構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題

#構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題摘要數(shù)與行是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。因此，數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”本課題調(diào)查研究中主要研究“以形助數(shù)”的情形。關(guān)鍵詞數(shù)形結(jié)合解題以形助數(shù)教學(xué)1?“以形助數(shù)”的思想應(yīng)用1.1解決集合問題：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。例：已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A"〕B。分析：對于這兩個有限集合，我們可以將它們在數(shù)軸上表示出來，就可以很清楚地知道結(jié)果。如下圖，由圖我們不難得出AjB=[0,3]B=[-2,3]A=[0,4]X.4B=[-2,3]A=[0,4]X.4例：(2009湖南卷文)某班共30人，其中15人喜歡籃球運動，10人喜歡乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為分析：如下圖，設(shè)所求人數(shù)為x，則只喜愛乒乓球運動的人數(shù)為10-(15-x)=x-5,故15+x-5=30-8nx=12兩B：只喜愛工入15__兩B：只喜愛工入15__尢人5人兩種運動卜只喜曙I樋磁動評價：通過上面兩個典型例題的學(xué)習，我們基本了解了構(gòu)造幾何圖形在代數(shù)問題中的簡單應(yīng)用，將抽象的集合問題形象地用圖形表現(xiàn)出來，形象生動便于思考，找出問題中條件間的相互關(guān)系進而方便快捷地解答。1?2解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。例：（2009山東理）若函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a豐1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是分析：設(shè)函數(shù)y=ax（a>0,且a豐1）和函數(shù)y二x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a豐1）有兩個零點，就是函數(shù)y=ax（a>0,且a豐1）與函數(shù)y=x+a有兩個交點，由圖象可知當0va<1時兩函數(shù)只有一個交點，不符合，當a>1時，因為函數(shù)y二ax（a>1）的圖象過點（0，1），而直線y二x+a所過的點一定在點（0,1）的上方，所以一定有兩個交點，所以一定有兩個交點，所以實

時，若只采用代數(shù)的方法思考問題，往往會太過于抽象或無從下手。但如果根據(jù)函數(shù)的定義，引入圖象，使所求的問題具體化，可從圖中一目了然，則達到事半

