第2.2節(jié)-教育統(tǒng)計(jì)的特征量

第二節(jié)教育統(tǒng)計(jì)的特征量對(duì)雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)資料經(jīng)過(guò)初步整理后，可以用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖直觀(guān)表現(xiàn)出數(shù)據(jù)的全貌。這種對(duì)統(tǒng)計(jì)資料粗略的、直觀(guān)的概括是很有用的。但要進(jìn)一步進(jìn)行分析研究，只靠圖表是不夠的，還必須通過(guò)數(shù)據(jù)求得一些特征量，以此來(lái)解釋統(tǒng)計(jì)資料的集中趨勢(shì)、離散程度和相關(guān)程度等各項(xiàng)特點(diǎn)。其中描述統(tǒng)計(jì)資料的集中趨勢(shì)的特征量是集中量；描述統(tǒng)計(jì)資料的離散程度的特征量是差異量；描述統(tǒng)計(jì)資料的相關(guān)程度的特征量是相關(guān)量。

一、集中量集中量是代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢(shì)的量。它描述數(shù)據(jù)分布的規(guī)律性，也能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況。常用的集中量有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（一）平均數(shù)平均數(shù)是使用比較廣泛，也較為簡(jiǎn)單易懂的一種集中量，它能反映一組數(shù)據(jù)資料的某種水平。1.算術(shù)平均數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)是所有觀(guān)察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)，用表示。設(shè)變量X1，X2，X3，…，Xn代表各次觀(guān)察的結(jié)果，以N為觀(guān)察的次數(shù)。則可簡(jiǎn)化為

（2）算數(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法①原始數(shù)據(jù)法②頻數(shù)分布表法在這里，X1，X2，…，Xk表示第1組到第k組的組中值；f1，f2，….，fk表示第1組到第k組的頻數(shù)；

2.加權(quán)平均數(shù)（1）加權(quán)平均數(shù)的概念加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，用表示如下：在這里，表示加權(quán)平均數(shù)；W表示各觀(guān)察值的權(quán)數(shù)；X表示具有不同比重的觀(guān)察值。

（2）加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法①原始數(shù)據(jù)法：已知原始觀(guān)察值，又知各原始數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)，則用原始數(shù)據(jù)法按定義式計(jì)算。例如：某生平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，期中考試成績(jī)?yōu)?0分，期末考試成績(jī)?yōu)?5分。按學(xué)校規(guī)定學(xué)期成績(jī)中平時(shí)占20%，期中占30%，期末占50%。問(wèn)該生學(xué)期總評(píng)成績(jī)應(yīng)為多少分？

②頻數(shù)分布表法已知各組的平均數(shù)和各組的頻數(shù)，則可用頻數(shù)分布表法。公式為：在這里，表示各組的平均數(shù)；N表示各組的頻數(shù)。例如，某年級(jí)各班的一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚笕昙?jí)的總平均分。

3.幾何平均數(shù)

（1）幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)是N個(gè)數(shù)據(jù)連乘的N次方根。用表示。用公式表示如下：若數(shù)據(jù)較多或較大時(shí)，可用取對(duì)數(shù)的方法來(lái)求幾何平均數(shù)，即故幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)實(shí)際上是各數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)算術(shù)平均數(shù)。（2）幾何平均數(shù)的計(jì)算方法幾何平均數(shù)適用于計(jì)算具有遞增（或遞減）性數(shù)據(jù)的集中量，計(jì)算方法直接用以上定義公式便可求出。

例如，近幾年某地區(qū)職業(yè)學(xué)校在校學(xué)生人數(shù)如下表。求（1）這4年在校學(xué)生的平均數(shù)；（2）年平均增長(zhǎng)率。（1）顯然，這是一組具有遞增性的數(shù)據(jù)，故其平均數(shù)宜用幾何平均數(shù)，不宜用算術(shù)平均數(shù)。按公式可得：故這4年在校學(xué)生平均數(shù)為1196人。（2）本例中為求年平均增長(zhǎng)率，需先求出以前一數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的逐年增長(zhǎng)的比值，即800÷500=1.6,1600÷800=2，3200÷1600=2,然后用公式可求出這些比值的平均數(shù)：由于還包含著以第1年的數(shù)據(jù)作為基數(shù)（即1），因而在求年平均增長(zhǎng)率時(shí)，要減去1，即1.86-1=0.86=86%。故年平均增長(zhǎng)率為86％。

