遼寧省六校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

2022—2023學(xué)年度(上)六校高二月考數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式得到集合，再求.【詳解】因為，又，所以.故選：C.2.若直線l的傾斜角滿足，且，則其斜率k滿足()．A. B.C.，或 D.，或【答案】C【解析】【分析】由直線的傾斜角的范圍，得到斜率的范圍，求解即可.【詳解】由，得，由，，故，或.所以本題答案為C.【點睛】本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，注意傾斜角的范圍，正切函數(shù)在和上都是單調(diào)增函數(shù)．3.若向量(x，4，5)，(1，﹣2，2)，且與的夾角的余弦值為，則x＝()A.3 B.﹣3 C.﹣11 D.3或﹣11【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．【詳解】∵x﹣8+10＝x+2，，3．∴，則x+2＞0，即x＞﹣2，則方程整理得x2+8x﹣33＝0，解得x＝﹣11或3．x＝﹣11舍去，∴x＝3故選A．【點睛】本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的值為()A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用垂徑定理，結(jié)合點到線的距離公式求解.【詳解】由圓可知，圓心，半徑為：，若直線被圓所截得的弦長為，則由垂徑定理可知圓心到直線的距離：，故，解得或.故選：A.【點睛】本題考查直線與圓相交時弦長的求解，考查點到線距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.的展開式中常數(shù)項為A. B. C. D.105【答案】B【解析】【詳解】：令解得展開式中常數(shù)項為【考點定位】本題考查利用二項展開式的通項公式求展開式的常數(shù)項6.已知直線與雙曲線交于A，B兩點，點是弦AB的中點，則雙曲線C的漸近線方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用點差法進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，，則，，.因為A，B兩點在雙曲線C上，所以，所以，則，即，故雙曲線C的漸近線方程是.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線中的中點弦問題，其方法是點差法，需要熟練掌握.7.某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修，則不同的選課方案有()A96種 B.84種 C.78種 D.16種【答案】B【解析】【詳解】先確定選的兩門:,再確定學(xué)生選:,所以不同的選課方案有選B.8.已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若，則橢圓C的離心率e為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理與構(gòu)建出關(guān)于a、b、c的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.【詳解】設(shè)，，，過點做傾斜角為的直線，直線方程為：，聯(lián)立方程，可得根據(jù)韋達(dá)定理：，因為，即，所以所以即，所以，聯(lián)立，可得故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，計20分．在每小題給出的選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，有選錯的得零分，部分選對得2分.9.已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是()A.直線l的方程為B.過點O且與直線l平行的直線方程為C.若點到直線l的距離為，則D.點O關(guān)于直線l對稱的點為【答案】ABD【解析】【分析】對A，由截距式可求；對B，由點斜式可求；對C，由點線距離公式可求；對D，兩對稱點連線與直線l垂直，且兩對稱點中點過直線l【詳解】對A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對；對B，直線l斜率為1，故過點O且與直線l平行的直線方程為，即，B對；對C，點到直線l的距離為，故或0，C錯；對D，點O關(guān)于直線l對稱的點滿足，解得，故該點為，D對.故選：ABD10.已知正方體的棱長為，點，分別是，的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是()A.直線平面 B.直線與平面所成的角為C.直線與平面的距離為 D.點到直線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】證明直線平面，A正確，為直線與平面所成的角，B正確，計算，C錯誤，建立空間直角坐標(biāo)系計算得到D正確，得到答案.【詳解】平面，平面，，，，故平面，平面，故，同理可得，，故直線平面，A正確；如圖所示：連接與交于點，則，，，故平面，即為直線與平面所成的角，，B正確；，平面，故平面，為中點，連接，則，故平面，，C錯誤；以軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，點到直線的距離為，D正確.故選：ABD.11.過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點，使得，若這樣的直線有且只有兩條，則實數(shù)的取值范圍可以是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線只與雙曲線右支相交，②直線與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．【詳解】解：過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于，兩點，如果在同一支上，則有；如果在兩支上，則，又與不可能同時等于6，要使得，這樣的直線有且只有兩條，則或，解得或．則實數(shù)的取值范圍是.故選：AD．12.直線l與拋物線相交于，，若，則()A.直線l斜率為定值 B.直線l經(jīng)過定點C.面積最小值為4 D.【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合拋物線方程得出，聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理得出直線l經(jīng)過定點，再由判別式判斷A，由面積公式結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷C.【詳解】，因為，所以，即，，又，所以，故D正確；設(shè)直線，由得，即，，即直線l過定點，故B正確；又，則，故A錯誤；，當(dāng)時，面積取最小值，故C正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，計20分.13.若，則的值為___________【答案】1【解析】【分析】令，則，令，則，從而可求出答案.【詳解】解：由，令，則，令，則，則.故答案為：1.14.設(shè)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分類討論，當(dāng)時與當(dāng)時，分別根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點的不等關(guān)系列式求解即可.