五年級(jí)巨人奧數(shù)1-16講

第一講奇思妙想知識(shí)要點(diǎn)：這類數(shù)學(xué)問題，帶有智力測(cè)驗(yàn)的性質(zhì)，還有點(diǎn)“腦筋急轉(zhuǎn)彎”的意味，一般不需要較復(fù)雜的計(jì)算，而需要通過機(jī)智的思考來獲得答案。這類問題，我們通常稱之為“智巧問題”，有時(shí)也稱之為“趣味問題”。要正確解答智巧問題，首先要讀懂題意，全面考慮各種情況。其次要充分運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用自己的靈氣以及非常規(guī)的思考方法巧妙地解答。另外還要說明的是，解答問題時(shí)要慎重以免落入“圈套”。①奇偶性；②倒推(這是最常用、最重要的一種辦法，我們要求的是一種必勝情況而不是所有必勝或一種可能獲勝的情況，把握好這個(gè)度很重要。)③從特殊到一般；④列舉法（在可能性較少，運(yùn)算量不大的題目中經(jīng)常用到）。精選例題：例1：有一個(gè)叫“搶30”的游戲，甲，乙兩人輪流從１開始，依次報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù)，誰先報(bào)到30獲勝。問怎樣才能取勝？（如果誰先報(bào)30就輸，又該怎樣設(shè)計(jì)呢？）思路點(diǎn)撥：例2：※有200枚棋子放在盒子里面，甲乙兩人輪流各取兩枚或四枚，取到最后一枚者為勝，請(qǐng)問如果甲先取，必勝的對(duì)策是什么呢？思路點(diǎn)撥：例3：※租車：秋天的景色真美，五年級(jí)183名師生準(zhǔn)備去郊游。李老師從旅行社帶回一張租車價(jià)格表：大客車，限坐45人，每輛每天1000元中巴車，限坐24人，每輛每天600元請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)秀的租車方案。思路點(diǎn)撥：例4：※甲、乙兩人參加同一場(chǎng)考試，又同時(shí)在上午10點(diǎn)離開考場(chǎng)，同時(shí)去吃午飯。但甲說：“我是在午飯前2小時(shí)與考試開始后1.5小時(shí)這兩個(gè)時(shí)間中較早的一個(gè)時(shí)間離開考場(chǎng)的。”乙說：“我是在午飯前2.5小時(shí)與考試后1小時(shí)這兩個(gè)時(shí)間中較晚的一個(gè)時(shí)間離開考場(chǎng)的”。求考試開始和午飯開始的時(shí)間。思路點(diǎn)撥：例5:※三張撲克牌：（1）從一副撲克牌中拿出三張梅花，我們用A、B、C表示，把這三張牌牌面朝下放在桌上，請(qǐng)根據(jù)下面三個(gè)條件，確定它們是哪三張牌？①A和B的點(diǎn)數(shù)之和是13；②B和C的點(diǎn)數(shù)之和是17；③沒有一張牌的點(diǎn)數(shù)是4，也沒有一張牌的點(diǎn)數(shù)大于9。（2）從一副撲克牌中拿出三張撲克牌牌面朝下，放成一排，已知其中：①有一張10在5的右邊；②有一張10在10的左邊；③有一張黑桃在一張紅心的左邊；④有一張黑桃在另一張黑桃的右邊。你知道是哪三張牌？它們?cè)鯓优帕械?？思路點(diǎn)撥：例6:※五個(gè)小朋友圍坐在一個(gè)大圓桌邊，按順時(shí)針方向依次編為1，2，3，4，5號(hào)。老師給1，2，3，4，5號(hào)小朋友分別發(fā)1，2，3，4，5個(gè)蘋果。從5號(hào)小朋友開始，依次按順時(shí)針方向看，若鄰坐的蘋果比自己少，則送給對(duì)方一個(gè)；若鄰坐的蘋果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈為止，他們每人手中各有多少個(gè)蘋果？思路點(diǎn)撥：例7:※孫悟空找來8顆珍珠，大小都一樣。他送給豬八戒說：“八戒，這8顆珍珠中有一顆是假的，是我變出來的，假的比真的輕，7顆真珍珠重量都是一樣的，你能不能用天平稱兩次就找出哪個(gè)是假的呢？”你能夠幫八戒找出嗎？思路點(diǎn)撥：例8：※在天平左邊放砝碼右邊放物體稱重量，最少應(yīng)準(zhǔn)備幾個(gè)砝碼，就能夠稱出1克到60克之間不論多少克的重量？這幾個(gè)砝碼分別是多少克？思路點(diǎn)撥：1,1,2,5,10,20,20應(yīng)用與拓展1.有43枚硬幣甲，乙兩人輪流取，每人每次取1—3個(gè)，規(guī)定最后一個(gè)取完的人為勝，那么甲先取有必勝的把握嗎？（試著考慮如果取最后一個(gè)為輸，那么甲該如何??？）桌面上放著54張撲克牌，兩人輪流從中取1張，2張，或3張，取到最后一張者為輸，怎樣取才能保證獲勝？※有分別裝了63，108個(gè)球的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任意的箱子中取任意的球數(shù)，規(guī)定是一次只能在一個(gè)箱子中取球，不能一個(gè)不取，取到最后球的人為勝者，先取者是必勝的，你能給出方案嗎？有20間房子，有的開著燈，有的關(guān)著燈。在這些房子里的人都希望與大多數(shù)房子保持一致?，F(xiàn)在，從第1間房子里的人開始，如果其余19間房子的燈開著的多，就把燈打開，否則就把燈關(guān)上。假設(shè)最開始時(shí)開燈與關(guān)燈的房子各10間，并且第1間房子的燈開著。那么，這20間房子里的人輪完一遍后，開著燈的房子有幾間？5.小光被家樂福超市聘用。待遇是:年薪9600元和一臺(tái)電腦。可是，小光中途因家人生病，只干了9個(gè)月，便終止了工作。離開時(shí)，家樂福按規(guī)定付給小光9個(gè)月的工資和一臺(tái)電腦。因電腦不能拆開，他只得到3000元和一臺(tái)電腦。那么，這臺(tái)電腦是多少錢呢？6．在天平右邊放砝碼左邊放物體稱重量，最少應(yīng)準(zhǔn)備幾個(gè)砝碼，就能夠稱出1克到125克之間不論多少克的重量？這幾個(gè)砝碼分別是多少克？※如果在81個(gè)零件中混雜了一個(gè)重量稍輕的次品，用天平（不用砝碼）最少稱多少次就能夠把次品找出來？8．※有一把13厘米的繩子，你在上面來做記號(hào)，使得這根繩子能夠一次量出1~13厘米的所有整厘米的長(zhǎng)度，問至少要做幾個(gè)記號(hào)？分別記在哪個(gè)位置上？1,3,7,11,129．※小明參加QQ游戲中的釣魚比賽，每關(guān)有魚50條，評(píng)分方法是：釣上一條3兩銀子（注：釣魚有一定時(shí)間限制，過了時(shí)間就變成石頭），沒釣上勞動(dòng)報(bào)酬1兩銀子，如果釣上石頭來倒扣1兩銀子，小明最后得到的銀子會(huì)是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)10．“嗨！約翰尼斯，”星期天喬在街上遇到一個(gè)年輕人向他喊道，“好久不見，我聽說你開始工作啦！”“幾個(gè)星期了，”約翰尼斯回答道，“這是一份計(jì)件工作，我干得挺好的。第一星期我得了四十多美元，而且后來每個(gè)星期都比前一個(gè)星期多賺99美分?！薄斑@真是巧事！”喬笑了笑并繼續(xù)說，“愿你一如繼往都能這樣！”“我估計(jì)用不了多久我一個(gè)星期便能賺到60美元，”年輕人告訴喬，“自從開始工作到現(xiàn)在，我已經(jīng)賺了整整407美元。這的確不壞！”試問，約翰尼斯第一個(gè)星期賺了多少？第二講數(shù)的整除知識(shí)要點(diǎn)：1．?dāng)?shù)的整除特征：(1)能被4或25整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的末兩位上的數(shù)字所組成的數(shù)能被4或25整除。(2)能被8或125整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的末三位上的數(shù)字所組成的數(shù)能被8或125整除。(3)能被3或9整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3或9整除。(4)能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除。(5)能被7、11、13整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的末三位上的數(shù)字組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被7、11、13整除。2．?dāng)?shù)的整除性質(zhì)：(1)如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如：72能被36整除，36能被9整除，那么72一定能被9整除。(2)如果兩個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如：84與63都能被7整除，那么84+63及84—63都能被7整除。(3)如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如：144能被4整除，又能被9整除，而且4與9互質(zhì)，那么144能被4×9=36整除。精選例題：例1：在下面的數(shù)中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除?100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。思路點(diǎn)撥：例2：學(xué)校為豎笛小組購買了75根豎笛，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根豎笛至少是多少元嗎?思路點(diǎn)撥：例3：一個(gè)六位數(shù)165□□□能同時(shí)被4和9整除，這個(gè)六位數(shù)最大是多少?最小是多少?思路點(diǎn)撥：例4：abcabc這個(gè)六位數(shù)能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，請(qǐng)說明理由。