山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加法，.故選：A2.已知等差數(shù)列的前n項和為則（）A.18 B.21 C.39 D.42【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：因為等差數(shù)列的前n項和為所以，故選：C3.如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為，記次獨(dú)立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】伯努利試驗中隨機(jī)變量服從二項分布，根據(jù)方差的計算公式即可算出結(jié)果.【詳解】解：伯努利試驗中隨機(jī)變量服從二項分布，即，因為出現(xiàn)“成功”的概率為，所以，因為次獨(dú)立重復(fù)試驗，所以，所以.故選：.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.5.某學(xué)校對高二學(xué)生是否喜歡閱讀進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡閱讀不喜歡閱讀總計男學(xué)生302050女學(xué)生401050總計7030100根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列對該校高二學(xué)生的說法正確的是（）P（x2≥k）k2072A.沒有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，再與臨界值表對照，逐項判斷.【詳解】解：A.因為，所以有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯誤；B.因為，所以沒有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯誤；C.因為，所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，不能認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯誤；D.因為，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故D正確；故選：D6.若的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項為（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用求出，然后再利用二項式展開式的通項即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，則展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為：.故選：D.7.已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（）A.64 B.62 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到，，，，相加得到答案.【詳解】，，則，，，.故.故選：B8.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，從而得到新函數(shù)的單調(diào)性，然后再對要求的不等式變形，變成“”的形式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉對應(yīng)關(guān)系“”，從而解得答案.【詳解】因為定義在上，所以中的式子要有意義，需滿足，解得.因為，所以，即，設(shè)函數(shù)，則在定義域上單調(diào)遞減.要求，則當(dāng)，即時，，即，所以，解得或，所以；當(dāng)，即時，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，當(dāng)時，有，顯然成立；綜上，的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)r越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱B.若P（B|A）=P（B），且P（B）>0，則事件A，B相互獨(dú)立C.回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，且至少經(jīng)過一個樣本點(diǎn)D.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線性回歸直線的相關(guān)知識可判斷選項A，C，D；利用相互獨(dú)立事件的概念即可判斷選項B.【詳解】線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項A錯誤；因為P（B|A）=P（B），且P（B）>0，所以事件A，B相互獨(dú)立，故選項B正確；回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，當(dāng)不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，故選項C錯誤；殘差平方和越小的模型，線性回歸模型的擬合效果越好，故選項D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.有且僅有兩個極值點(diǎn)B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為或D可能有四個零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)的圖象，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念和單調(diào)性，逐項判定.【詳解】根據(jù)的圖象，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，所以A正確；而B錯誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，或，解得或，所以C正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的圖象與軸最多有三個交點(diǎn)，所以D錯誤.故選：AC11.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（）A.乙連勝三場的概率是B.C.D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對照選項逐項分析即可判斷.【詳解】乙連勝三場時比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5，若比賽局?jǐn)?shù)為3時，乙連勝三場的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為4時，乙連勝三場的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為5時，乙連勝三場的概率是；故選項A錯誤；由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為，則；；故選項B正確；;故選項C錯誤；令，則，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，函數(shù)取最大值，所以的最大值是，故選項D正確；故選：BD.12.給定無窮數(shù)列，若無窮數(shù)列滿足:對任意，都有，則稱與“接近”，則（）A.設(shè)則數(shù)列與“接近”B.設(shè)，，則數(shù)列與“接近”C.設(shè)數(shù)列的前四項為，，，，是一個與接近的數(shù)列，記集合，則中元素的個數(shù)為3或4D.已知是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與接近，且在，，，中至少有100個為正數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】計算，A錯誤，確定得到B正確，計算的范圍，考慮相等的情況得到C正確，考慮，，和四種情況，計算得到答案.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，，正確；對選項C：，故，故，，，，故可能和相等，和相等，但不能同時成立，與不相等，故中元素的個數(shù)為3或4，正確；對選項D：是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與接近，可得，①若，取，，，則，，，中有200個正數(shù)，符合題意；②若，取，則，，可得，則，，，中有200個正數(shù)，符合題意；③若，可令，，滿足，，則，，，中恰有100個正數(shù)，符合題意；④若，若存在數(shù)列滿足：與接近，即為，，可得，，，，中無正數(shù)，不符合題意.