4.調(diào)和平均數(shù)（1）調(diào)和平均數(shù)的概念調(diào)和平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，也稱(chēng)倒數(shù)平均數(shù)．用表示．用公式表示如下：（2）調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法調(diào)和平均數(shù)適用于求平均速率一類(lèi)的問(wèn)題．計(jì)算方法直接用以上定義公式便可解出．例如，設(shè)甲、乙、丙3個(gè)學(xué)生的解題速度如下：甲生每小時(shí)8題、乙生每小時(shí)7題、丙生每小時(shí)10題．求3人平均解題速度。由于此例是求平均速度問(wèn)題，故宜用求調(diào)和平均數(shù)的方法．根據(jù)公式有：

驗(yàn)證：由于解1道題甲生所需時(shí)間為h=0.125h，乙生所需時(shí)間為h=0.143h，丙生所需時(shí)間為h=0.1h，則他們各解1道題（即共解3道題）所需時(shí)間為0.368h。由于所求的倒數(shù)平均數(shù)即為他們的平均解題速度，故在0.368h里他們共解題數(shù)為0.368×8.15=3（題），可見(jiàn)與事實(shí)相符。

算術(shù)平均數(shù)在幾何或物理上表示一組數(shù)據(jù)的中心或重心位置，它可用于各組數(shù)據(jù)之間集中水平的比較；加權(quán)平均數(shù)用于求不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)；幾何平均數(shù)適用于計(jì)算具有遞增（或遞減）性數(shù)據(jù)的集中量；調(diào)和平均數(shù)適用于求平均速率一類(lèi)的問(wèn)題。

（二）中位數(shù)1.中位數(shù)的概念

中位數(shù)是位于以一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，在這一數(shù)值上下各分布著一半頻數(shù)。中位數(shù)常用Md表示。中位數(shù)也是一個(gè)常用的表示集中趨勢(shì)的指標(biāo)，對(duì)于分布大致對(duì)稱(chēng)的數(shù)據(jù)，中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)十分接近。而當(dāng)數(shù)據(jù)分布過(guò)于偏時(shí)，用中位數(shù)表示的集中趨勢(shì)比算術(shù)平均數(shù)更為合理。

2.中位數(shù)的計(jì)算方法（1）原始數(shù)據(jù)法將一組原始數(shù)據(jù)依大小順序排列后，若總頻數(shù)為奇數(shù)，就以位于中央的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)；若總頻數(shù)為偶數(shù)，則以最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)。例如，有以下7個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列為：5，7，9，13，15，16，19因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則位于中間的數(shù)值13即為中位數(shù)：Md=13又如，下面有8個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列為：3，5，7，9，13，15，16，19因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取位于中間位置的兩個(gè)數(shù)9與13求算術(shù)平均數(shù)(9+13)/2=11即為中位數(shù)：Md=11

（2）頻數(shù)分布表法若一組原始數(shù)據(jù)已經(jīng)變成了頻數(shù)分布表，可用內(nèi)插法，通過(guò)頻數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)。計(jì)算時(shí)，可以在頻數(shù)分布表上由數(shù)值小向數(shù)值大的方向計(jì)算；也可以由數(shù)值大向數(shù)值小的方向計(jì)算，公式如下：由小向大的計(jì)算公式：Lmd表示中位數(shù)所在組的下限；N表示總數(shù)；n1

表示小于中位數(shù)所在組下限的頻數(shù)總和；i表示頻數(shù)分布表上的組距;fmd表示中位數(shù)所在組的頻數(shù)。

以表2.7數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明由數(shù)值小向數(shù)值大計(jì)算中位數(shù)的步驟。

由大向小的計(jì)算公式為：在這里，Umd表示中位數(shù)所在組的上限；n2表示大于中位數(shù)所在組上限的頻數(shù)總和。當(dāng)由小向大計(jì)算中位數(shù)時(shí)，如果小于某一組下限的累積頻數(shù)正好等于總頻數(shù)的一半，那么該組的下限就是中位數(shù)；當(dāng)由大向小計(jì)算時(shí)，如果大于某一組上限的累積頻數(shù)正好等于總頻數(shù)的一半，那么該組的上限就是中位數(shù)。

