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文檔簡(jiǎn)介
第六章信號(hào)的矢量空間分析§6.1引言信號(hào)表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似,信號(hào)用多維矢量描述便于對(duì)信號(hào)的性能、信號(hào)分析與處理進(jìn)行更深入的研究。本章主要內(nèi)容利用矢量空間方法研究信號(hào)理論的基本概念;信號(hào)的正交函數(shù)分解;相關(guān)函數(shù);能量譜和功率譜;相關(guān)、正交概念的應(yīng)用:匹配濾波器,碼分復(fù)用技術(shù)?!?.2
信號(hào)矢量空間的基本概念一.線性空間定義:是這樣一種集合,其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素,任意元素與任意數(shù)(可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù))相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。例:二.范數(shù)
常用范數(shù)這里sup表示信號(hào)的最小上界,對(duì)于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號(hào),sup表示其幅度值。(3)常用的范數(shù)可見,一階范數(shù)表示信號(hào)作用的強(qiáng)度。一階范數(shù)物理意義:二階范數(shù)的平方表示信號(hào)的能量。二階范數(shù)三.內(nèi)積直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩矢量相對(duì)位置關(guān)系利用范數(shù)符號(hào),將矢量長(zhǎng)度分別寫作于是上式表明:給定的矢量長(zhǎng)度,標(biāo)量乘積式反映了兩矢量之間相對(duì)位置的“校準(zhǔn)”情況。即多維三維推廣信號(hào)空間對(duì)于L空間或l空間,信號(hào)x與其自身的內(nèi)積運(yùn)算為內(nèi)的兩連續(xù)信號(hào)的內(nèi)積四.柯西-施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式§6.3信號(hào)的正交函數(shù)分解將任意信號(hào)分解為單元信號(hào)之和,從而考查信號(hào)的特性。簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析與運(yùn)算,總響應(yīng)=單元響應(yīng)之和。信號(hào)分解的目的誤差矢量系數(shù)兩矢量正交怎樣分解,能得到最小的誤差分量?方式不是惟一的:一.矢量的正交分解正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。
平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個(gè)三維空間矢量,必須用三個(gè)正交的矢量來表示,如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差:
二.正交函數(shù)誤差系數(shù)三.正交函數(shù)集任意信號(hào)f(t)可表示為n維正交函數(shù)之和:原函數(shù)近似函數(shù)r=0,1,2,...n基底函數(shù)分解原則是誤差函數(shù)方均值最小
理解正交函數(shù)集規(guī)定:
所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。
不能因一個(gè)函數(shù)集中某幾個(gè)函數(shù)相互正交就說該函數(shù)集是正交函數(shù)。是相互獨(dú)立的,互不影響,計(jì)算時(shí)先抽取哪一個(gè)都可以,非正交函數(shù)就無此特性。此公式是個(gè)通式,適合于任何正交函數(shù)集。兩周期信號(hào)在同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi))正交的條件是c12=0,即:
總結(jié)兩個(gè)信號(hào)不正交,就有相關(guān)關(guān)系,必能分解出另一信號(hào)。對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交,而在其他區(qū)間不一定滿足正交。四.復(fù)變函數(shù)的正交特性則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。§6.4完備正交函數(shù)集、
帕塞瓦爾定理定義1:
定義2:
一.完備正交函數(shù)集二.帕塞瓦爾定理物理意義:
一個(gè)信號(hào)所含有的能量(功率)恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量(功率)之和。信號(hào)的能量基底信號(hào)的能量各信號(hào)分量的能量數(shù)學(xué)本質(zhì):矢量空間信號(hào)正交變換的范數(shù)不變性。
§6.5相關(guān)在一個(gè)周期內(nèi),R消耗的能量平均功率可表示為設(shè)i(t)為流過電阻R的電流,v(t)為R上的電壓瞬時(shí)功率為一.能量信號(hào)和功率信號(hào)定義討論上述兩個(gè)式子,只可能出現(xiàn)兩種情況:
(有限值)
(有限值) 滿足式的稱為能量信號(hào),滿足
式稱功率信號(hào)。定義:一般說來,能量總是與某一物理量的平方成正比。令R=1,則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi),實(shí)信號(hào)f(t)的平均功率能量一般規(guī)律
一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。
非周期信號(hào),在有限區(qū)間有值,為能量信號(hào)。
還有一些非周期信號(hào),也是非能量信號(hào)。如u(t)是功率信號(hào);而tu(t)為非功率非能量信號(hào);δ(t)是無定義的非功率非能量信號(hào)。數(shù)學(xué)本質(zhì):相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。物理本質(zhì):相關(guān)與信號(hào)能量特征有著密切聯(lián)系。
1.相關(guān)系數(shù)由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定:二.相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)由柯西-施瓦爾茨不等式,得所以2.相關(guān)函數(shù)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào)f1(t)與f2(t)為實(shí)函數(shù)f1(t)與f2(t)為
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