概率統(tǒng)計(jì)浙大版第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例.例1某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請(qǐng)注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例101200.20.80120.60.30.1問(wèn)誰(shuí)的水平較高？例2二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來(lái)近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分絕對(duì)收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即請(qǐng)注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.例3三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問(wèn)題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái).一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時(shí),它的分布律為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為f(x).若定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。例4例4:設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).

解

例5:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求E(XY)和EX.解四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立解由題意

于是

例8一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)按題意

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.第二節(jié)方差

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心由此可見(jiàn),研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差

能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.一、方差的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.若X的取值比較集中，則方差D(X)較??；因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量。X為離散型，分布律P{X=xk}=pk由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，X概率密度f(wàn)(x)計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開(kāi)證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)例1設(shè)隨機(jī)變量X具有(0—1）分布，其分布律為求D(X).解由公式因此,0-1分布例2解X的分布律為上節(jié)已算得因此,泊松分布例3解因此,均勻分布例4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布例5:設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為f(x),求D(X).解于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(X+C)=D(X),D(CX)=C2

D(X);3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4.

D(X)=0P{X=C}=1,這里C=E(X)特別如果X,Y相互獨(dú)立,則此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.下面我們證明性質(zhì)3證明若X,Y相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.例6設(shè)X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設(shè)i=1,2，…，n

則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)解X~B(n,p),“成功”次數(shù).則X表示n重伯努利試驗(yàn)中的于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),例7解于是例如,例8解由于故有四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.證我們只就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡(jiǎn)單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y