江蘇省高考真題數(shù)試卷及答案(理科)word

2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題卷Ⅰ必做題部分一．填空題1．函數(shù)的最小正周期為。2．設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為。3．雙曲線的兩條漸近線的方程為。4．集合共有個(gè)子集。5．下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是。6．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的5此訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較小）的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為。7．現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為。8．如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則。9．拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò切蝺?nèi)部與邊界）。若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是。10．設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，，，若（為實(shí)數(shù)），則的值為。11．已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為。12．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為。13．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)（）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為。14．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為。二．解答題：15．本小題滿分14分。已知，。（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值。16．本小題滿分14分。如圖，在三棱錐中，平面平面，，xyAlO，過(guò)作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).xyAlO求證：（1）平面平面；（2）.17．本小題滿分14分。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線,設(shè)圓的半徑為，圓心在上。（1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍。CBA18．本小題滿分16分。如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到。現(xiàn)有甲．乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，，。CBA（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19．本小題滿分16分。設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，，其中為實(shí)數(shù)。（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：。20．本小題滿分16分。設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)。（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。卷Ⅱ附加題部分［選做題］第21題，本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。21．A.［選修4-1：幾何證明選講］本小題滿分10分。如圖，和分別與圓相切于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心，且求證：21．B.［選修4-2：矩陣與變換］本小題滿分10分。已知矩陣，求矩陣。21.C.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］本小題滿分10分。在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），試求直線與曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)。21．D.［選修4-5：不定式選講］本小題滿分10分。已知＞0，求證：［必做題］第22、23題，每題10分，共20分。請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。CBCBADMN19．證明：∵是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和∴（1）∵∴∵成等比數(shù)列∴∴∴∴∵∴∴∴∴左邊=右邊=∴左邊=右邊∴原式成立（2）∵是等差數(shù)列∴設(shè)公差為，∴帶入得：∴對(duì)恒成立∴由①式得：∵∴由③式得：法二：證：（1）若，則，，．當(dāng)成等比數(shù)列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差數(shù)列，則型．觀察(※)式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而≠0，故．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列．20.解：（1）由即對(duì)恒成立，∴而由知＜1∴由令則當(dāng)＜時(shí)＜0，當(dāng)＞時(shí)＞0，∵在上有最小值∴＞1∴＞綜上所述：的取值范圍為（2）證明：∵在上是單調(diào)增函數(shù)∴即對(duì)恒成立，∴而當(dāng)時(shí)，＞∴分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，＞0∴f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)∵∴f（x）存在唯一零點(diǎn)（Ⅱ）當(dāng)＜0時(shí)，＞0∴f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)∵＜0且＞0∴f（x）存在唯一零點(diǎn)（Ⅲ）當(dāng)0＜時(shí)，，令得∵當(dāng)0＜＜時(shí)，＞0；＞時(shí)，＜0∴為最大值點(diǎn)，最大值為①當(dāng)時(shí)，，，有唯一零點(diǎn)②當(dāng)＞0時(shí)，0＜，有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)際上，對(duì)于0＜，由于＜0，＞0且函數(shù)在上的圖像不間斷∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn)另外，當(dāng)，＞0，故在上單調(diào)增，∴在只有一個(gè)零點(diǎn)下面考慮在的情況，先證＜0為此我們要證明：當(dāng)＞時(shí)，＞，設(shè)，則，再設(shè)∴當(dāng)＞1時(shí)，＞-2＞0，在上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)＞2時(shí)，＞＞0從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)＞時(shí)，＞＞0即當(dāng)＞時(shí)，＞，當(dāng)0＜＜時(shí)，即＞e時(shí)，＜0又＞0且函數(shù)在上的圖像不間斷，∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn)，又當(dāng)＞時(shí)，＜0故在上是單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)綜合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0＜＜時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為221．A證明：連接OD，∵AB與BC分別與圓O相切于點(diǎn)D與C∴,又∵∴～∴又∵BC=2OC=2OD∴AC=2AD21．B解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為,則=，即=，故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩陣A的逆矩陣為,∴==21．C解：∵直線的參數(shù)方程為∴消去參數(shù)后得直線的普通方程為①同理得曲線C的普通方程為②①②聯(lián)立方程組解得它們公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，21．D證明：∵又∵＞0，∴＞0，,∴∴∴22．本題主要考察異面直線．二面角．空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算，考察運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力。解：（1）以為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,,∴,∴∴異面直線與所成角的余弦值為（2）是平面的的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，∵,由∴取，得，∴平面的法向量為設(shè)平面與所成二面角為∴，得∴平面與所成二面角的正弦值為23．本題主要考察集合．?dāng)?shù)列的概念與運(yùn)算．計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問(wèn)題能力及推理論證能力。（1）解：由數(shù)列的定義得：，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，∴，，，，∴集合中元