思路點(diǎn)撥：例5:173□是四位數(shù)，數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9、11、6整除”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？思路點(diǎn)撥：例6:到某個(gè)自然數(shù)時(shí)，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個(gè)自然數(shù)是多少?思路點(diǎn)撥：例7:自然數(shù)中1～100內(nèi)共有多少個(gè)不能被3或11整除的數(shù)？思路點(diǎn)撥：例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每個(gè)數(shù)字用一次）組成三個(gè)能被9整除的、和盡可能大的三位數(shù)，這三個(gè)三位數(shù)分別是多少？思路點(diǎn)撥：例9：小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1，2，3，…，13。如果從這兩個(gè)口袋各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么，其中能夠被6整除的乘積共有多少個(gè)？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.在下面的□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字。能被4整除：93□，□可以填()能被8整除：48□2，□可以填()能被9整除：20□308，□可以填()能被25整除：71□□，□□可以填()能被125整除：8□50，□可以填()2.在下面的數(shù)中，哪些能被4整除，哪些能被25整除?哪些能被8整除？哪些能被除125整除?①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000能被4整除的數(shù)是：能被8整除的數(shù)是能被25整除的數(shù)是能被125整除的數(shù)是：3.用2，3，7，8四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，且它是11的倍數(shù)，并將這些數(shù)按從大到小排列出來。4.在42□0□的方框中填上合適的數(shù)字，使這個(gè)五位數(shù)能同時(shí)被2、3、5整除，請(qǐng)寫出所有可能的情況。5.自然數(shù)N由兩種數(shù)字0和8組成，且是15的倍數(shù)，當(dāng)N盡可能小時(shí)，它是15的多少倍？6．在97538□□的□里填上什么數(shù)字就能被45整除？填上什么數(shù)字就能被21整除？7.實(shí)驗(yàn)小學(xué)五年級(jí)三班期末數(shù)學(xué)綜合測(cè)試，平均分是90分，總分是A95B，求這個(gè)班有多少學(xué)生。8．過新年，小明到大潤發(fā)超市買了一箱飲料共24瓶，可收據(jù)上的錢數(shù)已模糊不清，只看到總價(jià)是□27．□元，這箱飲料至少多少錢?9．一個(gè)七位數(shù)4352□□□，□中的各位數(shù)字互不相同，且這個(gè)七位數(shù)能同時(shí)被7和6整除，這個(gè)七位數(shù)最大是多少?10.一個(gè)六位數(shù)256□□□能同時(shí)被8和9整除，求這樣的六位數(shù)中最小的數(shù)是多少?11.有10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和是85。在這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)之和最大是多少？12.用1-9九個(gè)數(shù)字組成三個(gè)三位數(shù)，使其中最大的三位數(shù)被3除余2，且盡可能地??；次大的三位數(shù)被3除余1；最小的三位數(shù)能被3整除。那么，最大的三位數(shù)是多少？（每個(gè)數(shù)字只用一次）第三講分解質(zhì)因數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：1．判斷一個(gè)較大自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)：順次從小到大用質(zhì)數(shù)試除，除到除數(shù)比商大或者相等時(shí)為止。2.因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的數(shù)是完全平方數(shù)，有3個(gè)因數(shù)的數(shù)，是質(zhì)數(shù)的平方數(shù)。3．求一個(gè)數(shù)因數(shù)個(gè)數(shù)及所有因數(shù)和的方法：先將這個(gè)數(shù)分解為標(biāo)準(zhǔn)分解式，再根據(jù)公式計(jì)算。精選例題：例1：判斷269、439是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?思路點(diǎn)撥：例2：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？思路點(diǎn)撥：例3：36的全部因數(shù)有多少個(gè)?216的全部因數(shù)有多少個(gè)?思路點(diǎn)撥：例4：36的因數(shù)和是多少?216的因數(shù)和是多少?思路點(diǎn)撥：例5:李聰是個(gè)中學(xué)生，他參加了全市的數(shù)學(xué)競(jìng)賽(滿分100分)。他說：“我的名次、分?jǐn)?shù)和我的年齡乘起來是3738?！崩盥?shù)昧硕嗌俜?，獲得了第幾名?思路點(diǎn)撥：例6:小亞、小美和小歐是三個(gè)好朋友，他們?nèi)说哪挲g依次相差2歲，已知他們?nèi)说哪挲g之積是1680，他們中年齡最大的上了初中，小亞和小歐在同一學(xué)校學(xué)習(xí)，小亞不是年齡最小的，那么三個(gè)好朋友的年齡分別是多少?思路點(diǎn)撥：例7:連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？思路點(diǎn)撥：例8：把14、33、35、30、75、39、143、169這八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。思路點(diǎn)撥：例9：一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。思路點(diǎn)撥：例10：有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.兩個(gè)質(zhì)數(shù)和是45，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少?一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，將它們的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后仍是一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，這樣的數(shù)共有幾個(gè)，求它們的和是多少?求100以內(nèi)所有只有三個(gè)因數(shù)的自然數(shù)的和是多少?把1008分解質(zhì)因數(shù)，并求出它們因數(shù)的個(gè)數(shù)及因數(shù)和。冬冬參加小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，滿分是100分。他說：“我的分?jǐn)?shù)、我的歲數(shù)和我競(jìng)賽得的名次乘起來，積是2134?！蹦隳芊袂蟪龆哪挲g、考試成績(jī)和名次分別是多少?a、b、c、d都是不同的質(zhì)數(shù)，a+b+c=d，那么a×b×c×d的最小值是多少？7.1，2，3，4，5，6，7，8，9九張卡片，甲、乙、丙各拿了三張。甲拿的三張卡片上的數(shù)字乘積是24，乙拿的三張卡片上的數(shù)字乘積是48，丙拿的三張卡片上的數(shù)字之和是21，丙拿的是哪三張卡?8．在射箭運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員每射一箭的環(huán)數(shù)只能是下列數(shù)之一：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0環(huán)表示脫靶，現(xiàn)在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764。但是甲的總環(huán)數(shù)比乙的總環(huán)數(shù)少4環(huán)，求甲、乙的總環(huán)數(shù)。9．把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使每組數(shù)中4個(gè)數(shù)的乘積相等，其中一組有14，另一組中的4個(gè)數(shù)分別是多少？某商店進(jìn)一批碟片，原來每盤5元，后來降價(jià)3角錢出售，這天共得貨款235元，這天賣出碟片多少盤？第四講最大公因數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)公因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。我們可以把自然數(shù)a,b的最大公因數(shù)記作（a,b）,如果（a,b）=1，則a和b互質(zhì)。