（三）眾數(shù)1.眾數(shù)的概念在一數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)最多的一個(gè)數(shù)值稱(chēng)為眾數(shù)，常用Mo表示。如果所有數(shù)據(jù)項(xiàng)都不相同，就沒(méi)有眾數(shù)。在頻數(shù)分配表上，頻數(shù)最多的一組的組中值就是眾數(shù)。在曲線(xiàn)圖上，曲線(xiàn)的最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫軸上的數(shù)值，就是眾數(shù)。2.眾數(shù)的計(jì)算方法（1）觀(guān)察法若數(shù)據(jù)已歸類(lèi)而組距為一個(gè)單位時(shí)，則次數(shù)出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù)；若組距為一個(gè)單位以上，則以次數(shù)最多一組的組中值為眾數(shù)；當(dāng)相鄰兩組頻數(shù)都是最多時(shí)，則分組點(diǎn)為眾數(shù)。

（2）公式法a.金氏插補(bǔ)法當(dāng)頻數(shù)分布呈偏態(tài)，即眾數(shù)所在組以上各組頻數(shù)總和與以下各組頻數(shù)總和相差較多時(shí)，可以采用金氏公式計(jì)算眾數(shù)，以進(jìn)行比率調(diào)整，其公式為：L表示眾數(shù)所在組的下限；fa表示大于眾數(shù)所在組上限那個(gè)相鄰組的頻數(shù)；fb表示小于眾數(shù)所在組下限那個(gè)相鄰組的頻數(shù)；i表示組距。

b.皮爾遜公式法公式為算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)三者的關(guān)系:當(dāng)頻數(shù)分配不甚偏斜時(shí)，眾數(shù)與中位數(shù)距離較遠(yuǎn)于平均數(shù)與中位數(shù)的距離，即“眾數(shù)與中位數(shù)之間的距離”和“平均數(shù)與中位數(shù)之間的距離”之比為2:1皮爾遜公式法適用于當(dāng)頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)求眾數(shù)。

平均數(shù)有優(yōu)于中位數(shù)和眾數(shù)的特點(diǎn)：第一，平均數(shù)是根據(jù)全體數(shù)據(jù)參與計(jì)算得來(lái)的，可以作為一組數(shù)據(jù)的代表值；第二，簡(jiǎn)明易懂；第三，可由無(wú)次序的數(shù)據(jù)直接求出；第四，計(jì)算公式可用作代數(shù)運(yùn)算；第五，較穩(wěn)定可靠，受抽樣影響不很大；第六，已知平均數(shù)與頻數(shù)可求出總數(shù)。平均數(shù)也有不足之處：第一，受極端數(shù)據(jù)的影響較大；第二，如有某幾個(gè)數(shù)據(jù)不知道就無(wú)法求出。中位數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，尤其是在一個(gè)方向上出現(xiàn)較多的極端數(shù)值時(shí)，使用中位數(shù)作為集中的代表性較好。但由于中位數(shù)只利用了相對(duì)位置的信息，所以一般情況下它的集中代表性不如平均數(shù)。眾數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)最多的信息，因而在一般情況下其代表性不如平均數(shù)和中位數(shù)，但在單峰的偏態(tài)分布中，眾數(shù)的集中代表性較好。由于平均數(shù)（尤其是算術(shù)平均數(shù)）有較多的優(yōu)點(diǎn)，且在推斷統(tǒng)計(jì)中也常常用到，所以我們的統(tǒng)計(jì)報(bào)告中一般都要選用平均數(shù)。

二、差異量（一）全距全距是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，又稱(chēng)極差，用R表示。用頻數(shù)分布表求全距的方法是：最大一組與最小一組組中值之差，或者是最大一組上限與最小一組下限之差。全距意義簡(jiǎn)明，計(jì)算方法簡(jiǎn)單。但它只能反映數(shù)據(jù)組的兩極端值的離差程度，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布情況。所以，全距不是測(cè)量數(shù)據(jù)分布的良好尺度，它具有很大的局限性，只有與其他差異量結(jié)合起來(lái)使用，才能比較全面地反映出數(shù)據(jù)分布的情況。（二）平均差平均差是每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)的集中量（如算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)）之差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。一般用符號(hào)AD表示，其公式為在這里，N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；為平均數(shù)；Md為中位數(shù)。

對(duì)頻數(shù)分布表求平均差，可用以下公式在這里，f為各組頻數(shù)；X0為各組組中值；其余符號(hào)同上。平均差是以各數(shù)據(jù)離開(kāi)算術(shù)平均數(shù)或中位數(shù)的總的趨勢(shì)來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的離散程度的。它的意義明確，計(jì)算容易，且考慮到了全部離差，受兩極端數(shù)值影響小。但計(jì)算要用絕對(duì)值，不便于代數(shù)運(yùn)算，因而在教育統(tǒng)計(jì)中用得不多。

