《離散數(shù)學》第五章1-2節(jié)

代數(shù)系統(tǒng)——由集合和該集合中的一個或多個n元運算所組成的系統(tǒng)，稱為代數(shù)系統(tǒng)。

代數(shù)系統(tǒng)是一種數(shù)學結(jié)構，它由集合、關系、運算、定義、公理、定理和算法組成。

第三篇代數(shù)系統(tǒng)1整理ppt第五章代數(shù)結(jié)構代數(shù)系統(tǒng)的運算與性質(zhì)半群、群與子群阿貝爾群和循環(huán)群陪集與拉格朗日定理同態(tài)與同構環(huán)與域2整理ppt5-1代數(shù)系統(tǒng)的引入舉例實數(shù)R上的一元運算：f(a)=1/a，f(a)=-a二元運算：f(a,b)=a+b……例(1)數(shù)的加法是實數(shù)集R上的二元運算(2)設S是一個集合，集合的并、交是ρ(S)上的二元運算定義5-1.1對于集合A，一個從An到B的映射，稱為A上的n元運算。如果B

A，則稱該n元運算是封閉的。3整理ppt*1元硬幣5角硬幣1元硬幣5角硬幣可口可樂桔子汁桔子汁牛奶例

4整理ppt在后面的學習中，主要是討論一個集合上的二元運算。要確定一個二元運算，就是確定任意兩個元素的運算結(jié)果。當A是有限集時，A上的運算可用一個表來表示：設A={a1,a2,…,an}，。是A上的運算，則下表稱為運算“?！钡倪\算表a1a2…ai…。a1a2……aj……an

a11a12…………………………aij………………其中，aij=ai。aj5整理ppt例如<I，+>，<ρ(S)，∪，∩，~>，<R，+,-,*,/>定義5-1.2一個非空集合A連同若干個定義在該集合上的運算f1，f2，…，fn所組成的系統(tǒng)就稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，記作<A，f1，f2，…，fn>。6整理ppt一、二元運算的基本性質(zhì)定義5-2.1設*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y∈A，都有x*y∈A,則稱二元運算*在A上是封閉的。例考察下列運算是否是指定集合上封閉的二元運算?(1)整數(shù)集合Z上的加、減、乘、除。(2)自然數(shù)集合N上的加、減、乘、除。(3)非零實數(shù)集R*上的加、減、乘、除。(4)n階實矩陣上的加、乘。(5)集合S的冪集上的∪、∩、-、

。5-2運算及其性質(zhì)7整理ppt注意:通常用。，*，.，…等符號表示二元運算，稱為算符。例1設A={x|x=2n,n∈N},加法運算，乘法運算是否封閉？8整理ppt考察下列運算在指定集合上是否符合交換律?(1)實數(shù)集合上的加、減、乘、除。(2)n階實矩陣上的加、乘。(3)集合S的冪集上的∪、∩、-、

。定義5-2.2設*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y∈A，都有x*y=y*x,則稱二元運算*是可交換的。例2設Q是有理數(shù)集合，△是Q上的二元運算，對于任意的a,b∈Q，a△b=a+b-a·b，問運算△是否可交換。解：∵a△b=a+b－a·b=b+a－b·a=b△a,∴△是可交換的。9整理ppt定義5-2.3設*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y∈A，都有（x＊y）＊z=x＊(y＊z),則稱二元運算＊是可結(jié)合的?？疾煜铝羞\算在指定集合上是否符合結(jié)合律?(1)N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。(2)n階實矩陣上的加、乘。(3)集合S的冪集上的∪、∩、

。10整理ppt例3設A是一個非空集合，☆是A上的二元運算，對于任意a,b∈A,有a☆b=b,證明☆是可結(jié)合的。證明：對于任意的a,b,c∈A(a☆b)☆c=b☆c=c而a☆(b☆c)=a☆c=c所以（a☆b）☆c=a☆(b☆c)運算特點？11整理ppt定義5-2.4設Δ、*是二元運算，對于任意的x,y,z∈A，都有x*(yΔz)=(x*y)Δ(x*z)(yΔz)*x=(y*x)Δ(z*x)則稱*對于Δ是可分配的。如：(1)N、Z、Q、R、C集合上的乘法對加法。(2)n階實矩陣上的乘法對加法。(3)集合上的∪、∩互相可分配。x*(y+z),(y+z)*x12整理ppt例4設集合A={α，β}，在A上定義兩個二元運算*和△，運算△對于*可分配嗎？運算*對于△呢？解：△對＊運算：α△(α＊β)與(α△α)＊(α△β)α△(β＊α)，β△(α＊β)與(β△α)＊(β△β)β△(β＊α)，＊對△運算：β＊（α△β），（β＊α）△（β＊β）*αβαβαββα△αβαβαααβ

