中考數(shù)學試卷中的“課題學習”

中考數(shù)學試卷中的“課題學習”

（人教版）貴州省遵義市習水縣同民鎮(zhèn)中學：袁水波電子郵箱:yuanshuibo-123@163.com“課題學習”是《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》在“實踐與綜合應用”課程領域設置的全新的課程內(nèi)容，幫助學生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展學生解決問題的能力，加深學生對“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”、“空間與圖形”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系。

《課程標準》認為：數(shù)學本身就是一個過程，只有通過大量的數(shù)學活動，學生才能形成對數(shù)學的全面的認識。因此，過程本身就是一個課程目標。數(shù)學活動考查的主要方面包括：數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；從事探究與交流的意識、能力和信心等；能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并尋求證明猜想的合理性；能否使用恰當?shù)臄?shù)學語言有條理地表達自己的數(shù)學思考過程。一般呈現(xiàn)的方式有：1、設置多層次的問題，“暴露”數(shù)學活動過程；2、遷移活動過程中的思想方法，間接考查學生的數(shù)學活動過程；3、通過試題解答的結果，進行數(shù)學活動過程的考查；4、設計一些包含活動過程的問題，在活動中進行有關過程性目標的考查。一、突出綜合性中考數(shù)學試卷中的“課題學習”的綜合性主要體現(xiàn)在兩個方面：1、知識內(nèi)容的綜合；2、學生在解決問題的過程中需要綜合運用數(shù)學知識、經(jīng)驗和方法進行求解。圖1圖2（2007年·湖北孝感）在我們學習過的數(shù)學教科書中，有一個數(shù)學活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）.請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？（3）設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系.設直線BM’的解析式為y=kx,當∠M’BC=600,求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？將“數(shù)與代數(shù)”與“空間與圖形”的知識內(nèi)容進行了綜合，不僅涉及三角形、四邊形的知識，還涉及函數(shù)、方程和不等式的知識，綜合性強，思維價值高，需要學生在理解折疊紙片的基礎上，綜合運用數(shù)學知識分析和解決問題，較好地考查學生探索研究新問題的能力。二、呈現(xiàn)過程

中考數(shù)學試卷中的“課題學習”能呈現(xiàn)整個“具體而微”的學習過程，有的問題的解決能使學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的全過程；有的問題能體現(xiàn)研究問題的一般思維過程，如滲透猜想、合理推理到邏輯推理的過程。雖然不可能在中考考場呈現(xiàn)“課題學習”的實踐過程，但試題的設計可以呈現(xiàn)學生的學習過程，學生可以獨立地利用數(shù)學知識和其他相關知識分析問題和解決問題，這個過程也是學生自主探索研究的過程，它是“課題學習”探究過程的微觀呈現(xiàn)。（2007年·江蘇淮安）某班研究性學習小組，到校外進行數(shù)學探究活動，發(fā)現(xiàn)一個如圖所示的支架PAB，于是他們利用手中已有的工具進行一系列操作，并得到了相關數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端P到地面的距離。實驗工具：①3米長的卷尺；②鉛垂線(一端系著圓錐型鐵塊的細線)。實驗步驟：第一步，量得支架底部A、B兩點之間的距離；第二步，在AP上取一點C，掛上鉛垂線CD，點D恰好落在直線AB上，量得CD和AD的長；第三步，在BP上取一點E，掛上鉛垂線EF，點F恰好落在直線AB上，量得EF和BF的長。實驗數(shù)據(jù)：ABFCDEP線段ABCDADEFBF長度(米)2.510.81.20.6問：(1)根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)，請你計算支架頂端P到地面的距離(精確到0.1米)；(2)假定你是該小組成員，請你用一句話談談本次實踐活動的感受。測量支架頂端到地面的距離與測量樹的高度或旗桿的高度本質(zhì)上是相同的，是數(shù)學中經(jīng)典的“課題學習”，能使學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的全過程。整個過程雖然不是測量的實踐過程，但可以呈現(xiàn)學生“具體而微”的研究過程，這個過程需要學生從問題出發(fā)，理解操作步驟、尋找實施解決問題的方法、并不斷進行調(diào)整，進而得出問題的答案。此題突出了對學生解決問題的過程以及解決問題的方法和經(jīng)驗的考查。（2007年·湖北荊門）一、問題背景某校九年級(1)班課題學習小組對家庭煤氣的使用量做了研究，其實驗過程和對數(shù)據(jù)的處理如下．仔細觀察現(xiàn)在家庭使用的電子打火煤氣灶，發(fā)現(xiàn)當關著煤氣的時候，煤氣旋鈕(以下簡稱旋鈕)的位置為豎起方向，把這個位置定為0°，煤氣開到最大時，位置為90°．(以0°位置作起始邊，旋鈕和起始邊的夾角)．在0~90°之間平均分成五等分，代表不同的煤氣流量，它們分別是18°，36°，54°，72°，90°，見圖1．圖1不同旋鈕位置示意圖在這些位置上分別以燒開一壺水(3.75升)為標準，記錄所需的時間和所用的煤氣量．并根據(jù)旋鈕位置以及燒開一壺水所需時間(用t表示)、所用煤氣量(用v表示)，計算出不同旋鈕位置所代表的煤氣流量(用L表示)，L=v/t，數(shù)據(jù)見右表．這樣為可以研究煤氣流量和燒開一壺水所需時間及用氣量之間的關系了．位置燒開一壺水所需流量時間(分)煤氣量(m3)m3/分18°190.130.006836°160.120.007654°130.140.010772°120.150.012490°100.170.0172二、任務要求圖3煤氣流量和燒開一壺水所需時間關系1．作圖：將下面圖2中的直方圖補充完整；在圖3中作出流量與時間的折線圖．圖2煤氣流量和燒開一壺水所需煤氣量關系圖2．填空：①從圖2可以看出，燒開一壺水所耗用的最少煤氣量為_______m2，此時旋鈕位置在______．②從圖3可以看出，不考慮煤氣用量，燒開一壺水所用的最短時間為_______分鐘，此時旋鈕位置在______．3．通過實驗，請你對上述結果(用煤氣燒水最省時和最省氣)作一個簡要的說明．此題的設計充分展現(xiàn)了研究實際問題的一般過程，學生在試題的引導下完整地經(jīng)歷下列研究過程：