求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)可以用分解質(zhì)因數(shù)法和短除法等方法。精選例題：例1：試求出270與252的最大公因數(shù)。思路點(diǎn)撥：例2：試求出1617，1155，2695的最大公因數(shù)。思路點(diǎn)撥：例3：把一塊長(zhǎng)為56厘米，寬42厘米的長(zhǎng)方形紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問能裁成最大的正方形紙塊的邊長(zhǎng)是多少？共裁成幾塊？思路點(diǎn)撥：例4：一塊長(zhǎng)方形的布長(zhǎng)7米5分米，寬6米，現(xiàn)在要把它裁成一塊塊正方形的布，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形布最大，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？可以裁多少塊？思路點(diǎn)撥：例5:一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，長(zhǎng)2.7分米，寬1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余。正方體的棱長(zhǎng)最大是多少分米？思路點(diǎn)撥：例6:有22塊橡皮和33支鉛筆平均分給參加打掃教室衛(wèi)生的同學(xué)，結(jié)果橡皮多1塊，鉛筆少2支。參加打掃衛(wèi)生的同學(xué)最多有多少名？思路點(diǎn)撥：例7:有336支鉛筆，252塊橡皮，210個(gè)文具盒，用這些文具，最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，鉛筆、橡皮、文具盒各有多少？思路點(diǎn)撥：例8：某幼兒園到圖書館借書，如借35本，平均分發(fā)給每個(gè)小朋友差1本；如借56本，平均分給每個(gè)小朋友后還剩2本；如借69本，平均分給每個(gè)小朋友則差3本。問幼兒園最多有多少個(gè)小朋友？思路點(diǎn)撥：例9：兩個(gè)數(shù)的和是70，它們的最大公因數(shù)是7。這兩個(gè)數(shù)的差是多少？思路點(diǎn)撥：例10：十個(gè)自然數(shù)之和等于1001，這十個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)可能取的最大值是多少？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.試求出1071與819的最大公因數(shù)。2.試求出210，924，1089的最大公因數(shù)。3.一塊長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)96厘米，寬60厘米，把它裁成同樣大小的正方形，而無剩余，至少可以裁多少塊？4.“六一”兒童節(jié)，學(xué)校準(zhǔn)備將圖書120本，鋼筆180只，筆盒240個(gè)全部裝成禮品袋，每袋禮品相同，送給學(xué)校盡可能多的班級(jí)，每班一袋應(yīng)裝多少袋？每袋三種東西各有多少？5.有3根鐵絲，長(zhǎng)度分別是12厘米，18厘米和24厘米?，F(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不許有剩余，每小段最長(zhǎng)是多少厘米？6．某班級(jí)開展為“希望小學(xué)”捐款活動(dòng)，老師只記下四個(gè)小組各捐的錢分別是：261元、319元、261元、348元，又知道每個(gè)人捐的錢數(shù)一樣多且超過1元。那么這個(gè)班級(jí)共有多少人？7．大光中學(xué)召開代表大會(huì)，有學(xué)生代表40人，教師代表32人，職工代表24人，要編成若干組進(jìn)行討論，編組時(shí)各方代表人數(shù)要相等，最多能編幾組？每組有各方代表各幾人？8．有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，長(zhǎng)60厘米，寬40厘米，高24厘米，如果要切成同樣大小的小正方體，這些正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？9．用一張長(zhǎng)1071毫米，寬469毫米的長(zhǎng)方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少？?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和為50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個(gè)數(shù)的積。第五講最小公倍數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積精選例題：例1：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是20，最小公倍數(shù)是330，這兩個(gè)數(shù)的乘積是多少？思路點(diǎn)撥：例2：兩個(gè)自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)的120，這兩個(gè)數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥：例3：甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是最大兩位整十?dāng)?shù)，那么甲、乙兩數(shù)各是多少？思路點(diǎn)撥：例4：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是66，最小公倍數(shù)是2310，這兩個(gè)數(shù)的差是132，這兩個(gè)數(shù)分別是多少?思路點(diǎn)撥：例5:達(dá)達(dá)、慧慧和聰聰都定期到圖書館看書，達(dá)達(dá)每6天去一次，慧慧每8天去一次，聰聰每9天去一次，如果他們今天剛好一起去了圖書館，至少再過多少天三人同時(shí)去?思路點(diǎn)撥：例6:一排電線桿共計(jì)4l根，每相鄰兩根間相距都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動(dòng)?思路點(diǎn)撥：例7:有一袋奶糖發(fā)給學(xué)前班的小朋友，每人得8顆，最后剩下1顆糖；每人得10顆，最后也剩下1顆糖；每人得12顆，最后還是剩下1顆糖。這袋奶糖至少有多少顆？思路點(diǎn)撥：例8：三個(gè)人繞環(huán)行跑道練習(xí)騎自行車，他們騎一圈的時(shí)間分別是半分鐘，45秒鐘和1分15秒，三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能再次同時(shí)在起點(diǎn)相會(huì)？思路點(diǎn)撥：例9：甲乙丙三人賽跑，甲每分鐘跑120米，乙每分鐘跑100米，丙每分鐘跑70米，如果三人同時(shí)同向，從同地出發(fā)，沿周長(zhǎng)是300米的圓形跑道奔跑，經(jīng)過多少分鐘后，三人又可相遇？思路點(diǎn)撥：例10：今年，王爺爺?shù)哪挲g是小明年齡的6倍。幾年后，王爺爺?shù)哪挲g將是小明年齡的5倍。又過幾年后，王爺爺?shù)哪挲g將是小明年齡的4倍。你知道王爺爺今年多少歲嗎？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是60，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？2.已知兩數(shù)的積是3072，最大公因數(shù)的16，求這兩個(gè)數(shù)。3.已知兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是210，它們的積是1260，它們的和是72，求這兩個(gè)數(shù)的差。4.市公交一公司有1路、3路、5路三條不同線路的公交車。1路車每隔5分鐘發(fā)車一次，3路車每隔6分鐘發(fā)車一次，5路車每隔10分鐘發(fā)車一次。三條線路的車在同一時(shí)間發(fā)車后，再經(jīng)過多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？5.街道上一邊原有電線桿25根，每相鄰兩根間的距離都是45米，由于改建，要把每?jī)筛€桿間的距離改成60米，可以有幾根不需改動(dòng)？6．有若干棵樹苗，植樹時(shí)，如果每行10棵，那么最后一行缺一棵；如果每行9、8、7、6、5、4、3、2棵，最后一行都缺一棵，這批樹苗的數(shù)量在5000棵左右，這批樹苗有多少棵？7．一支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)，且超過1000人，若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人；若按每排3人編隊(duì)，則最后差2人；若按每排2人編隊(duì)，則最后差1人，這支隊(duì)伍至少有多少人？8．小明10分鐘跑一圈，浩浩12分鐘跑一圈，嘟嘟15分鐘跑一圈，他們同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，至少需要多少分鐘同時(shí)回到起點(diǎn)？9．在周長(zhǎng)600米的環(huán)形跑道周圍每隔6米放一盆菊花，放完后又每隔8米放一盆月季花，放完后再每隔10米放一盆蘭花。原來放花的地方不再放花，一共放了多少盆花？10．測(cè)量土地的技術(shù)人員用的測(cè)量標(biāo)尺上用紅、白、黑三種顏色做標(biāo)記，分別將標(biāo)尺平均分成了10等份，12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記從一端向另一端（不重復(fù)、不交叉），標(biāo)尺總共被分成了多少小段？