差分方程的求解

本章的內(nèi)容1.離散時(shí)間信號(hào)-序列2.離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.常系數(shù)線性差分方程的求解4.離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng)5.卷積6.反卷積第一頁第二頁，共91頁。第一節(jié)

前言第二頁第三頁，共91頁。一、離散時(shí)間系統(tǒng)研究的發(fā)展史離散時(shí)間系統(tǒng)研究的歷史：17世紀(jì)的經(jīng)典數(shù)值分析技術(shù)—奠定它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。20世紀(jì)40和50年代的研究抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)60年代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用是離散時(shí)間系統(tǒng)的理論研究和實(shí)踐進(jìn)入一個(gè)新階段。1965年庫(kù)利（J.W.Cooley)和圖基(J.W.Tukey)—發(fā)明FFT快速傅里葉變換。同時(shí)，超大規(guī)模集成電路研制的進(jìn)展使得體積小、重量輕、成本低的離散時(shí)間系統(tǒng)得以實(shí)現(xiàn)。用數(shù)字信號(hào)處理的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)和分析各種問題。20世紀(jì)未，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)迅速發(fā)展。如通信、雷達(dá)、控制、航空與航天、遙感、聲納、生物醫(yī)學(xué)、地震學(xué)、核物理學(xué)、微電子學(xué)…。第三頁第四頁，共91頁。二、離散時(shí)間系統(tǒng)、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析對(duì)比時(shí)域經(jīng)典求解方法：相同。先求齊次解，再求特解。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：微分方程描述差分方程描述時(shí)域卷積（和）求解方法：相同，重要。變換域求解方法：拉普拉斯變換與傅里葉變換法z變換與序列傅里葉變換、離散傅里葉變換運(yùn)用系統(tǒng)函數(shù)的概念：處理各種問題。第四頁第五頁，共91頁。三、離散、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)研究的差異研究二者差異主要方面：1、數(shù)學(xué)模型的建立與求解2、系統(tǒng)性能分析3、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)原理4、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)注重研究一維變量的研究，離散時(shí)間系統(tǒng)更注重二維、三維或多維技術(shù)的研究。離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)：1、精度高，便于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成2、重量輕、體積小3、靈活，通用性第五頁第六頁，共91頁。四、離散時(shí)間系統(tǒng)研究第六頁第七頁，共91頁。第二節(jié)

離散時(shí)間信號(hào)——序列第七頁第八頁，共91頁。一、離散時(shí)間信號(hào)概念第八頁第九頁，共91頁。離散信號(hào)概念各線段的長(zhǎng)短——各序列值的大小。x(n)圖解表示：n——橫坐標(biāo)并取整數(shù);縱坐標(biāo);

－－表示原點(diǎn)位置第九頁第十頁，共91頁。

離散信號(hào)的運(yùn)算二、離散信號(hào)的運(yùn)算第十頁第十一頁，共91頁。離散信號(hào)的運(yùn)算第十一頁第十二頁，共91頁。舉例6.1第十二頁第十三頁，共91頁。離散信號(hào)的運(yùn)算第十三頁第十四頁，共91頁。離散信號(hào)的運(yùn)算第十四頁第十五頁，共91頁。典型離散信號(hào)１）單位樣值序列（單位沖激序列）：ＵnitSample/UnitImpulse三、典型離散信號(hào)第十五頁第十六頁，共91頁。典型離散信號(hào)n=0,其值=1第十六頁第十七頁，共91頁。典型離散信號(hào)第十七頁第十八頁，共91頁。典型離散信號(hào)第十八頁第十九頁，共91頁。典型離散信號(hào)第十九頁第二十頁，共91頁。典型離散信號(hào)第二十頁第二十一頁，共91頁。典型離散信號(hào)復(fù)序列可用極坐標(biāo)表示：第二十一頁第二十二頁，共91頁。

離散信號(hào)的分解四、離散信號(hào)的分解第二十二頁第二十三頁，共91頁。作業(yè)下冊(cè)P367-1，7-2，7-4。第二十三頁第二十四頁，共91頁。第三節(jié)

離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二十四頁第二十五頁，共91頁。一、離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)x(n)y(n)第二十五頁第二十六頁，共91頁。二、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性LTI基本特性線性時(shí)不變離散系統(tǒng)滿足：均勻性和疊加性。離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)第二十六頁第二十七頁，共91頁。二、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性LTI基本特性離散時(shí)間系統(tǒng)x(n-N)y(n-N)離散時(shí)間系統(tǒng)x(n)y(n)第二十七頁第二十八頁，共91頁?；締卧?、離散時(shí)間系統(tǒng)的基本單元基本單元:第二十八頁第二十九頁，共91頁。舉例6.2