功倍的效果。1.3解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。例:若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3_x)在xe(°，3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。分析：原方程可化為-(x-2)2+1=m(0<x<3)，設(shè)y=一(x一2)2+1(0<x<3),y=m12在同一坐標系中畫出它們的圖像，如下圖，由原方程在(0,3)內(nèi)有唯一解，知y與y的圖象只有一個公共點，可見m的取值范圍是-l<m<0或m=l。12例：已知不等式/x+1)27x一2)2>m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m取值。分析：J(x+1)2表示數(shù)軸上點X到點(-1)的距離，J(x-2)2表示數(shù)軸上點X到點2的距離。數(shù)軸上點X到點(-1)的距離與點X到點2的距離的和的最小值為3，即x+1)2+Q(x-2)2>3，所以實數(shù)m的范圍是:m<3.評價：方程問題和不等式問題歸根結(jié)底也就是函數(shù)問題的變形，只要我們根據(jù)題意條件循序漸進地找出突破口，便可同樣很好地利用圖象簡捷地解決。1.4解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。sinx+2y=~例:求cosx-2最值分析：我們可以把（cosx,sinx）看成是單位圓周上的一點，sinx+2可以理解cosx-2為點（cosx,sinx）與點（2，-2）連線的斜率。由圖可知，斜率的最大值與最小值應(yīng)為通過點（2,-2）且與單位圓相切的兩條切線的斜率，設(shè)點（2,-2）且與單位圓相切的直線方程為：y+2=k（x-2），利用圓心（0,0）到切線的距離為圓的半徑1,可以求出斜率k的范圍：4?<k<土2，所以33評價：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點，在解題時要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖像和性質(zhì)結(jié)合起來，通過圖象直觀地感受題目的要義，為解題提供方便。1.5解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。例:（08年高考湖南卷理改編）已知變量x,y滿足條件x-1，x-y<°，x+2y-9<0，求x+y的最大值。分析：本題實質(zhì)是線性規(guī)劃問題，運用圖象畫平面區(qū)域，再求線性目標函數(shù)的最值。如圖所示，可行域為圖中陰影部分（包括邊界線），則z=x+y在A點處取得，3），，3），故最大值為3+3=6.評價：線性規(guī)劃位于不等式和直線方程的結(jié)合點，是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和熟練運用數(shù)形結(jié)合能力的重要內(nèi)容。1?6解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析,從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。例:若數(shù)列為等差數(shù)列，"p二q，舄二P，求ap+q分析：如圖，由于等差數(shù)列中a的圖象是一條直線上均勻排開的孤立的點，故n三點A(p,q)，B(q,p)，C(p+q,m)共線，所以k二k，即—_-=mP，得ABACq-pp+q-qm=0,即a=0p+q評價：人們在解決數(shù)列問題時，習慣用代數(shù)的思維方法，如果將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)列中，運用數(shù)形結(jié)合的思想和方法看待和解決數(shù)列問題，往往會有異樣的收獲。2?“以形助數(shù)”的思想總結(jié)2.1“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”問題的途徑和基本思路2.1.1數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題一般有三種途徑：應(yīng)用平面幾何知識，應(yīng)用立體幾何知識，應(yīng)用解析幾何知識將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題。2.1.2對于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類問題，解決問題的基本思路：明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結(jié)論出發(fā)，先觀察分析其是否相似（相同）于已學(xué)過的基本公式（定理）或圖形的表達式，再做出或構(gòu)造出與之相適合的圖形，最后利用已經(jīng)做出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求解）的目標去解決問題。2.1.3常見“以形助數(shù)”的方法：（1）借助于數(shù)軸，運用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對值有關(guān)的問題，解決數(shù)集的交、并、補、運算等問題是非常有效的。（2）借助于函數(shù)圖像，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結(jié)合的基本方法。2.2“數(shù)形結(jié)合”思想在解題過程中注意點數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。2.3數(shù)形結(jié)合的意義數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，也就是數(shù)與形，數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)主體，是中學(xué)數(shù)學(xué)論述的兩個重要內(nèi)容?！皵?shù)”與“形”既有區(qū)別，又有聯(lián)系，“坐標法”實現(xiàn)了它們之間的轉(zhuǎn)化?！皵?shù)形結(jié)合”的思想不僅使幾何、代數(shù)、三角知識相互滲透融于一題，又能提示問題的裨益，在解題方法上簡潔明快，獨辟蹊徑，能開發(fā)智力，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維提高分析問題和解決問題的能力。華羅庚教授曾指出：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”由此可見數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的重要地位，它是數(shù)學(xué)思想方法的核心。因此，應(yīng)用數(shù)行結(jié)合的思想，可以解決許多復(fù)雜的代數(shù)問題。2.4數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的重要性2.4.1加強數(shù)形結(jié)合思想的概念教育數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”思想大部分源于概念教學(xué)過程，加強對基本概念的教學(xué)，是掌握數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。在正常的教學(xué)活動中，教師要有意識的將抽象概念知識形象化，使學(xué)生加深對概念的理解和掌握，為以后利用概念不同的表達形式來解決復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題打下堅實的基礎(chǔ)。特別是一些明顯具有幾何意義的概念，如復(fù)數(shù)的模、直線的斜率、導(dǎo)數(shù)等，這些就需要老師在講解其文字意義的同時賦予圖形表征，這樣學(xué)生便能更容易接受，而且記憶深刻，遇到題目時能夠想到相關(guān)知識進而靈活應(yīng)用。因此，我覺得對數(shù)形結(jié)合的概念教育也是不可忽視的環(huán)節(jié)，它不僅可以幫助教師得心應(yīng)手地進行課堂教學(xué)，而且也有助于學(xué)生開發(fā)其創(chuàng)新意識和提高思維能力。2.4.2如何應(yīng)用好“數(shù)形結(jié)合”思想？（1）結(jié)合學(xué)生的認真結(jié)構(gòu)循序漸進地逐步滲透數(shù)學(xué)思想。教學(xué)不是對角戲，而是教師與學(xué)生進行溝通交流的過程，教師的責任不僅僅是將知識填鴨式的寫在黑板上讓學(xué)生記住，而是以學(xué)生為主體，根據(jù)他們的需要和能力制定適當?shù)慕虒W(xué)目標和教學(xué)計劃。數(shù)學(xué)教育亦是如此，鑒于數(shù)學(xué)本身就是一門較為難學(xué)的科目，所以更要循序漸進地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)思想。在解決問題的過程中，潛移默化地理解“數(shù)形結(jié)合”思想，所以不僅要結(jié)合問題，而且要考慮學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。在學(xué)習中不斷積累數(shù)形結(jié)合的素材，讓學(xué)生逐步體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點。這樣學(xué)生就可以循序漸進地理解運用這一數(shù)學(xué)思想，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)和素養(yǎng)。（2