第六講長(zhǎng)方體和正方體的表面積知識(shí)要點(diǎn)：長(zhǎng)方體和正方體是最簡(jiǎn)單的立體圖形，它們都有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)。正方體的6個(gè)面都是正方形且面積相等，每條棱的長(zhǎng)度都相等。正方體是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方體，當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都相等時(shí)，即為正方體。長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6在求長(zhǎng)方體和正方體的表面積時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到拼、切的問題，除了要切實(shí)掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方法外，還必須知道：把一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。例題：例1、一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和是48厘米，長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米，它的表面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例2、一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的表面積時(shí)多少平方厘米。思路點(diǎn)撥：例3、有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件。中間挖去一個(gè)正方體的孔（如下圖）。你能算出它的表面積嗎？（單位：厘米）思路點(diǎn)撥：例4、下圖中的立體圖形是由14個(gè)棱長(zhǎng)為5cm的立方體組成的，求這個(gè)立體圖形的表面積。思路點(diǎn)撥：例5、一個(gè)正方體的表面積為54平方厘米，如果一刀把它切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，那么，這兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例6、一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方米。原來正方體的表面積是多少平方厘米？

思路點(diǎn)撥：例7、一個(gè)長(zhǎng)方體，高截去2厘米，表面積就減少了48平方厘米，剩下部分成為一個(gè)正方體，原長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例8、一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是3厘米，表面涂滿了紅漆，把它切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體若干塊，問：在這些小正方體中，三面涂有紅色的有多少塊？?jī)擅嫱坑屑t色的有多少塊？一面涂有紅色的有多少塊？六個(gè)面都沒有涂上紅色的有多少塊？思路點(diǎn)撥：例9、用6塊棱長(zhǎng)分別為1、2、3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，共有多少種拼法？表面積最大可以是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例10、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6厘米、5厘米、4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體，這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1、一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和相等，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6分米、4分米、2分米，正方體的表面積是多少平方分米？2、一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬1厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如下圖），剩下部分的表面積是多少？3、有一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下的物體的體積和表面積各是多少？4、19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體堆成如下圖的形狀，求它的表面積是多少平方厘米？5、把一根長(zhǎng)方體木料鋸成5個(gè)相等的正方體，表面積比原來增加了96平方厘米，這根木料原來的表面積是多少平方厘米？6、下圖正方體木塊的表面積是36平方分米，把它沿虛線截成體積相等的8個(gè)正方體木塊，這時(shí)表面積增加了多少平方分米？7、一根長(zhǎng)80厘米，寬和高都是12厘米的長(zhǎng)方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？8、把若干個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體堆成一個(gè)大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個(gè)，那么，堆成的大正方體的表面積是多少平方厘米？9、若將三個(gè)棱長(zhǎng)分別為1、2和3厘米的正方體粘在一起成為物體甲，則物體甲的表面積最小是多少平方厘米？10、有三塊完全一樣的長(zhǎng)方體，每塊長(zhǎng)8厘米，寬5厘米，高3厘米。要把他們粘成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是多少平方厘米？第七講長(zhǎng)方體和正方體的體積知識(shí)要點(diǎn)：長(zhǎng)方體或正方體所占空間的大小叫做它們的體積。長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意以下幾點(diǎn)：（1）以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件聯(lián)系起來；（2）將復(fù)雜的圖形經(jīng)過割、補(bǔ)后轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的圖形；（3）求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決；（4）當(dāng)一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體時(shí)（不計(jì)耗損），體積不變；兩個(gè)物體溶化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來兩個(gè)物體體積的和；物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。例題：例1、有一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如圖），求切掉正方體后的體積是多少立方厘米？思路點(diǎn)撥：例2、長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？思路點(diǎn)撥：例3、一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，做成一種玩具。它的體積是多少平方厘米?思路點(diǎn)撥：例4、在一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬12分米的長(zhǎng)方體水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)為30厘米的正方體鐵塊，那么水箱中水深多少分米？思路點(diǎn)撥：例5、有一個(gè)小金魚缸，長(zhǎng)4分米，寬3分米，水深2分米。把一個(gè)小塊假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，這塊假山石的體積是多少立方分米？思路點(diǎn)撥：例6、將表面積分別為54平方厘米，96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。思路點(diǎn)撥：例7、將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是13厘米，寬是7厘米，求它的高。思路點(diǎn)撥：例8、有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？思路點(diǎn)撥：例9、一個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為60厘米的正方體，容器里直立一個(gè)高1米，底面邊長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊。這時(shí)容器里的水深0.5米。如果把鐵塊取出，容器里的水深多少厘米？