行列式的計(jì)算技巧與方法總結(jié)

PAGE11．行列式的概念及性質(zhì)1.1n階行列式的定義我們知道，二、三階行列式的定義如下：=，從二、三階行列式的內(nèi)在規(guī)律引出n階行列式的定義．設(shè)有個(gè)數(shù)，排成行列的數(shù)表，即n階行列式．這個(gè)行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積⑴的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)⑴都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí),⑴帶正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí),⑴帶負(fù)號(hào)．即=，這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列互換，行列式不變．即.性質(zhì)2一個(gè)數(shù)乘行列式的一行（或列），等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式．即k.性質(zhì)3如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個(gè)行列式的和，且這兩個(gè)行列式除去該行（或列）以外的各行（或列）全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行（或列）一樣．即性質(zhì)4如果行列式中有兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素相同或成比例，那么行列式為零．即=0.性質(zhì)5把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變．即.性質(zhì)6對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).即=-.性質(zhì)7行列式一行（或列）元素全為零，則行列式為零．即.2、行列式的幾種常見計(jì)算技巧和方法2.1定義法適用于任何類型行列式的計(jì)算，但當(dāng)階數(shù)較多、數(shù)字較大時(shí)，計(jì)算量大，有一定的局限性．例1計(jì)算行列式.解析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，在展開式中應(yīng)該有項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項(xiàng)數(shù)就大大減少．具體的說，展開式中的項(xiàng)的一般形式是．顯然，如果，那么，從而這個(gè)項(xiàng)就等于零．因此只須考慮的項(xiàng)，同理只須考慮的這些項(xiàng)，這就是說，行列式中不為零的項(xiàng)只有，而，所以此項(xiàng)取正號(hào)．故=.2.2利用行列式的性質(zhì)即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式．2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：，.例2計(jì)算行列式.解析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱悖矗夯癁樯先切危猓簩⒃撔辛惺降谝恍械谋斗謩e加到第2,3…（）行上去，可得.2.2.2連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式的計(jì)算．這類計(jì)算行列式的方法稱為連加法．例3計(jì)算行列式.解：.2.2.3滾動(dòng)消去法當(dāng)行列式每兩行的值比較接近時(shí)，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動(dòng)消去法．例4計(jì)算行列式.解：從最后一行開始每行減去上一行，有.2.2.4逐行相加減對(duì)于有些行列式，雖然前行的和全相同，但卻為零．用連加法明顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法．例5計(jì)算行列式.解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得：.2.3降階法將高階行列式化為低階行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展開例6解行列式.解：按最后一行展開，得.2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式D中任意選定了個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即，其中是子式對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式．即，.例7解行列式.解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得.2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質(zhì)化簡算出結(jié)果，這種計(jì)算行列式的方法叫做升階法或加邊法．升階法的最大特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后，就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0，這樣就達(dá)到簡化計(jì)算的效果．其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8解行列式D=.解：使行列式D變成階行列式，即.再將第一行的倍加到其他各行，得：D=.從第二列開始，每列乘以加到第一列，得：.2.5數(shù)學(xué)歸納法有些行列式，可通過計(jì)算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學(xué)歸納法去證明．對(duì)于高階行列式的證明問題，數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法．例9計(jì)算行列式.解:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.猜想，.由上可知，當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．即：.現(xiàn)證當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．當(dāng)時(shí)，.將按最后一行展開，得.因?yàn)?，，所?這就證明了當(dāng)時(shí)也成立，從而由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立．即：.2.6遞推法技巧分析：若階行列式滿足關(guān)系式.則作特征方程.若，則特征方程有兩個(gè)不等根，則．若，則特征方程有重根，則．在①②中，A，B均為待定系數(shù)，可令求出．例10計(jì)算行列式.解：按第一列展開，得.即．作特征方程.解得.則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.解得，所以.3、行列式的幾種特殊計(jì)算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及計(jì)算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列）沒有兩項(xiàng)之和，這時(shí)需保持行列式之值不變，使其化為兩項(xiàng)和．3.1.2例題解析例11計(jì)算行列式.解：把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和進(jìn)行拆列，得上面第一個(gè)行列式的值為1，所以.這個(gè)式子在對(duì)于任何都成立，因此有.3.2構(gòu)造法3.2.1概念及計(jì)算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時(shí)可同時(shí)構(gòu)造一個(gè)容易求解的行列式，從而求出原行列式的值．3.2.2例題解析例12求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值．構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有.3.3特征值法3.3.1概念及計(jì)算方法設(shè)是級(jí)矩陣的全部特征值，則有公式.故只要能求出矩陣的全部特征值，那么就可以計(jì)算出的行列式．3.3.2例題解析例13若是級(jí)矩陣的全部特征值，證明：可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零．證明：因?yàn)椋瑒t可逆.即可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零．4、幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)三角形，故稱為“三角形”行列式．4.1.2計(jì)算方法由行列式的定義可知，,.4.2“爪”字型行列式4.2.1概念形如，，，這樣的行列式，形狀像個(gè)“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺剑?.2.2計(jì)算方法利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可歸納為：“爪”字對(duì)角消豎橫．4.2.3例題解析例14計(jì)算行列式，其中分析：這是一個(gè)典型的“爪”字型行列式，計(jì)算時(shí)可將行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式．解:.4.3“么”字型行列式4.3.1概念形如，，，，，，，這樣的行列式，形狀像個(gè)“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺剑?.3.2計(jì)算方法利用“么”字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇，就可以把行列式化為三角形行列式．此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用消去，然后再用消去，依次類推．4.3.3例題解析例15計(jì)算階行列式.解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得.4.4“兩線”型行列式4.4.1概念形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式．4.4.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可通過直接展開法求解．4.4.3例題解析例16求行列式.解：按第一列展開，得.4.5“三對(duì)角”型行列式4.5.1概念形如這樣的行列式，叫做“三對(duì)角型”行列式．4.5.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式，然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)歸納法證明．4.5.3例題解析例17求行列式.解：按第一列展開，得.變形，得.由于，從而利用上述遞推公式得.故.4.6Vandermonde行列式4.6.1概念形如這樣的行列式，成為級(jí)的范德蒙德行列式．4.6.2計(jì)算方法通過數(shù)學(xué)歸納法證明，可得.4.6.3例題解析例18求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值．構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為,故有.5、行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用有些行列式如果只使用一種計(jì)算方法不易計(jì)算，這時(shí)就需要結(jié)合多種計(jì)算方法，使計(jì)算簡便易行．下面就列舉幾種行列式計(jì)算方法的綜合應(yīng)用．5.1降階法和遞推法例19計(jì)算行列式.分析：乍一看該行列式，并沒有什么規(guī)律．但仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，按第一行展開便可得到階的形式．解：將行列式按第一行展開，得.即.∴.∴.5.2逐