問題的提出、設計實驗過程、觀察收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、獲得有價值的結論。這也是學生自主研究的過程，它是“課題學習”過程的微觀呈現(xiàn)。另外，此題還關注差異性，考查層次分明，使不同水平的學生展示不同的探究水平和能力三、滲透方法滲透方法是中考數(shù)學試卷中的“課題學習”的一個重要特征，不僅有研究問題的一般方法，如：從特殊到一般，從猜想推理到邏輯推理驗證等；還有解決問題的常用方法，如：在解決問題過程中的模型選擇，歸納、類比的方法等。（2007年·江蘇連云港）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線．（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．AＣＢ圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4此題以新定義“黃金分割線”為出發(fā)點，滲透了研究問題的一般方法：從猜想、合情推理到邏輯推理驗證，同時從簡單或特殊的情形入手，并將從簡單或特殊的情形獲得的結論或研究方法遷移到較復雜的情形。此題中，先要求學生研究三角形的黃金分割線，然后用類比的方法研究平行四邊形的黃金分割線，充分體現(xiàn)了“課題學習”的教育價值。（2007年·河北）在圖1—5中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角△FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．操作示例當2b＜a時，如圖1，在BA上選取點G，使BG＝b，連結FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構成四邊形FGCH．F圖1ABCEDHG（2b＜a）思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△FAG繞點F逆時針旋轉90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連結CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點C順時針旋轉90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點F作FM⊥AE于點M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．進而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．實踐探究（1）正方形FGCH的面積是

；（用含a，b的式子表示）圖3FABCDE圖4FABCDE圖2FABC(E)D（2b＝a）（a＜2b＜2a）（b＝a）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖2—圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．F圖5ABCED（b＞a）聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當b≤a時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．當b＞a時，如圖5的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．此題揭示了研究問題的重要方法：操作、思考發(fā)現(xiàn)、實踐探究、聯(lián)想拓展。同時此題也采用了類比的研究方法，將圖形的割補的方法使用在某種屬性上相同或相似的其他圖形上，凸顯了這種研究方法的重要價值。四、體現(xiàn)開放中考數(shù)學試卷中的“課題學習”能使學生產(chǎn)生豐富多彩的研究體驗和個性化的、創(chuàng)造性的表現(xiàn)，是考查學生創(chuàng)新意識的重要載體，所以活動過程或者結果常常具有開放性。（2007年·廣東梅州）梅林中學租用兩輛小汽車（設速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數(shù)學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）．其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）．（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你能過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性．此題是方案設計型課題學習。在設計運送考生的方案時，要有一定的預見性，但如何設計方案、如何通過計算說明和驗證方案的可行性都因人而異，具有較大的開放性，也體現(xiàn)了“課題學習”的個性化特征。典型的方案有：①先將4人用車送到考場，另外4人