思路點(diǎn)撥：例10、一個(gè)長(zhǎng)方體容器內(nèi)裝水，現(xiàn)在有大、中、小三個(gè)鐵球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次從容器中溢出的水量的情況是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。問，大球的體積是小球的多少倍？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1、有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積。2、一個(gè)長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)棱長(zhǎng)是12厘米的正方體木塊，把它的上面、前面、右面中心處分別鑿穿一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形孔。穿孔后木塊的體積是多少立方厘米？4、有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng)5分米，寬4分米，高6分米，里面注有水，水深3分米，如果把一塊棱長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升了多少分米？5、在一個(gè)長(zhǎng)20分米，寬15分米的長(zhǎng)方體容器中，有20分米深的水，現(xiàn)在在水中沉入一個(gè)正方體鐵塊，這時(shí)水面上升了0.09分米，這塊正方體鐵塊的體積是多少立方分米？6、有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)正方體的體積。7、把9個(gè)棱長(zhǎng)是2分米的正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3厘米，寬4厘米，求它的高。8、有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸長(zhǎng)3分米、寬和高都是2分米，乙缸長(zhǎng)4分米，寬2分米，里面的水深1.5分米。現(xiàn)把乙缸的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？9、有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個(gè)長(zhǎng)方體容器里的水中，取出鐵塊后，水面下降了0.5厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是多少平方厘米？10、有一個(gè)正方體容器，邊長(zhǎng)是25厘米，里面注滿水。有一根長(zhǎng)50里面，橫截面是12平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問，會(huì)溢出多少立方厘米的水？第八講分?jǐn)?shù)加減法分?jǐn)?shù)的拆分：把單位“1”平均分成若干份，表示其中1份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。如、、。把一個(gè)分?jǐn)?shù)表示成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)相加或相減的形式就叫做分?jǐn)?shù)的拆分。在計(jì)算分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?jǐn)?shù)可以互相抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。例1、在的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)?、不同的自然?shù)，使等式成立。思路點(diǎn)撥：例2、的分子和分母同時(shí)減去什么數(shù)，結(jié)果等于。思路點(diǎn)撥：例3、將拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的形式。思路點(diǎn)撥：例4、求出的形如的表達(dá)式（其中a、b為自然數(shù)）。思路點(diǎn)撥：例5、計(jì)算：++++…++思路點(diǎn)撥：例6、計(jì)算：+－－＋＋－－＋＋－……－－＋＋思路點(diǎn)撥：例7、計(jì)算思路點(diǎn)撥：例8、計(jì)算：思路點(diǎn)撥：例9、計(jì)算＋＋＋＋＋……＋＋思路點(diǎn)撥：例10、計(jì)算。思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1、在下式的圓圈和方框中，分別填入適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)，試等式成立，方框里應(yīng)填多少？＋2、的分子和分母同時(shí)減去什么數(shù)，結(jié)果等于。3、將拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的形式。4、求出的形如的表達(dá)式（其中a、b為自然數(shù)）。5、計(jì)算：6、計(jì)算：+++－－－－＋＋＋…＋＋－－－－＋＋7、計(jì)算：8、計(jì)算：+＋＋＋＋……＋＋9、計(jì)算：2+10、計(jì)算：第九講計(jì)數(shù)問題加法原理和乘法原理，是排列組合中的二個(gè)基本原理，在解決計(jì)數(shù)問題中經(jīng)常運(yùn)用。把握這兩個(gè)原理，并能正確區(qū)分這兩個(gè)原理，至關(guān)重要。加法原理：若完成一件事有幾種不同的方案，而每種方案又有若干種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)等于每種方案的方法數(shù)的和。乘法原理：若完成一件事要分成幾個(gè)步驟，而每一步有幾種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)等于每一步的方法數(shù)相乘。例1、一天中，從甲地到乙地有3班火車、4班汽車、2班飛機(jī)，在這一天中從甲地到乙地，乘坐這些交通工具有多少種不同的走法？思路點(diǎn)撥：例2、現(xiàn)有1克、2克、4克的砝碼各一個(gè)，那么在天平上能稱出多少不同重量的物體？（只允許砝碼放在天平的右邊的盤子里）思路點(diǎn)撥：例3、在1~200這200個(gè)整數(shù)中含數(shù)字7的數(shù)共有多少個(gè)？思路點(diǎn)撥：例4、下圖中一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著某條線段爬到C點(diǎn)，行進(jìn)中，同一點(diǎn)或同一線段只能經(jīng)過一次，這只螞蟻?zhàn)疃嘤卸嗌俜N不同的爬法？思路點(diǎn)撥：例5、用1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？思路點(diǎn)撥：例6、A、B、C、D、E，5人排成一排，如果C不站在中間，一共有多少有種不同的排法？思路點(diǎn)撥：例7、四個(gè)裝藥用的瓶子貼了標(biāo)簽，其中恰好有三個(gè)貼錯(cuò)了，那么錯(cuò)的情況有多少種？思路點(diǎn)撥：例8、現(xiàn)在要把A、B、C、D、E，5個(gè)棋子放在5×5的方格里，每行和每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，一共有多少種放法？思路點(diǎn)撥：例9、有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？思路點(diǎn)撥：1號(hào)3號(hào)例10、用紅、綠、藍(lán)、黃四色去涂編號(hào)為1、2、3、4號(hào)的長(zhǎng)方形，要求任何相鄰的兩個(gè)長(zhǎng)方形的顏色都不相同，一共有多少種不同的涂法？1號(hào)3號(hào)4號(hào)2號(hào)4號(hào)2號(hào)思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1、學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書。小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么小明借一本書可以有多少種不同的選法？2、從1~9這9個(gè)數(shù)中，選2個(gè)數(shù)使它們的和能被3整除，問：有多少種不同的選法？3、在1~100的自然數(shù)中，數(shù)字“2”4、從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走．那么，從甲地到丙地共有多少種走法？5、用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？6、有6個(gè)同學(xué)排成一排照相，共有多少種不同的站法？7、爸爸、媽媽、客人和我四人圍著圓桌喝茶。若只考慮每人相鄰的情況，問共有多少種不同的入座方法？8、由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？9、從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？10、一個(gè)正六邊形被分成了6個(gè)相同的小三角形。如果用紅、黃兩種顏色分別涂滿小三角形，那么共有多少種不同的涂法。(旋轉(zhuǎn)后圖案相同的認(rèn)為是同一種涂法。)第十講一般行程問題知識(shí)要點(diǎn)：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系。