【詳解】當(dāng)時，，∵開口向下，對稱軸為，在對稱軸的左邊單調(diào)遞增，∴，解得：；當(dāng)時，是以2為底的對數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，故；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是：故答案：15.已知三棱錐P－ABC，PA⊥面ABC，，，．則三棱錐P－ABC外接球表面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理先求出三棱錐底面的外切圓半徑，因為球心與外切圓圓心聯(lián)系垂直于外切圓所在平面，因此根據(jù)題中條件和勾股定理即可求出球的半徑，從而求出球的表面積.【詳解】如圖，將三棱錐還原成直三棱柱。則三棱柱的外接球O，，，為上下底面的外心，O為的中點，為底面外接圓的半徑根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)題意可知，，根據(jù)勾股定理可知球的半徑所以球O的表面積為故答案為：.16.過x軸上點的直線與拋物線交于A，B兩點，若為定值，則實數(shù)a的值為______．【答案】4【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得，，然后得到，再根據(jù)為定值列方程，解方程即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，同理可得，所以，因為為定值，所以，解得.故答案為：4.【點睛】型式子為定值求參數(shù)的方法：①讓分子分母對應(yīng)項系數(shù)比值相等，例如：為定值，則，解方程即可；②設(shè)，然后根據(jù)定值與變量無關(guān)列方程，例如：為定值，設(shè)，整理得，定值與變量無關(guān)，所以.四、解答題：本題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，，，且邊的中點M在軸上，BC邊的中點N在軸上.(1)求AB邊上的高CH所在直線方程；(2)設(shè)過點C的直線為，且點A與點B到直線距離相等，求的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)AB邊上的高線與直線AB垂直，得到斜率，高線過C點，點斜式求直線方程.(2)設(shè)直線方程，由點A與點B到直線距離相等求出未知系數(shù)，得到方程.【小問1詳解】設(shè)，則，解得，∴，由得，，即【小問2詳解】當(dāng)斜率不存在時，，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，即，依題意得：，有或，解得或，直線l的方程為：或，即：或.18.設(shè)內(nèi)角所對邊分別為，已知，．(1)若，求的周長；(2)若邊的中點為，且，求的面積．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理將角化邊，結(jié)合的邊長，即可求得，以及三角形周長；(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)三角形的中線的向量表示，求得，結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴，∴，因為，故，即，解得(舍)或；則，故△的周長為.【小問2詳解】由(1)知，，又，故，又，則；因為邊的中點為，故，故，即，即；聯(lián)立與可得，故△面積.19.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，ABCD為直角梯形，，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD為斜邊的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E為BS上一點，且BE＝2ES．(1)證明：直線平面ACE；(2)求直線AS與平面ACE所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)利用線面平行判定定理去證明直線平面ACE；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AS與平面ACE所成角的正弦值，進(jìn)而求得其余弦值【小問1詳解】連接交于點，連接．因為，所以與相似．所以．又則，所以．又因為平面，平面，所以直線平面．【小問2詳解】平面平面，平面平面，平面，，所以平面．以為坐標(biāo)原點，所在的方向分別為軸、軸的正方向，與均垂直的方向作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，1，，，2，，，，2，，．設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，得設(shè)直線AS與平面ACE所成的角為，則則．又，則故直線AS與平面ACE所成角的余弦值為20.在平面直角坐標(biāo)系中,動點與兩點連線斜率分別為,且滿足,記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點為曲線在第一象限內(nèi)的點,且,若交軸于點交軸于點,試問:四邊形的面積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.【答案】(1)(2)是定值,定值為【解析】【分析】(1)設(shè)出點坐標(biāo),根據(jù)題意將關(guān)于點坐標(biāo)的方程列出,化簡即可,注意坐標(biāo)需要滿足的條件;(2)設(shè)出點坐標(biāo),有得出,的直線方程,得到,點的坐標(biāo),由于四邊形對角線垂直,其面積為對角線乘積的一半,計算出結(jié)果,判斷是否為定值即可.【小問1詳解】解:由題知不妨設(shè),則有:所以,即,化簡得;【小問2詳解】四邊形的面積為定值6,證明如下:不妨設(shè),則有,方程為:,令,則,所以方程為:,令,則,所以,所以,故四邊形的面積為定值6.【點睛】求軌跡問題分兩類:(1)已知軌跡類型的,設(shè)出軌跡方程,用待定系數(shù)法求出重點數(shù)值即可;(2)未知軌跡類型,求哪點軌跡設(shè)哪點坐標(biāo),根據(jù)題意得出關(guān)于坐標(biāo)的方程等式,進(jìn)行化簡即可.21.如圖，在四邊形中，于交點，.沿將翻折到的位置，使得二面角的大小為.(1)證明：平面平面；(2)在線段上(不含端點)是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為上靠近點的三等分點，理由見解析【解析】【分析】(1)先由題設(shè)條件證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.(2)由已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，通過三點共線設(shè)出點的坐標(biāo)，然后求出二面角對應(yīng)的兩個平面的法向量，再通過二面角的余弦值的絕對值等于其法向量所成角的余弦值的絕對值求解.【小問1詳解】因為，所以，平面,平面,又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】過作，因為平面，所以，因為，平面,平面所以平面，如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸，與過點作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為，所以二面角的平面角為，即則，，.設(shè)，則.設(shè)是平面的一個法向量，則，取因為是平面的一個法向量.所以，解得或(舍).所以為上靠近點的三等分點，即.故：存在點為上靠近點的三等分點滿足條件.22.已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點是雙曲線的右支上異于頂點的任意點，點在直線上，且，為的中點，求證：直線與直線的交點在某定曲線上．【答案】