《高等數(shù)學(xué)（下冊）》（陽平華）646-1教案 第12章 第23課 對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分

23第23第課對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分第課23PAGE10 PAGE10PAGE9 PAGE9對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分第課23

課題對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)，及其計(jì)算（2）理解對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)，及其計(jì)算（3）理解對弧長的曲線積分與對坐標(biāo)的曲線積分的關(guān)系思政育人目標(biāo)：通過講解對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：對弧長的曲線積分的計(jì)算、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（30min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】通過引例講解對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)為面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)在上有界．在上用任意的點(diǎn)把曲線弧分割成個小弧段，記第個小弧段的長度為，并在上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和．令，當(dāng)時，若極限存在，且該極限與的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在曲線上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即，其中稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段（積分路徑），稱為弧微分．如果是封閉曲線，那么該曲線積分就記為．上述定義可推廣到空間曲線弧上，類似地，定義函數(shù)在光滑空間曲線弧的第一類曲線積分為．可以證明，當(dāng)被積函數(shù)在光滑曲線弧上連續(xù)時，對弧長的曲線積分總是存在的．后面若無特殊說明，我們總假定被積函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)．對弧長的曲線積分與定積分、重積分具有相似的性質(zhì)．下面以平面曲線積分為例，敘述其性質(zhì)．性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則．性質(zhì)2（可加性）若曲線弧是由兩段光滑的曲線弧和組成，則．性質(zhì)3設(shè)曲線弧的弧長為s，則．性質(zhì)4若在曲線弧上有，則，特別地，有．【學(xué)生】理解對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)【教師】講解對弧長的曲線積分的計(jì)算定理設(shè)函數(shù)在曲線弧上連續(xù)，的參數(shù)方程為，且．（12-1）由以上定理可知，在計(jì)算對弧長的曲線積分時，只要將被積表達(dá)式中的依次換為，然后從到作定積分即可．則．（12-2）類似地，如果曲線的方程為，則．如果曲線的方程用極坐標(biāo)來表示，即，則．以上定理可推廣到空間曲線?。O(shè)的參數(shù)方程為，則有這里連續(xù)且不同時為零．例1計(jì)算曲線積分，其中是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧，如圖12-2所示．圖12-2解的方程為，根據(jù)公式（12-2），可得例2計(jì)算曲線積分，其中為的第二象限部分．解法一用極坐標(biāo)形式表示圓在第二象限部分的參數(shù)方程，即，因?yàn)橛谑牵夥ǘ⒈硎緸?，因?yàn)?，于是．，這里是積分區(qū)域的體積．（例3詳見教材）【學(xué)生】掌握對弧長的曲線積分的計(jì)算學(xué)習(xí)對弧長的曲線積分。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)是平面上從點(diǎn)到點(diǎn)的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)，在上有界．記，在上沿的方向任意取個點(diǎn)，，把曲線弧分成個有向小弧段．設(shè)，，在小弧段上任意取一點(diǎn)，作乘積，并作和．令，當(dāng)時，若極限存在，且該極限與曲線弧的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標(biāo)x的曲線積分，記作．類似地，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標(biāo)y的曲線積分，記作，即，，其中，，稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段或積分路徑．上述兩個式子可合起來記作．以上的積分稱為對坐標(biāo)的曲線積分或第二類曲線積分．將上述定義推廣到空間有向光滑曲線弧的情形，則有可以證明，當(dāng)被積函數(shù)在有向光滑曲線弧上連續(xù)時，對坐標(biāo)的曲線積分都存在，后面若無特殊說明，我們總假定被積函數(shù)在上連續(xù)．根據(jù)上述定義可推導(dǎo)出對坐標(biāo)的曲線積分有如下性質(zhì)．性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則．性質(zhì)2若有向光滑曲線弧可分成兩段光滑的有向曲線弧和，則．性質(zhì)3若是有向光滑曲線弧，是的反向曲線弧，則．從性質(zhì)3可以看出，對坐標(biāo)的曲線積分與積分弧段的方向相關(guān)，而對弧長的曲線積分則與積分弧段的方向無關(guān)，這是曲線積分需劃分為兩種類型的原因之一．從物理層面理解，功有正功和負(fù)功，性質(zhì)3也符合做功的實(shí)際情況．【學(xué)生】理解對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)【教師】講解對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理設(shè)在有向曲線弧上連續(xù)，且的參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)單調(diào)地從變到時，點(diǎn)從的起點(diǎn)沿運(yùn)動到終點(diǎn)．若在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)且不同時為零，則曲線積分存在，且（12-3）由上述定理可知，計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分時，只要將被積表達(dá)式中的依次換為，然后從起點(diǎn)參數(shù)到終點(diǎn)參數(shù)作定積分即可．在此要注意的是，積分范圍必須從起點(diǎn)指向終點(diǎn)，不一定要小于，這與對弧長的曲線積分不同．特別地，如果曲線的方程為，，則；如果曲線的方程為，，則．更進(jìn)一步，把上述定理推廣到空間有向光滑曲線弧，，其中對應(yīng)起點(diǎn)，對應(yīng)終點(diǎn)，則有例1計(jì)算曲線積分，其中為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，如圖12-4所示．圖12-4解法一將所給積分化為對的定積分來計(jì)算．由于不是單值函數(shù)，所以要把分為和兩部分．在上，，；在上，，．所以解法二將所給積分化為對的定積分來計(jì)算．由于的方程是，，因此．本例中，方法二比方法一的計(jì)算過程要簡單快捷，因此選取好的參數(shù)方程能有效簡化計(jì)算．（例2～例4詳見教材）【學(xué)生】掌握對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算【教師】講解兩類曲線積分的關(guān)系設(shè)為從到的有向光滑曲線弧，其參數(shù)方程為．在此，不妨假設(shè)（若，則可通過變量代換得到類似的結(jié)論），且，在上連續(xù)，根據(jù)式（12-3）可得此時，我們只需要驗(yàn)證在同樣的積分路徑下第一類曲線積分的有關(guān)表達(dá)式與上述等式右邊的表達(dá)式一致即可．已知有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量為，當(dāng)時，曲線弧上每一點(diǎn)處的切向量方向與有向曲線弧的方向一致，以分別表示切向量與軸、軸形成的兩個方向角，則該切向量的方向余弦為，，則根據(jù)式（12-1）有．這樣，就得到了平面曲線弧上的兩類曲線積分之間的關(guān)系，即．其中是曲線弧在點(diǎn)處切向量的方向余弦．類似地，空間曲線上的兩類曲線積分也有這樣的關(guān)系，即其中是曲線弧在點(diǎn)處切向量的方向余弦．【學(xué)生】理解兩類曲線積分的關(guān)系學(xué)習(xí)對坐標(biāo)的曲線積分。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課主要介紹了曲線積分、曲面積分的概念和性質(zhì)以及其物理背景，進(jìn)而研究了對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、兩類曲線積分的關(guān)系。課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題12.1、習(xí)