基本公式：路程＝速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間＝速度；路程÷速度＝時(shí)間相遇問題：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程相遇路程÷速度和=相遇時(shí)間相遇路程÷相遇時(shí)間=速度和追及問題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及時(shí)間追及時(shí)間×速度差＝路程差流水問題：順?biāo)谐蹋剑ù伲伲另標(biāo)畷r(shí)間逆水行程＝（船速－水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速＋水速逆水速度＝船速－水速靜水速度=（順?biāo)俣龋嫠俣龋?水速：（順?biāo)俣龋嫠俣龋?精選例題：例1：甲乙兩地相距258千米。一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，經(jīng)過4小時(shí)兩車相遇。已知汽車的速度是拖拉機(jī)速度的2倍。相遇時(shí)，汽車比拖拉機(jī)多行多少千米？思路點(diǎn)撥：例2：甲、乙兩人同時(shí)從相距10千米的兩地出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走2千米。與甲同時(shí)、同地、同向出發(fā)的還有一只狗，每小時(shí)5千米，狗碰到乙后就回頭向甲走去，碰到甲后又回頭向乙走去，……這只狗就這樣往返于甲、乙之間直到二人相遇而止，則這只狗共走了多少千米？思路點(diǎn)撥：例3：甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地相向開出，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行44千米。兩車在距中點(diǎn)24千米處相遇，東、西兩地相距多少千米?思路點(diǎn)撥：例4：甲乙兩車同時(shí)從相距30千米的A、B兩城向C城駛出，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行45千米，乙車在前，甲車在后，幾小時(shí)后，甲車才能追上乙車？思路點(diǎn)撥：例5:兩人沿400米跑道競(jìng)走，甲的速度是乙的1.5倍，兩人同時(shí)相背而行，2分鐘相遇，如果同時(shí)同地相向而行，出發(fā)多少分鐘他們可以相遇？思路點(diǎn)撥：例6:兩人騎自行車從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿周長(zhǎng)900公里的環(huán)形路行駛，若反向而行2分鐘就相遇，若同向而行經(jīng)過18分快者追上慢者，求慢者的速度？思路點(diǎn)撥：例7:一列火車長(zhǎng)150米，每秒行駛19米，問全車通過420米的大橋，需要多少時(shí)間？思路點(diǎn)撥：例8：一列火車通過440米的橋需要40秒,以同樣的速度穿過310米的隧道需要30秒.這列火車的速度和車身長(zhǎng)各是多少?思路點(diǎn)撥：例9：一艘輪船從甲港開往乙港，順?biāo)旅啃r(shí)行28千米，返回甲港時(shí)逆水而行用了6小時(shí)。已知水速是每小時(shí)4千米，甲、乙兩港相距多少千米？思路點(diǎn)撥：例10：甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)252千米。一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)達(dá)到，從乙港返回甲港，逆水14小時(shí)到達(dá)。求船在靜水中的速度和水流速度。思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.甲、乙兩地間的路程是600千米,上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地。貨車以平均每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地.要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇,貨車必須在上午幾點(diǎn)出發(fā)？2.王明回家，距家門300公尺，妹妹和小狗一齊向他奔來，王明的妹妹的速度都是每分鐘50公尺，小狗的速度是每分鐘200公尺，小狗遇到王明，用同樣的速度不停往返王明與妹妹之間，當(dāng)王明與妹妹相距10公尺時(shí)，小狗一共跑多少公尺？3.甲乙兩人同時(shí)騎車由相距60千米的A

到B地。甲每個(gè)小時(shí)比乙每個(gè)小時(shí)慢4千米，乙先到B地后立即返回，在距離B地12千米處的地方與甲相遇。則甲的速度駛多少千米每個(gè)小時(shí)？4.客貨兩車的速度是每分鐘700米，每天從甲乙兩地同時(shí)相向前進(jìn)。一天，由于貨車速度加快，為每分鐘800米，所以兩車相遇的地點(diǎn)就比平常偏離了600米，求甲乙兩地的距離是多少米？5.我騎兵以每小時(shí)22千米的速度追擊敵軍，當(dāng)?shù)侥痴緯r(shí)，得知敵軍已于2小時(shí)前逃跑，已知敵軍逃跑的速度是每小時(shí)12千米。問我騎兵幾小時(shí)可以追上逃敵？6．環(huán)形公路長(zhǎng)11千米，甲、乙兩人同時(shí)同地沿公路騎自行車反向而行，0.2小時(shí)相遇；若他們同時(shí)同地同向而行，2.2小時(shí)后，甲追上乙，甲、乙兩人的速度各是多少？7．一列火車通過530米的橋需40秒鐘，以同樣的速度穿過380米的山洞需30秒鐘。這列火車的速度和車身長(zhǎng)各是多少?8．一條小船往返于甲、乙兩個(gè)碼頭之間，從甲到乙順流航行需要8小時(shí)，從乙到甲逆流航行需要12小時(shí)。那么一個(gè)竹筏從甲碼頭順流漂到乙碼頭需要多少小時(shí)?9．一座鐵路橋全長(zhǎng)1200米，一列火車開過大橋需花費(fèi)75秒；火車開過路旁電桿，只要花費(fèi)15秒，那么火車全長(zhǎng)是多少米？10．兩個(gè)口岸A、B沿河道的距離為360千米。甲船由A到B上行需要10小時(shí)，下行由B到A需要5小時(shí)。若乙船由A到B上行需要15小時(shí)，那么下行由B到A需要多少小時(shí)？第十一講較復(fù)雜的行程問題知識(shí)要點(diǎn)：行程問題一般從問題入手，分清所求是那段路程、什么時(shí)間、誰的速度，再抓住對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系，步步求解。在分析過程當(dāng)中可采用線段圖法和列數(shù)量關(guān)系法等協(xié)助分析，幫助理解題意。行程問題一般有考核行程問題基本數(shù)量關(guān)系的靈活運(yùn)用，有關(guān)類似比和比例的行程問題和與分?jǐn)?shù)工程問題有關(guān)的行程問題三個(gè)較大出題點(diǎn)。當(dāng)然具體問題還得具體分析，但多么復(fù)雜的行程問題只要我們抓住“問題”這個(gè)主線，理清問題和已知的對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐步分析都可迎刃而解。精選例題：例1：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí)、48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？思路點(diǎn)撥：例2：兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相遇。此時(shí)他們距十字路口多少米？思路點(diǎn)撥：例3：獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動(dòng)作快，獵狗跑3步的時(shí)間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？思路點(diǎn)撥：例4：小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時(shí)迎面開來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用18秒。已知火車全長(zhǎng)342米，求火車的速度。思路點(diǎn)撥：例5:鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機(jī)正以20千米/時(shí)的速度行駛。這時(shí)，一列火車以56千米/時(shí)的速度從后面開過來，火車從車頭到車尾經(jīng)過拖拉機(jī)身旁用了37秒。求火車的全長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥：例6:張三、李四、王五騎自行車都從甲地到乙地，上午8時(shí)張三、李四兩人一起先從甲地出發(fā)，張三每小時(shí)行9千米，李四每小時(shí)行8千米，王五上午9時(shí)才從甲地出發(fā)，中午12時(shí)張三與王五同時(shí)到達(dá)乙地；那么王五追上李四的時(shí)間(時(shí)刻)是？思路點(diǎn)撥：例7:小君在360米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑一圈。已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？思路點(diǎn)撥：例8：沿著某單位圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長(zhǎng)300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。