綜上所述：的范圍是，正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將等差數(shù)列的公差討論四種情況，可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.要安排4位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲不能第一個出場，則不同的安排方法共有____________種.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，由特殊元素優(yōu)先處理，先安排甲，然后其他同學(xué)順序沒有限制，即可得到結(jié)果.【詳解】因為甲不能第一個出場，則甲可以排在第二，三，四的位置，共3種，剩下3名同學(xué)的排序為，所以不同的安排方法共有種.故答案為:14.已知函數(shù)在取得極值，則_____________【答案】0【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合求參數(shù)a，注意驗證是否取得極值.【詳解】，由題意，此時，故，所以上，上，即上遞減，上遞增，則取得極小值，所以.故答案為：15.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：①從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于;②當(dāng)時，S取得最大值.則____________.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，數(shù)列的公差，要使當(dāng)時，數(shù)列的前n項和為取得最大值，則，則滿足條件，故答案為：（答案不唯一）.16.將字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每個格子各放一個字母.①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為____________；②若表格中一行字母完全相同的行數(shù)為ξ，則ξ的均值為____________.【答案】①.②.【解析】【分析】運(yùn)用排列中的倍縮法求出9個字母的排列數(shù)，當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，分三列依次討論9個字母的排列情況，進(jìn)而求出概率；行數(shù)可能取值為0,1,3，進(jìn)而求出分?jǐn)?shù)為1和3的概率，然后通過分布列的性質(zhì)求出行數(shù)為0的概率，最后求出均值.【詳解】當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，第一列a，b，c三個字母全排列，有種方法，第二列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有種，第三列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有種,所以共有種排列方法，9個字母在的表格中進(jìn)行排列，共有種排列方法，所以所求概率為．由題意知，行數(shù)的可能取值為0,1,3，，，，所以行數(shù)的均值為．故答案為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知曲線在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線經(jīng)過的點(diǎn)列方程求解；（2）求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值然后求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，和極值比較大小，從而得到函數(shù)的值域【小問1詳解】，由題意得.，解得【小問2詳解】由（1）知，令，即，解得或；令，即，解得.所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則的極大值為，極小值為又因為，即在上的最大值，最小值分別為.故在上的值域為18.已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)前n項和與通項公式之間的關(guān)系可得，再結(jié)合等差數(shù)列定義證明；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項相消法求解.【小問1詳解】當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；顯然當(dāng)時，也滿足上式，所以.當(dāng)n≥2時，則，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，，則，可得，所以數(shù)列前n項和為.19.第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計了如下問題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.【答案】（1）（2）該球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用貝葉斯公式求黑球來自甲、乙箱的概率，比較它們的大小，即可得結(jié)論.【小問1詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得：.【小問2詳解】該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率該球取自乙箱的概率因為所以該球取自乙箱的可能性更大.20.已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）已知數(shù)列滿足求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出公比和即可求數(shù)列的通項公式；（2）分別用累加法和錯位相減法求.【小問1詳解】解：因為是，的等差中項，所以，所以，解得，所以，所以，由可解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由題意知，所以………累加得，設(shè)，所以整理得又，所以21.從傳統(tǒng)旅游熱點(diǎn)重現(xiàn)人山人海場面，到新興旅游城市異軍突起；從“特種兵式旅游”出圈，到“味蕾游”興起；從文博演藝一票難求，到國風(fēng)國潮熱度不減……2023年“五一”假期旅游市場傳遞出令人振奮的信息.這個“五一”假期，您在游玩時的滿意度如何?您對景區(qū)在“吃住行游購?qiáng)省钡确椒矫婷嬗心男┰u價和感受?為此，某市文旅局對市內(nèi)各景區(qū)進(jìn)行了游客滿意度測評（滿分100分）.（1）本市一景區(qū)隨機(jī)選取了100名游客的測評成績作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表.成績[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]頻率01按照分層抽樣的方法，先從樣本測評成績在[0，20），[80，100]的游客中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選取3人贈送紀(jì)念品，記這3人中成績在[80，100]的人數(shù)為X，求X的分布列及期望；（2）該市文旅局規(guī)定游客滿意度測評成績在80分及以上為“好評”，并分別統(tǒng)計了該市7個景區(qū)滿意度測評的平均成績x與“好評”率y，如下表所示：x32415468748092y根據(jù)數(shù)據(jù)初步判斷，可選用作為回歸方程.（i）求該回歸方程;（ii）根據(jù)以上統(tǒng)計分析，可以認(rèn)為本市各景區(qū)滿意度測評平均成績x~N（μ，400），其中μ近似為樣本平均數(shù)a，估計該市景區(qū)“好評”率不低于的概率為多少?參考公式與數(shù)據(jù)：若，則，線性回歸方程中，若隨機(jī)變量，則【答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知X的取值范圍是{1，2，3}，然后算出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列，代入均值的計算公式即可求解；（2）（i）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法即可求解方程；（ii）利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】按照分層抽樣的方法，測評成績在[0，20）的游客有2人，[80，10