第六章 定積分及其應用 總結

第六章定積分6.1定積分的概念和性質一、定積分問題舉例 設在區(qū)間上非負、連續(xù)，由，，以及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。 二、定積分的定義 定義定積分 設函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間：各個小區(qū)間的長度依次為，，…，。在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)與小區(qū)間長度的乘積（），并作出和。 記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣取法，只要當時，和總趨于確定的極限，這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即==,其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。定理1可積性定理設在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。定理2可積性定理設在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則在區(qū)間上可積。三．定積分的性質兩個特殊的定積分（1）如果在點有意義，則；（2）如果在上可積，則。.定積分的線性性設函數(shù)和在上都可積，是常數(shù)，則和+都可積，并且（1）=;(2)=+(3)=-.性質3定積分對于積分區(qū)間的可加性設在區(qū)間上可積，且，和都是區(qū)間內的點，則不論，和的相對位置如何，都有=+。性質4如果在區(qū)間上1，則==。性質5如果在區(qū)間上,則。推論1。2定積分的可比性如果在區(qū)間上，，則，。用通俗明了的話說，就是定積分保持不等號。性質6積分的有界性如果在上連續(xù)，且對任意的，都有，則。性質7積分中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點，使下式成立=，且=稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值。6.2微積分基本定理一．積分上限的函數(shù)及其導數(shù)定理1微積分基本定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限函數(shù)=在上可導,并且它的導數(shù)是==.定理2原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)=就是在上的一個原函數(shù).二.牛頓-萊布尼茨公式定理3微積分第一基本定理如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則=稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件(1),;(2)在(或)上具有連續(xù)導數(shù),且其值域,則有=,上面的公式叫做定積分的換元公式.二、定積分的分部積分法根據(jù)不定積分的分部積分法,有簡寫為=或=.6.4反常積分一.無窮限的反常積分定義1設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取,如果極限存在且為有限值,則此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分,記作,即=.這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分就沒有意義,習慣上稱為反常積分發(fā)散.設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在且為有限值，則此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即=，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，就稱反常積分發(fā)散。定義設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果反常積分和都收斂，則稱上述反常積分之和為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即=+=+這時也稱反常積分收斂；否則就稱反常積分發(fā)散。二、無界函數(shù)的反常積分定義無界函數(shù)反常積分設函數(shù)在半開閉區(qū)間上連續(xù),且,則如果等式右邊的極限存在且為有限值,此時稱反常積分收斂,否則稱反常積分發(fā)散.無界函數(shù)的反常積分定義設函數(shù)在半開半閉區(qū)間上連續(xù),且,則,如果等式右邊的極限存在且為有限值,此時稱反常積分收斂,否則稱反常積分發(fā)散.積分函數(shù)在內點極限為∞的反常積分設函數(shù)在在上除點外連續(xù),且,則定義如果等式右邊的兩個反常積分都收斂，否則稱反常積分發(fā)散.一類特殊的反常積分6.5定積分的幾何應用一、定積分的元素法面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間分割成個長度為的小區(qū)間，相應的曲邊梯形被分為個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形的面積為，則.（2）取出的近似值（3）求和，得A的近似值（4）取極限，得A的精確值二、平面圖形的面積(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)30),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積面積微元:面積(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:及y軸圍成的平面圖形的面積為及y軸圍成的平面圖形的面積為：二、立體的體積1、旋轉體的體積一般地,如果旋轉體是由連續(xù)曲線、直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