基于black-scholes模型的巨災風險期權定價研究

基于black-scholes模型的巨災風險期權定價研究

自20世紀90年代末以來，全球非保險索賠能力一直稀缺。保險人除了在傳統(tǒng)的保險市場上不斷調(diào)整承保策略外,還竭力尋求其它的途徑以盡快增加自身的承保能力。由此引發(fā)了在保險領域里的金融創(chuàng)新,巨災風險證券化就是其中之一。具有代表性的巨災證券化產(chǎn)品有巨災債券、巨災期權、巨災互換等。巨災證券化產(chǎn)品在20世紀90年代推出的時候,最初并不如人們所想象的那樣受歡迎,其中一個重要原因就是投資者對定價原理知之甚少。因此對巨災證券化定價問題的討論,有助于投資者對產(chǎn)品的各個方面加深了解。一、專業(yè)風險金融產(chǎn)品和風險資產(chǎn)化的價格定義(一)證券的無套制策略對一般的金融期貨可以通過建立某種無套利策略確定其合適的價格。比如,對某一債券期貨,我們可以建立這樣一個策略:此策略包括借入資金、買入可交割債券、賣出期貨;在最初實施此策略時,所有的價格、利率和最后的結(jié)果均為已知;如果債券得以交割并平掉空頭期貨頭寸,則此策略是無風險的。通過對該策略運用零利潤限制可以求出期貨合約的公平價格。但是對期權合約而言,由于其最終是否得到行使的不確定性使期權很難直接進行上述的無套利策略。針對這種不確定性有兩種解決辦法,其一是對標的資產(chǎn)一段時間的價格變動做出假設,以此出發(fā)來估計期權到期日的預期價值,這就是著名的Black-Schloes期權定價模型,其二是從期權第一次被賣出時就開始建立無套利策略,隨時間變化不斷調(diào)整,最終確定期權的價格,這就是期權定價的二項式模型。(二)無營利定價理論BS期權定價模型能否直接移植到巨災期權的定價上來呢?答案是否定的。因為在BS模型中假設了對應資產(chǎn)價格是連續(xù)變化的。而這對巨災期權是行不通的,因為其潛在的損失指數(shù)并不是連續(xù)變化的,而是一個跳躍過程,只在巨災發(fā)生時有一個跳躍點。將BS期權定價模型進行改進后才可用于巨災期權的定價[German(1994),Cummins和German(1995)]。巨災風險證券化產(chǎn)品的定價比較復雜,僅運用無套利定價理論的話,其價格不唯一。主要原因在于巨災證券處于不完全市場(incompletemarket)環(huán)境下。所謂完全市場(completemarket)是指任一現(xiàn)金流可用市場已交易的資產(chǎn)組合來復制。無套利意味著該現(xiàn)金流與復制組合必須有相同的價格,因為它們的收益是一樣的。而巨災證券的現(xiàn)金流支付依賴于颶風、地震等巨災的發(fā)生,無法通過市場上已交易的某種股票和債券組成傳統(tǒng)的資產(chǎn)組合來近似。這使得巨災證券反映的狀態(tài)不能由傳統(tǒng)的證券所反映出來,因此無套利定價理論無法用于巨災風險證券化產(chǎn)品的定價。但是,對這種產(chǎn)品卻可以用均衡定價方法。二、風險資產(chǎn)合同模型的研究(一)巨災損失指數(shù)4.2從20世紀90年代初出現(xiàn)巨災風險證券化產(chǎn)品至今,海外學術界研究定價問題的文章并不多,具代表性的主要有以下一些:Geman(1994)和Cummins&Geman(1995):用套利(Arbitrage)的思想討論這些衍生產(chǎn)品的定價,在一定程度上類似于股票期權定價的Black-Scholes模型,但有以下不同之處,與保險相關的衍生產(chǎn)品沒有具體的在市場上交易的潛在資產(chǎn),而是基于一個損失指數(shù);損失指數(shù)的增量是用一個隨機微分方程來建模的;而且這一增量是用一個幾何布朗運動(用于說明索賠報告的隨機性)加一個跳躍過程(只有巨災索賠數(shù)據(jù)才用于構(gòu)建指數(shù))來描述。Aase(1995):介紹了期貨合約及基于此合約的衍生產(chǎn)品的定價理論。該理論采用了效用極大化原理,并用在隨機時點包含隨機大小的跳躍的隨機過程來構(gòu)造巨災損失模型。在運用這種方法時為了得到一個唯一的價格,必須假設保險市場的所有參與者(包括保險人、被保險人、投資組合管理人等)有相同的效用函數(shù)。Christensen(2000):討論了PCS-期權的定價。分別對巨災發(fā)生期和調(diào)整期的巨災損失指數(shù)建立厚尾模型,然后基于一定的分布假設給出PCS-期權在各個時刻的價格的唯一顯示表達式。Aase(2001):利用馬爾可夫模型來給巨災期貨及基于此期貨的金融衍生產(chǎn)品定價。在這里假設潛在巨災損失值服從一個連續(xù)時間的馬爾可夫過程,這個馬爾可夫過程有一個離散的狀態(tài)空間,且在巨災隨機發(fā)生的時點處有隨機索賠額大小的跳躍。(二)投資再保險ft的定義在均衡模型中,假定一些個體(經(jīng)濟人)在市場中交易證券,每一個體有一定數(shù)量的初始財富;存在一個經(jīng)濟人可以用來買賣證券的金融市場。經(jīng)濟人通過市場上的交易活動極大化他們各自的福利,均衡價格來自于市場上所有個體的最優(yōu)化行為。