已知甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米。問：至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲才能看到乙？思路點(diǎn)撥：例9：小劉從A地翻過山頂?shù)紹地一共行了6千米，用了2.4小時(shí)。他上山速度為2千米每小時(shí)，下山速度為3千米每小時(shí)。用不變的上山、下山速度由B地返回A地要用多少小時(shí)？思路點(diǎn)撥：例10：體育課上小快和小慢進(jìn)行100米賽跑，當(dāng)小快跑完100米時(shí)，小慢離終點(diǎn)10米；第二次，他們以原來的速度重新來過，并且小快后退10米，問誰先到達(dá)終點(diǎn)，為什么？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1.甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。2.甲、乙二人上午8時(shí)同時(shí)從東村騎車到西村去，甲每小時(shí)比乙快6千米，中午12點(diǎn)甲到達(dá)西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：東、西兩村相距多遠(yuǎn)？3.甲、乙二人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離。4.紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊(duì)步行去郊游，步行的速度是1米/秒，隊(duì)尾的王老師以/秒的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用10分鐘。求隊(duì)伍的長(zhǎng)度。小紅從家到火車站趕乘火車，每小時(shí)行4千米，火車開時(shí)她還離車站1千米；每小時(shí)行5千米，她就早到車站12分鐘。小紅家離火車站多少千米？6．騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時(shí)的速度行進(jìn)，下午1點(diǎn)到；以15千米/時(shí)的速度行進(jìn)，上午11點(diǎn)到。如果希望中午12點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？7．小明在420米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑8米，后一半時(shí)間每秒跑6米.求他后一半路程用了多少時(shí)間？8．甲乙從A地上山翻過山頂下山到B地，共走了23.5千米，用了6小時(shí)30分鐘。已知上山每小時(shí)走3千米，下山每小時(shí)走5千米，那么他從B

地經(jīng)原路上山翻過山頂返回A地需要多少時(shí)間？9．兩條公路成十字交叉，甲從十字路口北1120米向南直行，乙從十字路口處向東直行，同時(shí)出發(fā)4分鐘后，二人離十字路口的距離相等，二人仍保持原來的速度，又行了52分鐘，這時(shí)二人離十字路口的距離又相等。求甲，乙二人的速度？10．在400米的環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，。甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按照逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要的時(shí)間是多少秒？第十二講圖形的面積各平面圖形的面積公式：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)平行四邊形的面積=底×高三角形的面積=底×高÷2梯形的面積=（上底＋下底）×高÷2在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會(huì)遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單地用公式直接求出所求面積的題目。這就需要我們切實(shí)掌握有關(guān)概念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求面積問題，從而正確解答。例1、一條白色的正方形手帕，它的邊長(zhǎng)是18厘米，手帕上橫豎各有二道紅條，紅條的寬都是2厘米，這條手帕白色部分的面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例2、如圖所示的四邊形的面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：例3、7個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼成了圖中的陰影部分，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：24厘米例4、已知大正方形比小正方形邊長(zhǎng)多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：2例5、一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條平行與它的兩條邊的線分成四個(gè)較小的長(zhǎng)方形，其中三個(gè)長(zhǎng)方形的面積如下圖所示，第4個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？思路點(diǎn)撥：例6、如圖是由邊長(zhǎng)分別為4、8厘米的兩個(gè)正方形組成的圖形，求陰影部分的面積。思路點(diǎn)撥：例7、如圖，已知正方形ABCD和正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別為10和12，求圖中陰影部分面積。思路點(diǎn)撥：例8、如下圖，已知梯形ABCD中，AB與CD平行，且陰影部分甲的面積為15，求陰影部分乙的面積。思路點(diǎn)撥：例9、如圖所示，三角形ABC中，DC=3BD，DE=DA，若三角形的面積是28，陰影面積是多少？思路點(diǎn)撥：應(yīng)用與拓展1、一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)155米，寬95米，中間有兩條寬5米的道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，求有草的部分面積是多少平方米？2、求下面陰影部分的面積。883、一塊長(zhǎng)5厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形紙板，一塊長(zhǎng)4厘米，寬1厘米的長(zhǎng)方形紙板，與一塊正方形以及另外兩塊長(zhǎng)方形紙板，恰巧拼成一個(gè)大正方形，大正方形的面積是多少平方厘米？4、把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加5分米，寬增加8分米后，得到一個(gè)面積比原來多181平方分米的正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少分米？5、下圖長(zhǎng)方形ABCD的面積是16平方厘米，E、F都是所在邊的中點(diǎn)。求AEF的面積。6、下圖一個(gè)大長(zhǎng)方形被分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，其中三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別是24、30和32平方厘米，求陰影部分的面積。3024322432302432243230307、如圖是由邊長(zhǎng)分別為4、8、6厘米的三個(gè)正方形組成的圖形，求陰影部分的面積。8、長(zhǎng)方形ABCD中，陰影部分甲和乙都是長(zhǎng)方形，且陰影部分甲的面積為36，求陰影部分乙的面積。9、如圖所示，求陰影部分的面積。10、如圖所示，三角形ABC中，DC=3BD，AF=BF，若三角形的面積是28，陰影面積是多少？第十三講余數(shù)問題在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，通常的表示是：被除數(shù)÷除數(shù)＝商……余數(shù)也就是：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋除數(shù)。如果自然數(shù)a、b除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，稱a、b對(duì)于“模m”同余，記成a≡b（modm）。該式讀作a同余于b模m。同余的基本性質(zhì)：〈1〉自反性：a≡a（modm）（a為任意自然）〈2〉對(duì)稱性：若a≡b（modm），b≡a（modm）〈3〉傳遞性：若a≡b（modm），b≡c（modm）；則a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），c≡d（modm）；則a±c≡b±d（modm）若a≡b（modm），c≡d（modm）；則a×b≡b×d（modm）例1、有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？思路點(diǎn)撥：例2、小張?jiān)谟?jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)113錯(cuò)寫成了131.