專題2-8恒成立和存在型求參歸類（講練）（原卷版）

專題恒成立和存在型求參歸類一、知識梳理與二級結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】參變分離基礎(chǔ)型【題型二】參變分離：虛設(shè)零點【題型三】參變分離：洛必達(dá)法則【題型四】分類討論求參型【題型五】分類討論求參：端點值型【題型六】分類討論求參：隱零點型【題型七】分類討論求參：整數(shù)型【題型八】同構(gòu)型求參數(shù)【題型九】x1與x2型求參：恒成立與存在型【題型十】x1與x2型求參：值域子集型【題型十一】x1與x2型求參：絕對值分離同構(gòu)【題型十二】數(shù)列型恒成立求參【題型十三】三角函數(shù)型恒成立存在求參三、高考真題對點練四、最新模考題組練知識梳理與二級結(jié)論一、虛設(shè)零點法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決虛設(shè)零點轉(zhuǎn)化技巧：（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍。二、常見同構(gòu)技巧：三、洛必達(dá)法則：1.洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型。2.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。3.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在與上可導(dǎo)，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。四、恒（能）成立問題的解法：1.若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.2.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.五.對于含有全稱量詞，特稱量詞的題目，有以下常見結(jié)論：；；.六.不等式恒成立（能成立）問題，一般有兩種方法：方法1：分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.熱點考題歸納【題型一】參變分離型【典例分析】已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．【提分秘籍】參變分離型求參數(shù)：參變分離：當(dāng)不等式含有兩個字母時，其中一個有定義域的為變量，另外一個則為參數(shù)。兩個變量比較容易拆開時，則用參變分離。不容易拆開時，則可以采用分類討論和最值分析法來解決這類問題。

如何確定參數(shù)與變量：一般情況下，有范圍的字母為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，所求的字母（一般情況下）看為參數(shù)。參變分離發(fā)的適用范圍：恒成立或者存在問題求參數(shù)、是否能分離變量，如能分離（參數(shù)），則可以通過對變量函數(shù)求最值得到。、參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否能求出最值（端點值或臨界值），若無法求出最值，則無法用參變分離解決?！咀兪窖菥殹浚◤V東省湛江市第二十一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三3月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【題型二】參變分離求參：虛設(shè)零點型【典例分析】（2020秋·遼寧營口·高三營口市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值．【提分秘籍】虛設(shè)零點轉(zhuǎn)化技巧：（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍?！咀兪窖菥殹浚?023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對，恒成立，求的取值范圍.【題型三】參變分離求參：洛必達(dá)法則型【典例分析】已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【提分秘籍】若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

【變式演練】已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直．（1）求實數(shù)的值；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【題型四】分類討論求參型【典例分析】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的最小值.【提分秘籍】分類討論法：考慮導(dǎo)函數(shù)等0時是否有實根，從而分類討論導(dǎo)函數(shù)有實根，但是實根是否落在定義域內(nèi)，從而討論。導(dǎo)函數(shù)有實根，導(dǎo)函數(shù)也落在定義域內(nèi)，但是這些實根的大小關(guān)系不確定從而進(jìn)行討論【變式演練】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【題型五】分類討論求參：端點值型【典例分析】（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，求．(2)證明：，．【提分秘籍】端點值效應(yīng)：端點值效應(yīng)，是通過端點值來縮小參數(shù)范圍，從必要條件入手尋找充要條件。1、恒成立或者存在求參數(shù)型題2、函數(shù)的最值只可以再極值點和端點值處取得3、本質(zhì)是“求函數(shù)的值域”問題?！咀兪窖菥殹?全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍【題型六】分類討論求參：隱零點【典例分析】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點；(2)記的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.【提分秘籍】虛設(shè)零點法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決【變式演練】（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若過點作曲線的切線有且僅有一條，求實數(shù)t的值；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【題型七】分類討論求參：整數(shù)型參數(shù)【典例分析】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)寫出一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得恒成立，并證明．【提分秘籍】討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號【變式演練】（2022屆高三下學(xué)期臨考沖刺原創(chuàng)卷（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得對恒成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由．【題型八】同構(gòu)型求參數(shù)【典例分析】（河北省衡水中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，都，求k滿足的取值范圍．【提分秘籍】同構(gòu)法求參數(shù)范圍通過對原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q或者變換，可以帶到一個與之相同（同構(gòu)，結(jié)構(gòu)相同，性質(zhì)相同）的新函數(shù)，新函數(shù)相對容易處理。利用同構(gòu)法，可以講原函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個更簡單的問題，并通過求導(dǎo)求最值進(jìn)行分析從而得到參數(shù)范圍。同構(gòu)法求解參數(shù)范圍：尋找原函數(shù)及其特點進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃畏绞?。對?gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析根據(jù)新函數(shù)極值最值等得到參數(shù)范圍【變式演練】（2022秋·江蘇揚州·高三儀征中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【題型九】x1與x2型求參：恒成立與存在型【典例分析】（陜西省咸陽市高新一中2022-2023學(xué)年高三理科數(shù)學(xué)試題（A卷））已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數(shù)f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.【提分秘籍】一般地，已知函數(shù)，(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【變式演練】（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，在處取得極小值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的極值；(3)設(shè)函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．【題型十】x1與x2型求參：值域子集型【典例分析】（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；(2)若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)根，求的取值范圍；(3)若對任意，總存在唯一的，使得，求的取值范圍．【提分秘籍】一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域為A,的值域為B,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；【變式演練】（2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)：.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）對于任意的都存在唯一的使得，求實數(shù)a的取值范圍.【題型十一】x1與x2型求參：絕對值型分離同構(gòu)型【典例分析】（河南省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三12月大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)，，，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【提分秘籍】1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值。2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)?！咀兪窖菥殹浚?021-2022學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三一調(diào)考試數(shù)學(xué)）已知（1）討論的單調(diào)性，（2）當(dāng)時，若對于任意，都有,求的取值范圍.【題型十二】數(shù)列型恒成立求參【典例分析】（河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考圓夢計劃2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．【變式演練】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)為整數(shù)，且對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求的最小值；(3)證明：.【題型十三】三角函數(shù)型恒成立存在求參【典例分析】已知函數(shù)，．(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【提分秘籍】三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求參：正余弦的有界性三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【變式演練】（江蘇省鹽城市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研（五）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，若，證明：．(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍．高考真題對點練1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．最新模考真題1．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若對任意，恒成立，求整數(shù)m的最小值.2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù)﹔(2)當(dāng)時