當價格使得每一個經(jīng)濟人的期望效用最大時,均衡便達到了。均衡達到時,在現(xiàn)行的價格機制下,沒有人有繼續(xù)交易的動機,由此可以導出定價公式。均衡價格與個體的屬性緊密相連,同時也與交易證券的結(jié)構(gòu)和類型有關。如果這些發(fā)生變化,對應的均衡價格一般也會發(fā)生變化。如果市場處于均衡中,直觀地看,應該在市場中找不到套利機會。如果價格體系存在這樣的套利機會,經(jīng)濟人便有零成本改進福利的能力,與均衡時經(jīng)濟人效用已極大化的要求相抵觸?？梢?無套利定價理論應該與均衡定價理論產(chǎn)生一致的定價。先考慮僅有單個投資者的情況。假設該投資者為一家保險公司,公司持有某一關于巨災風險的保單組合,對此其收取保費,同時也承諾對發(fā)生的損失支付賠償(Pt)0≤t≤T表示到時刻t為止所收取的總保費,(Yt)0≤t≤T表示到時刻t為止發(fā)生的總損失,這兩個過程都定義在概率空間(Ψ,(Ft)0≤t≤T,P)上,其中Ft=σ(Ps,Ys,s≤t)我們假設存在一個具可流動性的再保險市場,也就是說,在任一時刻t≤T,保險公司均可基于到時刻t為止已獲得的信息,將其現(xiàn)有風險(Ys)t≤s≤T的任何部分分出,更具體地給出如下定義:定義1:若t∈[0,T],再保險策略(ξs)t≤s≤T為定義在(Ψ,(Fs),P)上的一個可預見的隨機過程,且對任一s∈[t,T]有0≤ξs≤1。Ht表示始于時刻t的所有再保險策略集。假設利率過程(i(t))0≤t≤T,i(t)表示在時刻t時投資1,到時刻T時的價值。過程(Xt)0≤t≤T:Xt=i(t)(Pt-Yt),0≤t≤T表示在時刻t預測到來自巨災保險業(yè)務的到時刻T為止經(jīng)利率調(diào)整后的凈收入。如果保險公司在時刻t時選擇一些再保險策略(ξs)∈Ht,則公司在時刻T的最終收益(或正或負)為:GT(ξ)=∫TξsdXs。設該保險公司的效用函數(shù)為u(x),假定其二次可微,且滿足下述兩個性質(zhì):(1)正邊際效用:u′(x)>0,即u(x)為一個嚴格遞增函數(shù);(2)邊際效用遞減:u′′(x)<0,即u(x)為一個凹函數(shù)。表明該決策者為風險厭惡者。保險人的目標為:基于到時刻t為止所獲得的信息(Ft),選擇一些策略,通過風險交易實現(xiàn)決策的期望收益的極大化,即:(其中:At為Ht的一些子集)假設公司在時刻t再以價格Ft選擇購買δ份某種證券,用FT表示此種證券在最終時刻T的收益,對任意的δ及Ft,定義:(其中:r為連續(xù)復利率,且,if為無風險利率)定義2:假設對每一個Ft,函數(shù)在δ=0處可微,若方程有唯一解Ft,則定義Ft為該證券在時刻t的價格。定理1:假設存在ξ∈A,使V=Ep(u(GT(ξ))),對每一個Ft,函數(shù)在δ=0處可微,且滿足,則在時刻t時該證券的價格為:(證明過程略)。假設u(x)=1/α(1-e-αx)為指數(shù)效用,其風險厭惡系數(shù)為α>0。假設其不選擇再保險策略,即:At={(1)t≤s≤T},則(1)式可變?yōu)?進一步假設保費過程(Pt)為確定的,YT為Ft—可測,顯然i(T)=1,則(2)式又可變形為:以上的討論是基于單個投資者的情況。事實上均衡價格是由保險市場上的所有經(jīng)濟人的期望效用同時極大化來決定的。這涉及到解一個包含很多方程的方程組,要對所有狀態(tài)對所有個體一階條件滿足,這樣的計算量很大。通過使用代表性經(jīng)濟人(representativeagent)概念,可簡化模型,找到求均衡價格的捷徑。我們要構(gòu)造一個比原來簡單得多的模型,但它們卻有一樣的均衡價格。在新模型中僅有一個經(jīng)濟人,而他被認為是代表性經(jīng)濟人。在一定條件下,可由原模型中所有經(jīng)濟人的效用函數(shù)構(gòu)造出代表性經(jīng)濟人的效用函數(shù)。從一定意義上講,此代表性經(jīng)濟人包含了原所有經(jīng)濟人所反映的信息。由此可以通過解新模型這一比較簡單的問題得到相同的估價公式。我們假設所有的經(jīng)濟人有相同的概率空間,均有與狀態(tài)無關的指數(shù)效用函數(shù)形式。于是就可用一個代表性經(jīng)濟人代表整個保險市場。這樣可將前面討論過的單個投資者看成是代表性經(jīng)濟人。于是,前面得到的證券在時刻t的價格Ft(如(1)式),即為均衡價格。設該代表性經(jīng)濟人也有上述的指數(shù)效用u(x)=1/α(1-e-αx)(但是其中的風險厭惡系數(shù)α由整個保險市場決定),則上述的(3)式即為此種情況下的均衡價格形式,但是這里的Yt表示整個保險市場損失情況。在均衡定價理論中沒有必須在完全市場環(huán)境下的要求,因此可以將上述定價模型用于處在不完全市場環(huán)境下的巨災風險證券化產(chǎn)品的定價。我們假設公司在時刻t選擇購買巨災證券產(chǎn)品(如:PCS-期權),且有指數(shù)效用形式,則在均衡定價理論下可得到該產(chǎn)品在時刻t的均衡價格為:其中:Ft表示時刻t時的價格,FT表示在最終時刻T的結(jié)算價值,(Lt)0≤t≤T表示到時刻t為止整個保險行業(yè)的巨災損