江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

2022～2023學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)2022.11注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共4頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第12題)、填空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題)．本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆．請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計(jì)算補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù)”的否定是()A.任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù) B.任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)C.存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是素?cái)?shù) D.存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求求解.【詳解】“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù)”的否定是“任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)”.故選：B3.若集合A的子集個(gè)數(shù)有4個(gè)，則集合A中的元素個(gè)數(shù)是()A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)和子集個(gè)數(shù)關(guān)系列式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)集合A中的元素個(gè)數(shù)是，則，解得故選：A.4.已知是定義在上的增函數(shù)，則()A.函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性定義和其對(duì)稱性可判斷AB；利用奇偶性的定義以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷CD.【詳解】不妨令，則，且的定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，則的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則不可能在上單調(diào)，故AB錯(cuò)誤；令，則，且的定義域?yàn)椋适瞧婧瘮?shù)，因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，故在上是增函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.的值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞減 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為冪函數(shù)且為偶函數(shù)可得，進(jìn)而得，根據(jù)奇偶性的判斷可判斷A，根據(jù)單調(diào)性確定值域可判斷B，C,代入計(jì)算進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得或,又是偶函數(shù),所以,故,故;對(duì)于A;,故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B；，由于，所以，故，故值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤,對(duì)于C;,由于在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故在遞增，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D；從而，故D正確，故選：D6.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是，則()A.與有關(guān)，且與有關(guān) B.與有關(guān)，但與無關(guān)C.與無關(guān)，且與無關(guān) D.與無關(guān)，但與有關(guān)【答案】B【解析】【分析】易證得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，分，，和四種情況討論，求出函數(shù)得最大值和最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，則，與無關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與無關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與有關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與有關(guān)，與無關(guān)，綜上所述與有關(guān)，但與無關(guān).故選：B.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用該結(jié)論，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)滿足的關(guān)系式即可列方程求解.【詳解】設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)，令，則，由為奇函數(shù)，故，即，化簡(jiǎn)得，故且，解得，故對(duì)稱中心為，故選：C8.若將有限集合的元素個(gè)數(shù)記為，對(duì)于集合，，下列說法正確的是()A.若，則B.若，則或C.若，則D.存在實(shí)數(shù)，使得【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再對(duì)分類討論求出集合，最后根據(jù)所給對(duì)于及集合的運(yùn)算一一分析即可.【詳解】解：由，即，解得，所以，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；由，即，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于B：若，若則，則，此時(shí)，若則，則，此時(shí)，綜上可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，當(dāng)時(shí)顯然滿足，當(dāng)時(shí)則，解得，當(dāng)時(shí)則，解得，綜上可得，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，若，則，此時(shí)，即，則，與矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題為真命題的是()A.是的必要不充分條件B.或?yàn)橛欣頂?shù)是為有理數(shù)的既不充分又不必要條件C.是的充分不必要條件D.的充要條件是【答案】BD【解析】【分析】由已知，選項(xiàng)A，可舉例當(dāng)時(shí)，判斷是否滿足必要性；選項(xiàng)B，選項(xiàng)C，選項(xiàng)D，可根據(jù)條件和結(jié)論分別驗(yàn)證充分性和必要性.【詳解】選項(xiàng)A，必要性：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，中有一個(gè)數(shù)為有理數(shù)時(shí)，不一定為有理數(shù)(如：)，所以或?yàn)橛欣頂?shù)不一定能推導(dǎo)出為有理數(shù)；為有理數(shù)時(shí)，，可能均為無理數(shù)(如：)，所以，此時(shí)為有理數(shù)不一定能推導(dǎo)出或?yàn)橛欣頂?shù)，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，充分性：，必要性：，應(yīng)為充要條件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，必要性：，所以，即，所以；充分性：，則，該選項(xiàng)正確.故選：BD.10.函數(shù)滿足條件：①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)恒有；②對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)都有成立，則稱其為函數(shù).下列函數(shù)為函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)的定義結(jié)合圖象逐一判斷即可.【詳解】依題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)恒有，即是減函數(shù)；對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有成立，是下凹函數(shù).A選項(xiàng)中，是減函數(shù)，且，故不滿足條件，不是函數(shù)；B選項(xiàng)中，是減函數(shù)，如圖可知，圖象下凹，，是函數(shù)；C選項(xiàng)中，是減函數(shù)，如圖可知，圖象下凹，，函數(shù)；D選項(xiàng)中，是增函數(shù)，如圖所示，所以不是函數(shù).故選：BC.11.函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則()A.若，則函數(shù)的值域?yàn)锽.若，則函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】AB選項(xiàng)利用分段函數(shù)的值域求解判斷；CD選項(xiàng)利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解判斷.