聚焦“恒成立 能成立”

聚焦〃恒成立能成立〃最近幾年“恒成立能成立”問題在高考中高頻亮相，幾乎滲透到了高中數(shù)學(xué)所有主干內(nèi)容之中.為了理清此類問題的脈絡(luò)，掌握解決問題的策略，特整合幾個問題進(jìn)行剖析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、“恒成立能成立"結(jié)論(1)若不等式f(x)〉A(chǔ)在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在D區(qū)間f(x)min>A上f(x)min>A.(2)若不等式f(x)(3)若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)〉A(chǔ)成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A.(4)若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)f(x)min二、“恒成立能成立"應(yīng)用1.“圍城”在函數(shù)中例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=ex.若對任意的x￡[a,a+1],不等式an和an+1的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=1(2n-l)bn,數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,若滿足不等式bn+入入的取值范圍.解：(I)當(dāng)n=l時(shí)一，al=l；當(dāng)n三2時(shí)，an=Sn-Sn-l=n,故an=n.又bn是an與an+1的等差中項(xiàng)，所以bn=an+an+12,得bn=n+12.(II)由(I)得cn=2(2n-l)(2n+l)=12n-l-12n+l,所以Tn=l-12n+l.f(n)=Tn-bn=l-12n+l-(n+12)=1-(n+12+12n+12),則f(n)在(0,+8),且n￡N*上是遞減數(shù)列.因?yàn)闈M足不等式bn+入b2+入b3+入2T3,解得—3714W入-1710.f(x+a)2f2(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是.解：由題意，得f(x)=e|x|,則對任意的x￡[l,a+1],不等式e|x+a|Ne2|xHl成立，即對任意的[a,a+1],不等式x+a|22|x"恒成立.當(dāng)a=0時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)yl=2|x|和y2=|x+a|的圖象交于點(diǎn)(a,2a),(-a3,2a3),顯然也不合題意；當(dāng)a(a,-2a),(-a3,一2a3),由題意，得-a,a+1][a,-a3],所以a+lW-a3,解得aW-34.綜上，實(shí)數(shù)a的最大值為-34.例2已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+bx(a,b￡R)若f⑴=13,且函數(shù)f(x)在(0,12)上不存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解法1：(分類討論)由f(1)=13,得b=-a,即f(x)=13x3+ax2-ax,f'(x)=x2+2ax-a.由y二f(x)在(0,12)上不存在極值點(diǎn)，下面分四種情況討①當(dāng)y二f(x)沒有極值點(diǎn)時(shí)，△=4a2+4aW0,得TWaWO.②當(dāng)y二f(x)有兩個極值點(diǎn)，且兩個極值點(diǎn)都在(-8,o]時(shí)，則A>0,f'(0)-a得a無解.③當(dāng)尸f(x)有兩個極值點(diǎn)，且兩個極值點(diǎn)都在[12,+8)時(shí)，則A>0,f'(12)20,得a=-l.④當(dāng)y二f(x)有兩個極值點(diǎn)，且兩個極值點(diǎn)一個在(-8,0],另一個在,12,+8)時(shí)，則f'(x)W0,f'(12)WO,得a無解.綜上，a的取值范圍為(-8,0]解法2：(參變分離)同上得f(x)=13x3+ax2-ax,f'(x)=x2+2ax-a.令f'(x)=0,即x2+2ax-a=0,變形得(l-2x)a=x2.因?yàn)閤e(0,12),所以a=x2l-2x.令l-2x=t,貝ljt￡(0,1),x21-2x=14(t+lt-2).因?yàn)閔(t)=t+lt-2在te(0,1)上單調(diào)遞減，故h(t)e(0,+°°).由y二f(x)在(0,12)上不存在極值點(diǎn)，得a=x21-2x在(0,12)上無解，所以，a的取值范圍是(-8,0：.2.“潛伏”在數(shù)列中例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx(k￡R),對任意實(shí)數(shù)x,有f(x)W6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+l=f(an).(1)求函數(shù)f(x)的解析式和值域(2)證明：當(dāng)ane(0,12)時(shí),數(shù)列{an}在該區(qū)間上是遞增數(shù)列.(3)已知al二13,是否存在非零整數(shù)使得對任意n￡N*,都有l(wèi)og3(ll/2-al)+log3(ll/2-a2)+?,,+log3(ll/2-an)>-1+(-1)n-1,2X+nlog32恒成立？若存在，求之；若不存在，說明理由.解析：(1)由f(x)W6x=2恒成立等價(jià)于(k-4)x2+(k-6)x-2W0恒成立，即k-4(k-6)2+8(k-4)WO,即k(k-2)2W0.從而得k=2,所以f(x)=-2x2+2x,其值域?yàn)?-8,12(2)an+l-an=f(an)-an=-2a2n+2an-an=2(an-14)2+18.ane(0,12)-142(an-14)2>-182(an-14)2+18>0.從而得an+1-an>0,即an+l>an,所以數(shù)列{an}在區(qū)間(0,12)上是遞增數(shù)列(3)由(2)知an￡(0,12),從而12-ane(0,12).12-an+l=12—(—2a2n+2an)-2a2n-2an+12=2(an-12)2,即12-an+1=2(12-an)2.令bn二12-an,則有bn+l=2b2n且bne(0,12).從而有1gbn+l=21gbn+lg2,可得lgbn+l+lg2=2(lgbn+lg2).所以數(shù)列{lgbn+lg2}是Igbl+lgb2=lgl3為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列.從而得Igbn+lg2=lgl3?2n-l=lg(13)2n-l,即lgbn=lg(13)2n-12.所以bn=(13)2n-12=12(13)2n-l112-an=lbn=2?32n-llog3(112-an)=log3(2?32n-l)二log32+2n-llog3(112-al)+log3(112-a2)+???+log3(112-an)二nlog32+l-2nl-2=2n+nlog32-L即2n+nlog32-l>(-1)n-1?2入+nlog32T,