（三）標(biāo)準(zhǔn)差

1.標(biāo)準(zhǔn)差的概念一組數(shù)據(jù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，我們稱(chēng)之為方差。標(biāo)準(zhǔn)差是指方差的平方根。方差用表示，標(biāo)準(zhǔn)差用表示。其定義公式為：在這里，X－表示離差；N表示總頻數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，表明這組數(shù)據(jù)的差異程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差的值越小，表明這組數(shù)據(jù)越整齊，分布范圍越小。標(biāo)準(zhǔn)差具有反應(yīng)靈敏、計(jì)算簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，所以與其它差異量相比，標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用最為廣泛。當(dāng)描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，集中量用算術(shù)平均數(shù)表示時(shí)，差異量要用標(biāo)準(zhǔn)差表示。

2.標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法

（1）原始數(shù)據(jù)法將定義公式加以整理，可變成不必求離差，直接用原始數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式。其公式為：在這里，X表示原始數(shù)據(jù)；N表示總頻數(shù)。（2）頻數(shù)分布表法當(dāng)原始數(shù)據(jù)已經(jīng)歸入頻數(shù)分布表，而且原始數(shù)據(jù)又不在手邊，這時(shí)可以用組中值近似計(jì)算。其計(jì)算公式為：在這里，X表示各組組中值；f表示各組頻數(shù)。

3.標(biāo)準(zhǔn)差的組合在實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作中，我們有時(shí)已知若干組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，要計(jì)算全體數(shù)據(jù)的總標(biāo)準(zhǔn)差，這就是所謂標(biāo)準(zhǔn)差的組合問(wèn)題。設(shè)K組數(shù)據(jù)的有關(guān)資料分別為：并且，N=N1+N2+N3+…+Nk那么，根據(jù)方差的可加性可得到、所有N個(gè)數(shù)據(jù)的總標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：

標(biāo)準(zhǔn)差是比較完善的一種極為重要的差異量。它比全距和平均差都具有優(yōu)越性。雖然全距的優(yōu)點(diǎn)是意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，但由于全距是由一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值決定，因而不能反映分布內(nèi)部的情況，它不是一種可靠的差異量，用途很少。而平均差雖然意義明確，但在計(jì)算時(shí)采用了絕對(duì)值，不適合代數(shù)方法的運(yùn)算，因而用處不大，在差異量中，無(wú)疑標(biāo)準(zhǔn)差是最科學(xué)、最完善的一個(gè)差異量。這是因?yàn)樗哂幸韵绿攸c(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)差反映全部數(shù)值的差異情況；（2）標(biāo)準(zhǔn)差適合于代數(shù)方法運(yùn)算；（3）標(biāo)準(zhǔn)差受抽樣變動(dòng)的影響較小。但標(biāo)準(zhǔn)差也有一些缺點(diǎn)，比如說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算較為復(fù)雜，結(jié)果易受兩極端數(shù)值的影響。盡管如此，在各種差異量中，使用最多的仍是標(biāo)準(zhǔn)差，而且往往是把平均數(shù)同標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來(lái)使用。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)配合使用時(shí)，通常表示為

（四）三種差異量的數(shù)值關(guān)系當(dāng)總頻數(shù)相當(dāng)大，且頻數(shù)分布呈正態(tài)時(shí)，全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值存在如下關(guān)系：全距大致等于6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離；全距大致等于7.5個(gè)平均差的距離。用公式可表示為：

R≈6σ≈7.5AD；AD=0.7979σ；

σ=1.2533AD算術(shù)平均數(shù)上、下各一個(gè)平均差之間包括57.51％的總頻數(shù)。算術(shù)平均數(shù)上、下各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包括68.26％的總頻數(shù)。因此，三種差異量的數(shù)值之間存在一定的關(guān)系。已知某種差異量可以粗略求得其他差異量。

（五）差異系數(shù)

1.差異系數(shù)的概念全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差都是帶有原觀(guān)察值同一單位的差異量，這種差異量稱(chēng)為絕對(duì)差異量。這種絕對(duì)差異量對(duì)單位不同或單位相同但兩個(gè)平均數(shù)相差較大的數(shù)據(jù)，都無(wú)法比較差異的大小因而其使用范圍受到一定限制。當(dāng)我們