【詳解】解：若，則函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤B正確；若函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得，所以的取值范圍是，故C錯(cuò)誤D正確.故選：BD12.下列說法正確的是()A.函數(shù)，與函數(shù)，是同一個(gè)函數(shù)B.直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)C.滿足“值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同”的函數(shù)組不存在D.滿足“定義域相同，值域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同”的函數(shù)有無數(shù)個(gè)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，以及函數(shù)的三個(gè)要素：定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A;函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域相同，故為同一個(gè)函數(shù)，A正確，對(duì)于B;根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)任意的自變量,都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，故直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，B正確，對(duì)于C；如，兩函數(shù)的值域均為，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D；例如對(duì)任意的一次函數(shù)，定義域值域均為,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故D正確，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】直接利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，①，又，②，①+②可得即的取值范圍是故答案為：14.若函數(shù)為奇函數(shù)，則____．【答案】3【解析】【分析】結(jié)合已知條件，首先利用奇函數(shù)性質(zhì)和賦值法求出參數(shù)，進(jìn)而可得到答案.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，故.故答案為：3.15.已知正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____．【答案】【解析】【分析】參變分離得，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】由恒成立得恒成立，即求的最小值又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4，即實(shí)數(shù)的最大值是4故答案為：4.16.若函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，都有，且，則不等式的解集是____．【答案】##【解析】【分析】由已知，根據(jù)經(jīng)過變形得到，可令，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，將要求的不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性直接求解即可.【詳解】由已知，函數(shù)定義域?yàn)?，且，可設(shè)，則，令，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，不等式可變?yōu)?，又因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的定義域是，集合.(1)若，求，；(2)若命題“，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求出集合,然后利用集合的運(yùn)算即可求解；(2)將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，也即，列出條件成立的不等式組，解之即可.【小問1詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得，故若，則，，.【小問2詳解】由(1)知：，若命題“”是真命題，則.，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由韋達(dá)定理即可求得實(shí)數(shù)的值；(2)分和兩種情況討論即可.【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，且方程的兩不等根為?,()由韋達(dá)定理得:，解得：.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，可得的解集為，所以有，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.閱讀：序數(shù)屬性是自然數(shù)的基本屬性之一，它反映了記數(shù)的順序性，回答了“第幾個(gè)”的問題.在教材中有如下順序公理：①如果，那么；②如果，那么.(1)請(qǐng)運(yùn)用上述公理①②證明：“如果，那么.”(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用不等式基本性質(zhì)得到，，從而得到；(2)法一：利用基本不等式得到，的取值范圍為，從而且，利用(1)中的結(jié)論即可得到答案；法二：令，得到函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和值域，令，得到的取值范圍為，此時(shí)，利用其單調(diào)性求出值域，得到答案；法三：令，則，令，得到的取值范圍為，換元后得到，再用作差法和因式分解得到，分和，均有，證明出，證明出結(jié)論.【小問1詳解】，且，同理，；【小問2詳解】法一：當(dāng)同號(hào)時(shí)，，.當(dāng)異號(hào)時(shí)，，，.·綜上可知，的取值范圍為，的取值范圍為且，·由(1)中的結(jié)論可知：.法二：令，則關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?令，則的取值范圍為，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?·法三：令，則，令，則的取值范圍為，又，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，又，所以，原命題即證.20.某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/(kW·h)，年用電量為akW·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/(kW·h).經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為).該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/(kW·h).記本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益為(單位：元)，實(shí)際電價(jià)為(單位：元/(kW·h)).(收益=實(shí)際電量(實(shí)際電價(jià)成本價(jià)))(1)當(dāng)時(shí)，實(shí)際電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%？(2)當(dāng)時(shí)，求收益的最小值.【答案】(1)0.6元/(kW·h)(2)【解析】【分析】(1)先表示出下調(diào)電價(jià)后新增用電量，則電力部門的收益當(dāng)時(shí)，代入表達(dá)式中列出不等式，解出結(jié)果即可得實(shí)際電價(jià)最低定價(jià).(2)當(dāng)時(shí)，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可【小問1詳解】由題意知，下調(diào)電價(jià)后新增用電量為.故電力部門的收益，.(1)當(dāng)時(shí)，.由題意知且.化簡(jiǎn)得.解得.或又.·所以實(shí)際電價(jià)最低定為：0.6元/(kW·h)時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.令，，.·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故收益的最小值.21.已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，，用表示，中的較大者，記為，求的最小值；(2)若不等式對(duì)任意，()恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用分段函數(shù)表示，并利用作差法求出分段函數(shù)中對(duì)應(yīng)的自變量范圍，最后利用單調(diào)性即可求解；(2)構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞增，然后分類討論的參數(shù)和判別式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由或，此時(shí)；，此時(shí)，從而，結(jié)合一元二次函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而故的最小值為.【小問2詳解】令，由對(duì)任意，()恒成立，即對(duì)任意，()恒成立，故在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)可知