13整理ppt定義5-2.5設Δ、*是可交換二元運算，對于任意的x,y∈A，都有x*(xΔy)=xxΔ(x*y)=x稱*，Δ滿足吸收律。如：集合上的∪和∩滿足吸收律。即，任意集合A，B滿足A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A14整理ppt學習如登山，苦戰(zhàn)能過關。例5N是自然數(shù)全體，x,y∈Nx＊y=max(x,y)xΔy=min(x,y)驗證＊,△滿足吸收律。解：a＊(aΔb)=max(a,min(a,b))=aaΔ(a＊b)=min(a,max(a,b))=a因此*，Δ滿足吸收律。15整理ppt定義5-2.6設*是定義在集合A上的一個二元運算，如果對于任意的x∈A,都有x＊x=x,則稱運算＊是等冪的。(若某些元素滿足，稱為等冪元)16整理ppt例6設ρ(S)是集合S的冪集，在ρ(S)上定義的兩個二元運算“并”、“交”，驗證是等冪的。若x是<S，*>中關于*的等冪元，對于任意正整數(shù)n，則xn=x。17整理ppt定義5-2.7給定〈S，*〉且el,er∈S,則el為關于*的左幺元：er為關于*的右幺元：既為左幺元又為右幺元，稱e為關于*的幺元：二、幺元、零元、逆元18整理ppt如：(1)在N、Z、Q、R、C上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。(2)n階0矩陣是矩陣加法的幺元，n階單位矩陣是矩陣乘法的幺元。(3)在集合上，φ是∪運算的幺元，全集是∩運算的幺元。19整理ppt例7設集合S={α，β，γ，δ}，在S上定義兩個二元運算＊和☆。試指出左幺元或右幺元。＊αβγδαβγδ

δαβγ

αβγδαβγγ

αβγδ☆αβγδαβγδ

αβδγ

βαγδ

γδαβ

δδβγ20整理ppt定理5-2.1給定<S，*>且el,er分別是關于*的左右幺元，則el=er=e,且幺元e唯一。證明：el*er=elel*er=er

∴

el=er=e

唯一性？？？21整理ppt定義5-2.8給定〈S，*〉且θl,θr,θ∈S,則θl為關于*的左零元：θr為關于*的右零元：e為關于*的零元：＊淺色深色淺色深色淺色深色深色深色幺元？零元？例8設集合S={淺色，深色}定義在S上一個二元運算＊如下表所示22整理ppt如：在N、Z、Q、R、C上，

0是乘法的零元，加法沒有零元。(2)n階0矩陣是矩陣乘法的零元，n階矩陣的加法無零元。(3)在集合上，∪運算的零元是全集，∩運算的零元是φ23整理ppt證明：

θl=θl*θr=θr

∴θl=θr∵

θr是右零元∵

θl是左零元把θl=θr記作θ，則θ是S中的零元。假設θ`也是S中的零元，則

θ`=θ*θ`=θ

∵θ是零元∴θ是S中關于*運算的唯一的零元。定理5-2.2給定<S，*>且θl,θr分別是關于*的左右零元，則θl=θr=θ,且零元θ唯一。24整理ppt定理5-2.3設A是一個代數(shù)系統(tǒng)，且集合A中元素的個數(shù)大于1，如果該系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ，則e≠θ證明：設e=θ；對任意x，則e*x=x；θ*x=θ；x=θ,即A中所有元素都是相同的。矛盾？25整理ppt定義5-2.9給定〈S，*〉且e，a∈S，e為幺元，則b為a的左逆元：b為a的右逆元：b為a的逆元：考慮：(1)整數(shù)集合Z上，加法逆元?(2)在集合上，∪運算、∩運算的逆元?先求幺元26整理ppt例9設集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定義S上的一個二元運算*如下表所示，試指出<S,*>中各元素的左、右逆元情況*αβγδζαβγδ

ζαβγδζβδαγδγαβαβδαγδγζδαγζ先找幺元27整理ppt一般來說，一個元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元，而且，一個元素可以有左(右)逆元而沒有右(左)逆元，甚至其數(shù)目也可以是不唯一的。若b是a的逆元，則a也是b的逆元，簡稱a與b互為逆元一個元素x的逆元記為x-1一個元素的左逆不一定等于右逆，并且不一定都存在，也不唯一28整理ppt例設A={1,2,3,4,5},的運算表為：1為幺元，2,4都是3的左逆元，3是5的左逆元所以3是2,4的右逆元，5是3的右逆元，但3不存在逆元12345231443332145132543221234512345

29整理ppt定理5-2.4給定<S，*>及幺元e∈S，如果*是可結(jié)合的并且一個元素x的左逆元和右逆元存在，則=，且每個元素的逆元唯一證明：=*e=*(x*)=(*x)*=e*