，結(jié)果商比原來多3，但余數(shù)恰巧相同，那么余數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥：例3、444……4÷6，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？（100個(gè)4）思路點(diǎn)撥：例4、有一列數(shù)，前兩個(gè)數(shù)是3和4，從第3個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和。這一列數(shù)中第100個(gè)數(shù)除以4，余數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥：例5、甲數(shù)除以9余7，乙數(shù)除以9余5。甲、乙兩數(shù)的和除以9余數(shù)是幾？甲乙兩數(shù)的差除以9余數(shù)是幾？甲、乙兩數(shù)的積除以9余數(shù)是幾？思路點(diǎn)撥：例6、一個(gè)自然數(shù)除以2余1，除以5余1，除以7余1，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？思路點(diǎn)撥：例7、自然數(shù)16520、14903、14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？思路點(diǎn)撥：例8、自然數(shù)2836、4582、5146、6522除以一個(gè)自然數(shù)，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為多少？思路點(diǎn)撥：例9、樂樂玩具店有大小相同的紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的小球分別為344、277、411和555個(gè)?，F(xiàn)在要用一種精致的小盒分別去裝這些小球，每只盒子里裝的小球同樣多，剩下的紅、黃、藍(lán)三色小球也恰好同樣多。剩下的綠球有多少個(gè)？思路點(diǎn)撥：例10、92010被7除余幾？思路點(diǎn)撥：練習(xí)：1、一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，符合這些條件的最小數(shù)是多少？2、小明計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫成173.商比原來多3，余數(shù)正好相同。問除數(shù)、余數(shù)各是多少？3、555……55÷13，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？（2001個(gè)5）4、有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是10，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和。在這一串?dāng)?shù)中，第1991個(gè)數(shù)被3除，所得的余數(shù)是幾？5、甲數(shù)除以5余3，乙數(shù)除以5余2。甲、乙兩數(shù)的和除以5余數(shù)是幾？甲乙兩數(shù)的差除以5余數(shù)是幾？甲、乙兩數(shù)的積除以5余數(shù)是幾？6、一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余1，除以7余1，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？7、自然數(shù)1000、2001、967除以m的余數(shù)相同，那么m是多少？8、一個(gè)自然數(shù)，除1200、1314、1048所得的余數(shù)相同且大于5，那么這個(gè)自然數(shù)與余數(shù)的和是多少？9、甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校分別有69人、85人、93人、97人旅行。現(xiàn)在要把這四個(gè)學(xué)校學(xué)生分別進(jìn)行分組，并使每組的人數(shù)盡可能多，以便乘車參觀游覽。已知甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校分組后，所剩的人數(shù)相同，問丁校分組后還剩下幾個(gè)人？10、82010+32011被7除余幾？第十四講列方程解決問題列方程解應(yīng)用題是用字母來代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，然后解出未知數(shù)的值。列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)在于可以使未知數(shù)直接參加運(yùn)算，解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵在于能夠正確的設(shè)未知數(shù)，并找出等量關(guān)系，從而建立方程。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：1、弄清題意，找出已知條件和所求問題；2、依題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)；3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程；4、解方程；5、檢驗(yàn)，寫答。例1、已知3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是51，求這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)。思路點(diǎn)撥：例2、兩個(gè)城市相距255千米，甲乙兩輛汽車，同時(shí)從兩個(gè)城市出發(fā)相向而行。甲車的速度是42千米/時(shí)，乙車的速度是43千米/時(shí)，兩車幾小時(shí)后還相距85千米？思路點(diǎn)撥：例3、兩塊地一共100公頃，第一塊地比第二塊地的3倍多20公頃，這兩塊地各有多少公頃？思路點(diǎn)撥：例4、雞兔同籠，數(shù)頭有10只，數(shù)腳共有24只，雞兔各有多少只？思路點(diǎn)撥：例5、父親今年的年齡是兒子年齡的4倍，8年后父親年齡與兒子年齡的和是61，父親和兒子今年各多少歲？思路點(diǎn)撥：例6、有黑白棋子一堆，其中黑子個(gè)數(shù)是白子個(gè)數(shù)的2倍，如果從這堆棋子中每次同時(shí)取出黑子4個(gè)，白子3個(gè)，那么取了多少次后，白子只剩下1個(gè)，而黑子還剩下18個(gè)？

思路點(diǎn)撥：例7、工程隊(duì)挖一條涵洞，未挖的長(zhǎng)度是已挖長(zhǎng)度的3倍，如果再挖300米，未挖的長(zhǎng)度就是已挖的2倍，這條涵洞長(zhǎng)多少米？思路點(diǎn)撥：例8、六（1）班同學(xué)合買一件禮物送給母校留作紀(jì)念。如果每人出6元，則多48元；如果每人出4.5元，則少27元，六（1）班有學(xué)生多少人？思路點(diǎn)撥：例9、用一條繩子測(cè)井的深度，3折來測(cè)，井外還余5米，4折來測(cè)，井外還余2米，求井深和繩長(zhǎng)分別是多少米？思路點(diǎn)撥：例10、金明從家步行到學(xué)校，他如果以每分鐘走50米的速度，就會(huì)遲到3分鐘，于是他以每分鐘走60米的速度前行，結(jié)果到學(xué)校時(shí)離上課還有2分鐘，金明家距離學(xué)校多少米？思路點(diǎn)撥：練習(xí)：1、連續(xù)的5個(gè)奇數(shù)的和是45，這5個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是多少？2、兩個(gè)城市相距255千米，甲乙兩車相向而行，甲車先行0.5小時(shí)后，乙車也出發(fā)了，甲車的速度是42千米/時(shí)，乙車的速度是43千米/時(shí)，兩車幾小時(shí)后相遇？3、明星小學(xué)五年級(jí)有三個(gè)班，一班人數(shù)是三班的2倍，二班比三班少3人，三個(gè)班共有153人，三個(gè)班各多少人？4、雞兔同籠，兔比雞多15只，腳數(shù)共有228只，問雞兔各有幾只？5、玲玲今年11歲，爺爺今年74歲，再過幾年，爺爺?shù)哪挲g是玲玲年齡的4倍？6、某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20道題。若做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)或沒做一題扣2分，張丹得了79分，他做對(duì)了多少題？7、有甲乙兩筐蘋果，甲筐有112個(gè)，乙筐有60個(gè)，從甲筐拿多少個(gè)蘋果到乙筐，能使乙筐的蘋果數(shù)比甲筐的2倍少20個(gè)?

8、小明從家到學(xué)校，已行的路程是未行的4倍，如果再行200米，已行的路程是未行的5倍，小明從家到學(xué)校的路程是多少米？9、五年級(jí)一班學(xué)生去公園劃船，如果每條船坐4人，則少一條船，如果每條船坐6人，則多出4條船，公園里有多少條船？五年級(jí)一班有多少學(xué)生？10、小紅從家到學(xué)校上學(xué)，出發(fā)時(shí)她看了看表，如果按平時(shí)步行每分鐘60米，她將遲到3分鐘，如果騎車每分鐘行150米，她將早到6分鐘，小紅家離學(xué)校多少米？第十五講遞推與列表知識(shí)要點(diǎn)：歸納與遞推是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中考查的重要方法。其中歸納有完全歸納法（如枚舉法）和不完全歸納法；遞推法有正向遞推法，也有逆向遞推法。精選例題：例1：在下面各列數(shù)中的括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1），，，，()，；（2），1，，，()，；（3）1，2，4，