整理得：第二十九頁第三十頁，共91頁。常系數(shù)線性差分方程：（遞歸關(guān)系式）數(shù)學(xué)模型四、離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三十頁第三十一頁，共91頁。差分方程與微分方程：離散、連續(xù)模型之間聯(lián)系五、離散、時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系第三十一頁第三十二頁，共91頁。舉例3-5假定每對(duì)兔子每月可以生育一對(duì)小兔，新生的小兔子要隔一個(gè)月才具有生育能力，若第一個(gè)月只有一對(duì)新生小兔，求第n個(gè)月兔子對(duì)的數(shù)目是多少？解：設(shè)第n個(gè)月兔子對(duì)的數(shù)目為y(n)?？芍簓(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5…可以想到：第n個(gè)月時(shí)，應(yīng)有y(n-2)對(duì)兔子具有生育能力，因而從y(n-2)對(duì)變成2y(n-2)對(duì)；另外，還有y(n-1)-y(n-2)對(duì)兔子沒有生育能力；（新生的）即其差分方程為：y(n)=2y(n-2)+[y(n-1)-y(n-2)]整理得：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0

費(fèi)班納西（Fibonacci）數(shù)列第三十二頁第三十三頁，共91頁。作業(yè)P377-5，7-8，7-9，7-10第三十三頁第三十四頁，共91頁。第四節(jié)

常系數(shù)線性差分方程的求解第三十四頁第三十五頁，共91頁。

差分方程的求解方法求解方法：一、求解常系數(shù)線性差分方程的方法第三十五頁第三十六頁，共91頁。時(shí)域經(jīng)典求解：差分方程的時(shí)域經(jīng)典求解二、時(shí)域經(jīng)典求解第三十六頁第三十七頁，共91頁。差分方程的求解1、齊次解第三十七頁第三十八頁，共91頁。差分方程的求解2、特解第三十八頁第三十九頁，共91頁。差分方程的求解3、完全解—矩陣形式第三十九頁第四十頁，共91頁。差分方程的求解第四十頁第四十一頁，共91頁。差分方程的求解第四十一頁第四十二頁，共91頁。完全響應(yīng)的分解：差分方程的求解3、完全響應(yīng)的分解第四十二頁第四十三頁，共91頁。差分方程的求解第四十三頁第四十四頁，共91頁。舉例3.6:第四十四頁第四十五頁，共91頁。舉例3.6:第四十五頁第四十六頁，共91頁。舉例3.6:第四十六頁第四十七頁，共91頁。舉例3.6:第四十七頁第四十八頁，共91頁。舉例3.8:第四十八頁第四十九頁，共91頁。舉例3.8:第四十九頁第五十頁，共91頁。舉例3.8:第五十頁第五十一頁，共91頁。舉例3.10:第五十一頁第五十二頁，共91頁。舉例3.10:第五十二頁第五十三頁，共91頁。舉例3.10:第五十三頁第五十四頁，共91頁。舉例3.10:第五十四頁第五十五頁，共91頁。作業(yè)P387-12，7-14，7-17,7-23第五十五頁第五十六頁，共91頁。第五節(jié)

離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值（單位沖激）響應(yīng)第五十六頁第五十七頁，共91頁。單位樣值響應(yīng)第五十七頁第五十八頁，共91頁。舉例6.6:第五十八頁第五十九頁，共91頁。舉例6.6:第五十九頁第六十頁，共91頁。作業(yè)P407-32，7-33第六十頁第六十一頁，共91頁。第六節(jié)

卷積（卷積和）第六十一頁第六十二頁，共91頁。一、卷積和1.卷積和方法求響應(yīng)第六十二頁第六十三頁，共91頁。卷積和方法求響應(yīng)第六十三頁第六十四頁，共91頁。舉例4.15：第六十四頁第六十五頁，共91頁。舉例4.15：第六十五頁第六十六頁，共91頁。舉例4.15：第六十六頁第六十七頁，共91頁。舉例4.15：第六十七頁第六十八頁，共91頁。舉例4.16：第六十八頁第六十九頁，共91頁。舉例6.7：第六十九頁第七十頁，共91頁。作業(yè)P417-31第七十頁第七十一頁，共91頁。第七節(jié)

解卷積（反卷積）第七十一頁第七十二頁，共91頁。2.解卷積求激勵(lì)或沖激響應(yīng)第七十二頁第七十三頁，共91頁。解卷積求激勵(lì)或沖激響應(yīng)第七十三頁第七十四頁，共91頁。解卷積求激勵(lì)或沖激響應(yīng)發(fā)射天線目標(biāo)接收天線第七十四頁第七十五頁，共91頁。復(fù)習(xí)1.離散時(shí)間信號(hào)-序列2.離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.常系數(shù)線性差分方程的求解4.離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng)5.卷積6.反卷積第七十五頁第七十六頁，共91頁。1.離散時(shí)間信號(hào)-序列各線段的長(zhǎng)短——各序列值的大小。x(n)圖解表示：n——橫坐標(biāo)并取整數(shù);縱坐標(biāo);

－－表示原點(diǎn)位置第七十六頁第七十七頁，共91頁。離散信號(hào)的運(yùn)算第七十七頁第七十八頁，共91頁。１）單位樣值序列（單位沖激序列）典型離散信號(hào)第七十八頁第七十九頁，共91頁。第七十九頁第八十頁，共91頁。

離散信號(hào)的分解第八十頁第八十一頁，共91頁。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)滿足：均勻性和疊加性。2.離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第八十一頁第八十二頁，共91頁。基本單元:離散時(shí)間系統(tǒng)的基本單元第八十二頁第八十三頁，共91頁。常系數(shù)線性差分方程：（遞歸關(guān)系式）離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第八十三頁第八十四頁，共91頁。