)||2。n n n nGMM估計就是最小化J(0),即定義0 =arg0J(0)。n GMM0n八1-ZXWkn丿n(1 八\-X'(y-Z0)5 丿注意,如果k=l,則g(0(1 八\-X'(y-Z0)5 丿0==2呂g(0)'Wg(0)=-2o0 d0nnn2(ZX)W(XZ)0=2(ZX)W(Xy)n則0的GMM估計為0 =((zx)w(xz))-1(zx)w(Xy)GMM n nGMM估計量的分布假設W—IW>0,令Q=E(xz')和0=E(xx'2)=E(gg')iiiiiiiIQ'WQ這里g=x「則二ZXWf-XZ]kIQ'WQ1Z1ZX]Wf1X'£kn丿IQ'WN(0,0)定理1: 7N(0-卩)IN(0,V)V=(QWQ)-i(Q'W0WQ)(Q'WQ)-1為了使V最小,最優(yōu)加權矩陣W=0-1(證明留作練習)。這產(chǎn)生了最有效的GMM估計量:00 =(zX0-1xz)-1zX0-1xyGMM這時,我們有定理2:對于有效的GMM估計量,麗(0-0)——^N(0,(Q'0-1Q)-1)實際上W=0-1是未知的,但它能一致估計。對于任何W——^W,我們?nèi)匀环Q0是有0 n 0效的GMM估計量,且有相同的漸進分布。有效即意味著GMM估計量有最小的漸進方差。當我們只考慮加權矩陣W,這是弱有n
效概念。然而GaryChamberlain(1987)證明這個GMM估計量是半?yún)?shù)有效的。有效加權矩陣估計對于給定的W>0,P的GMM估計量是一致但不是有效的,例如W=1。在線性模型,
nnl一個較好的選擇是W=(XX)-1。給定第一步估計量,我們定義殘卷=y-z'B,矩方程niii=g=g(y,z,x,0),iii構造1£gnii=1定義w=n[丄工定義w=n[丄工g*g*TIn耳」丿-工g.g,-ggniii=1nn)-1丿那么有W—^0-1=W,使用W得到的GMM估計量是漸進有效的。TOC\o"1-5"\h\zn 0 nC1 )-1一個替代性選擇是W=—£gg',使用非中心化的矩條件。因為Eg=0,這兩nIn.,l°丿 iI=1種估計量在正確的假設下是漸進相等的。然而,AlastairHall(2000)指出非中心化估計量是較差的選擇。當構造假設檢驗,備擇假設下的矩條件是無效的,如Eg鼻0,所以非中心化的估.計量包含著偏誤項,以及對檢驗勢的影響。對于線性模型,有效的GMM估計量可以這樣計算,首先,設置W=(XX)-1,使用此n加權矩陣估計0,構造殘差£=y-z'0,矩方程g=X£=g(y,z,x,0)。則gmm估.........計為0=(zx(g'g-ng于)-1xzLzx(g境-ng于)-1xynn nn在多數(shù)例子中,當我們說“GMM”時,其實我們就意味著是“有效GMM”。當有效估計量比較容易計算時,有一點需要注意就是我們在使用非有效的GMM估計量。0的漸進方差估計量為,V=n(ZX(gg-ngg')-1XZLnn剛才給出的兩階段GMM估計的一個重要替代估計方法,是L.Hansen,HeatonandYaron(1996)的continuously-updatedGMM估計。即我們讓加權矩陣是0的函數(shù),則矩條件方程是,
(i A-1J(P)=ng(p)'-Yg*(p)g*(p)'nIni-Z°丿g*(P)=g(P)-g(P)i in定理3:在一般規(guī)則條件下,JN(P—卩)N(0,(GQ-iG)--),0二(E(gg'))--,ii(Qg(Qg.(P)]Q的方差由Ge?-1估計,4心]g;g;'Qg(P)過度識別
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